Antes, veja o seguinte: se u é ponto de aderência da sequência (a_n), então (a_n) tem uma subsequência que converge para u.
De fato, pela definição de ponto de aderência, para todo eps > 0 e todo M > 0 existe k > M tal que |a_k - u| < eps. Assim, existe k1 tal que |a_k_1- u| < 1. Suponhamos que, para algum n, existam k_1 < k_2 ...< k_n tais que |a_k_i - u | < 1/i para i = 1, ... n. Pela definição de ponto de aderência, existe k_(n + 1) > k_n tal que |a_k_(n + 1)| < 1/(n + 1). Por indução concluímos que (a_k_n) é uma subsequência de (a_n) que converge para u, visto que 1/n —> 0. E pela definição de limite, vemos claramente que todo limite subsequencial de (a_n) é ponto de aderência de (a_n). Se (a_n) possuir dois pontos de aderência distintos, então (a_n) tem duas subsequências que convergem para limites distintos. Logo, (a_n) diverge. Assim, se a_n —> L, L é o único ponto de aderência de (a_n). Enviado do meu iPad Em 30 de out de 2017, à(s) 9:11 PM, Pedro Júnior <pedromatematic...@gmail.com> escreveu: > Prove que uma sequência limitada converge para L, se, e somente se, L é o > seu único ponto de aderência. > > > Agradecido > -- > Pedro Jerônimo S. de O. Júnior > > Professor de Matemática > > Geo João Pessoa – PB > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
