Então, esse problema é bem interessante, se eu não me engano, ele tem sua origem com o matemático indiano Ramanujam, em um de seus escritos.
Mas tem uma solução legal na dissertação do meu camarada Carlos Victor, do PROFMAT, veja: https://sca.profmat-sbm.org.br/sca_v2/get_tcc3.php?id=27919 , é o problema de número 49. Valeu forte abraço do Douglas Oliveira. Em 1 de março de 2018 10:08, Bernardo Freitas Paulo da Costa < [email protected]> escreveu: > 2018-03-01 0:56 GMT-03:00 Gabriel Tostes <[email protected]>: > > Define a sequencia A_(n+1)= [ (A_n)^2 - 1 ] / n (1) > > Então A_2= sqrt(1+2A3)=sqrt(1+2(sqrt(1+3A4))... Realimentando sempre > (substituindo A_n=sqrt(1+ nA_n+1) > > vemos que A2 se iguala a x se lim n->oo da raiz 2^(n-2) de An é 0. > > Eu não entendi esta afirmação "A2 se iguala a x se lim ... = 0". Como > você mostra isso? Além do mais, a sequência de raizes podia > (podia...) tender a infinito. Acho que também tem que mostrar que não > é o caso. Enfim, o que você escreveu (pode ser que você queira dizer > outra coisa) é que "se o limite é zero, então A2 é finito", mas o que > você precisa (para o argumento abaixo) é "se A2 é finito, então o > limite é zero". > > > Seja An=n+1 + Bn. Bn outra sequencia. > > Realmente, essa transformação é mágica. Eu chutei o limite (usando um > computador) e daí calculei os outros termos, vi An = n+1, e fui provar > que dava. O que eu usei foi uma sequência dupla, T(n,m) = raiz(1 + > n*raiz(1 + (n+1)*raiz(1 + .... raiz(1 + m) ... ))). Claro que > T(n,m+1) > T(n,m), portanto lim T(n,m) existe (ou é infinito). E para > provar que não é infinito eu usei que o limite deveria dar T(n,inf) = > n+1, e provei que T(n,m) < n+1 para todo m... > > > Então, de 1: > > n+2+B_(n+1)=n+2 + 2Bn + ( Bn^2 + 2Bn)/n -> B_(n+1) >= 2Bn, uma inducao > simples traz que: > > Bn>=2^(n-2).B2 > > Entao o limite quando n vai para o infinito da raiz 2^(n-2) de An eh > igual a B2, ou seja, B2=0 e > > X= A2=3 > > -- > Bernardo Freitas Paulo da Costa > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. > > > ========================================================================= > Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html > ========================================================================= > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
