Vou tentar provar que U é enumerável. Podemos escrever U = Ud união Ue, onde Ud = conjunto dos pontos de condensação à direita de A; Ue definido analogamente. Minha idéia é provar que Ud e Ue são ambos enumeráveis, de modo que U também será.
Para cada x pertencente a Ud, existe d(x) > 0 tal que (x - d(x),x) inter A é (no máximo) enumerável. Além disso, nenhum ponto de (x - d(x),x) poderá pertencer a U (e muito menos a Ud). Caso contrário (x - d(x),x) inter A seria não enumerável. Isso estabelece uma bijeção que associa, a cada x em Ud, o intervalo não degenerado (x - d(x),x) o qual não conterá nenhum ponto de Ud. Ou seja, se x e y são elementos distintos de Ud, (x - d(x),x) inter (y - d(y),y) = conjunto vazio. Mas qualquer coleção de intervalos não degenerados disjuntos é necessariamente enumerável (basta tomar um racional em cada intervalo). Logo, Ud é enumerável. Idem para Ue ==> U = Ud união Ue é enumerável. []s, Claudio. 2018-04-10 21:37 GMT-03:00 Artur Steiner <artur.costa.stei...@gmail.com>: > Em um espaço topológico qualquer, dizemos que x é ponto de condensação de > um conjunto A se, para toda vizinhança V de x, V inter A não for > enumerável. No caso de espaços métricos, podemos mostrar que, sendo C o > conjunto dos pontos de condensação do não enumerável A e C' o complementar > de C, então A inter C não é enumerável e C' inter A é enumerável. > > No caso de R com a métrica Euclidiana, temos dois outros conceitos > correlatos: > > Dizemos que x é ponto de condensação bilateral de A se, para todo eps > 0, > (x - eps, x) inter A e (x, x + eps) inter A não forem enumeráveis. Isto é, > os pontos de A condensam-se em ambos lados de x. E dizemos que x é ponto de > condensação unilateral de A se os pontos de A se condensarem em apenas um > dos lados de x: para todo eps > 0, apenas uma das interseções acima não é > enumerável. Exemplificando: Todo elemento de (0, 1) é ponto de condensação > bilateral do mesmo; 0 e 1 são seus únicos pontos de condensação > uniilaterais. > > Sendo A não enumerável, B o conjunto de seus pontos de condensação > bilaterais e U o conjunto de seus pontos de condensação unilaterais, mostre > que > > A inter B não é enumerável > > U é enumerável. > > Artur Costa Steiner > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
