Boa tarde! O jeito de resolver é esse mesmo. A única ressalva é quanto a ordem de 3 mod 1000. Quando é potência prefiro achar primeiro a ordem da base. 3^4=1 mod 10 3^4=8*10+1. 3^a=1 mod 1000==> 3^a=1 mod 10 então 4|a. (3^4)^x=(8*10+1)^ x para x > 1 temos que as únicas parcelas <>0 mod 1000 são: Cx,2 *8^2*10^2 + Cx,1*8*10 +1 No caso para que seja 1 mod 1000, basta que Cx,1*8*10=0 mod 1000, pois, garante que o anterior também será. Portanto o menor x é 25. Então a ordem de 3 mod 1000 É 4*25=100. Saudações, PJMS
Em Sáb, 19 de mai de 2018 20:58, Otávio Araújo <[email protected]> escreveu: > Tipo, se eu tivesse notado logo no começo que 100 é a ordem de 3 módulo > 1000 logo de cara kkkk > > Em sáb, 19 de mai de 2018 20:43, Otávio Araújo <[email protected]> > escreveu: > >> Acredito que deva ter forma mais elegante de fazer, mas de qualquer forma >> está aí uma solução >> >> Em sáb, 19 de mai de 2018 20:31, Otávio Araújo <[email protected]> >> escreveu: >> >>> Vejamos: 2002^2001 = 2^2001 mód 400 = 2x 16^500 mód 400 (tô no celular e >>> não tem sinal de congruência kkk). >>> Analisemos 16^n módulo 400: >>> 16^1 =16 >>> 16^2 = 256 >>> 16^3= 4096 = 96 mód 400 >>> 16^4= 96 x16 mód 400 =1536 mód 400 = -64 mód 400 >>> 16^5 = -64 x16 mód 400 = -1024 mód 400 = 176 mód 400 >>> 16^6 = 16 x 176 mód 400= >>> 2816 mód400 = 16 mód 400 >>> Bingo, 16^n tem periodo 5 módulo 400, daí temos 16^500 =176 mód 400 -> >>> 2x16^500= 352 mód 400 >>> >>> E o kiko? O kiko vem do teorema de Euler : 2003^fi(1000) = 1 mód 1000 -> >>> 2003^400= 1 mód 1000. >>> >>> Daí, como 2002^2001 = 352 mód 400 >>> Teremos 2003^(2002^2001) = 2003^352 mód 1000 = 3^352 mód 1000 >>> 3^5 =243 >>> 3^10 = 243 x 243 = 59049 = 49 mód 1000 >>> 3^20= 49 x 49 mód 1000 = 2401 mód 1000 = 401 mód 1000 >>> 3^40 = 401 x 401 mód 1000 = 160801 mód 1000 = 801 mód 1000 >>> 3^80 = 801 x 801 mód 1000 = 641601 mód 1000 = 601 mód 1000 >>> 3^100= 601 x 401 mód 1000 = 241001 mód 1000 = 1 mód 1000 >>> Oba! 3^100=1 mód 1000, logo 3^352 = 3^52 mód 1000 >>> >>> Mas >>> >>> 3^50=(3^40)x(3^10) =801x49 mód 1000 =39249 mód 1000 = 249 mód 1000 >>> E daí >>> 3^52 = 249 x 9 mód 1000 = 2241 mód 1000 = 241 mód 1000 >>> >>> Ou seja, concluimos que os últimos três algarismos de 2003^(2002^2001) >>> são 241, e a soma deles é 2+4+1 = 7. Ufa! >>> >>>> >>>> >>>> -- >>>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>>> acredita-se estar livre de perigo. >>> >>> > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
