Então, esse problema é bem interessante, se eu não me engano,
ele tem sua origem com o matemático indiano Ramanujam, em um
de seus escritos.

Mas tem uma solução legal na dissertação do meu camarada Carlos Victor, do
PROFMAT,
veja: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=27919 , é o
problema de número 49.

Valeu forte abraço do
Douglas Oliveira.

Em 1 de março de 2018 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa <
bernardo...@gmail.com> escreveu:

> 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes <gtos...@icloud.com>:
> > Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1)
> > Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre
> (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1)
> > vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0.
>
> Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0".  Como
> você mostra isso?  Além do mais, a sequência de raizes podia
> (podia...) tender a infinito.  Acho que também tem que mostrar que não
> é o caso.  Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer
> outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que
> você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o
> limite é zero".
>
> > Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia.
>
> Realmente, essa transformação é mágica.  Eu chutei o limite (usando um
> computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar
> que dava.  O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 +
> n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 + .... raiz(1 + m) ... ))).  Claro que
> T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito).  E para
> provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) =
> n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m...
>
> > Então, de 1:
> > n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao
> simples traz que:
> > Bn>=2^(n-2).B2
> > Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh
> igual a B2, ou seja, B2=0 e
> > X= A2=3
>
> --
> Bernardo Freitas Paulo da Costa
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>  acredita-se estar livre de perigo.
>
>
> =========================================================================
> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
> =========================================================================
>

-- 
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
 acredita-se estar livre de perigo.

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