Na minha opiniao, a principal "ambiguidade" da sua pergunta seria: qual das
duas voce quer?
1) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
TODO n NATURAL;
2) Encontre todos os valores reais de x tais que (x+i)^(4n) eh real PARA
ALGUM n NATURAL;
Mas vamos lah:
---///---
Escreva x+i=r.e^(it) com r,t reais (permitindo r<0, basta usar 0<=t<pi).
Entao (x+i)^(4n) eh real se e somente se 4nt for um multiplo inteiro de pi.
1) Portanto, t=kpi/4 onde k=0,1,2,3. Assim, x=i+r.e^(k.i.pi/4) onde
k=0,1,2,3. Se voce desenhar isso no plano complexo, eh um "asterisco
infinito", feito de 4 retas que se cruzam no ponto i.
Ah, mas voce quer x real, entao vamos achar as intersecoes desse asterisco
com a reta real... Fazendo as contas, achamos x=0, x=1 ou x=-1.
2) Se n=0, obviamente qualquer x serve. Suponha entao n arbitrario
positivo. Entao devemos ter t=k.pi/(4n). Assim, as solucoes complexas sao
(x,n) onde:
i) x eh qualquer e n=0;
OU
ii) n eh um inteiro positivo e x=i+r.e^(k.i.pi/(4n)), com a real qualquer
e k inteiro qualquer.
Ah, mas voce quer x real, entao a parte imaginaria de x tem que ser 0. Em
(ii), isto significa r.sin(k.pi/(4n))=-1, isto eh, r=-1/(sin(k.pi/(4n)).
Portanto sua resposta eh
i) x real qualquer e n=0;
OU
ii) x=r cos(k.pi/(4n)) = - ctg (k.pi/(4n)) onde n e k sao inteiros
arbitrarios nao nulos.
(Note que escolhendo k=2n, k=n e k=-n voce ve que as solucoes de (2) estao
contidas nas de (1).)
Abraco, Ralph.
2016-08-22 23:41 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo <
israelmchrisost...@gmail.com>:
> Em verdade Bernardo eu gostaria das duas coisas
>
> Em 21 de agosto de 2016 21:38, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
> bernardo...@gmail.com> escreveu:
>
>> 2016-08-20 20:33 GMT-03:00 Israel Meireles Chrisostomo
>> <israelmchrisost...@gmail.com>:
>> > Ah todos os valores reais de x
>>
>> Deixa eu escrever o enunciado que eu acho que você quis
>>
>> "Encontre todos os pares (x,n) tais que (x+i)^{4n} seja um número real".
>>
>> Acertei? Se for isso, para cada "n" haverá algumas soluções. E sem
>> pensar muito, eu acho que (exceto n=1) há 2n soluções, com "n" fixo.
>>
>> A primeira parte de fazer uma pergunta é escrevê-la com clareza: pense
>> um pouco mais antes de apertar "send", ajuda a lista a te ajudar (ou
>> então seja claro ao dizer que não sabe muito bem como formular a
>> pergunta e peça ajuda para isso também!)
>>
>> > Em 20 de agosto de 2016 20:02, Israel Meireles Chrisostomo
>> > <israelmchrisost...@gmail.com> escreveu:
>> >>
>> >> Olá pessoal, gostaria de saber se é possível resolver a equação:
>> >>
>> >> (x+i)^{4n}=Re(z)
>> >>
>> >> onde z é um número complexo qualquer e Re(z) denota a parte real de
>> z.Isto
>> >> é, em outras palavras gostaria de saber todos os valores de x para os
>> quais
>> >> (x+i)^{4n} é real .De cara, dá para ver que x=0 é um desses valores,
>> mas
>> >> como provo que esse é o único(ou não)...
>>
>> Abraços,
>> --
>> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>>
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>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =========================================================================
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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>>
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