A idéia é chegar numa equação de Pell. Começamos com 3x^2 - 2y^2 = 1. Multiplicando por 2: 6x^2 - 4y^2 = 2 Pondo z = 2y: z^2 - 6x^2 = -2
Elevando ao quadrado: (z^2 - 6x^2)^2 = 4 ==> (z^2 + 6x^2)^2 - 24x^2z^2 = 4 (usando o bom e velho (a-b)^2 = (a+b)^2 - 4ab) Mas 6x^2 = z^2 + 2 ==> (2z^2 + 2)^2 - 24x^2z^2 = 4 Dividindo por 4: (z^2 + 1)^2 - 6x^2z^2 = 1. Pondo u = xz e v = z^2 + 1, obtemos: ´ v^2 - 6u^2 = 1. Esta nós sabemos resolver. É uma equação de Pell, cujas soluções são obtidas a partir da solução fundamental (u,v) = (2,5), usando-se uma relação de recorrência na linha do que sugeriu o Anderson: u(0) = 2 v(0) = 5 u(k+1)*raiz(6) + v(k+1) = (u(k)*raiz(6) + v(k))*(2*raiz(6) + 5) ==> u(k+1) = 5*u(k) + 2*v(k) v(k+1) = 12*u(k) + 5*v(k) As soluções (u,v) são (2,5), (20,49), (198,485), (1960,4801), (19402,47525), ... Agora, u = xz = 2xy e v = z^2 + 1 = 4y^2 + 1 ==> y = raiz(v - 1)/2 e x = u/2y = u/raiz(v - 1) Os (x,y) correspondentes são: k = 0: (2,5) <==> (1,1) k = 2: (198,485) <==> (9,11) k = 4: (19402,47525) <==> (89,109) k = 6: (1901198,4656965) <==> (881,1079) ... Repare que só os (u(k),v(k)) com k par produzem soluções INTEIRAS da equação original. Aqueles com k ímpar também produzem soluções (x,y) de 3x^2 - 2y^2 = 1, mas não são inteiras (nem mesmo racionais). Isso é porque nós passamos de (x,y) (ou (x,z)) para (u,v) através de uma transformação quadrática (u = xz e v = z^2 - 1) Ao fazer isso, nós passamos a admitir que x e z pudessem ser, além de inteiros, irracionais quadráticos tais que xz e z^2 - 1 fossem inteiros. []s, Claudio. 2018-02-15 23:37 GMT-02:00 Anderson Torres <[email protected]>: > Em 15 de fevereiro de 2018 22:02, marcone augusto araújo borges > <[email protected]> escreveu: > > Existem infinitos n tais que 2n+1 e 3n+1 são ambos quadrados perfeitos? > > Claudio encontrou n = 3960 > > x^2=2n+1 > y^2=3n+1 > > 3x^2-2y^2=1 > > Usando algum truque, como (x*raiz(3) + y*raiz(2)) * (x*raiz(3) - > y*raiz(2)) = 1, eleva à N-ésima potência e expande, pode-se obter > outras soluções. > > > > > -- > > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > > acredita-se estar livre de perigo. > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
