Nem tudo foi perdido na minha primeira tentativa, pois: Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) = -(constante de Catalan).
Vide https://en.wikipedia.org/wiki/Catalan%27s_constant A integral acima é a terceira da lista do artigo da wikipedia. Logo, Integral(1...+infinito) log(x)*dx/(1+x^2) = constante de Catalan (2a integral da lista). []s, Claudio. On Tue, Aug 28, 2018 at 9:26 PM Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com> wrote: > x = 1/t ==> Integral(1...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = Integral(0...1) > t^2*log(t)*dt/(1+t^2)^2 > > Assim, > Integral(0...+inf) log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(1...+inf) > log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2)^2 + Integral(0...1) > x^2*log(x)*dx/(1+x^2)^2 = > Integral(0...1) (log(x)/(1+x^2)^2 + x^2*log(x)/(1+x^2)^2)*dx = > Integral(0...1) log(x)*dx/(1+x^2) = > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx > > A primitiva de x^n*log(x) é x^(n+1)/(n+1)*(log(x) - 1/(n+1)) + C > > Logo, Integral(0...1) x^n*log(x)*dx = -1/(n+1)^2 ==> > Integral(0...1) log(x)*(1 - x^2 + x^4 - x^6 + ...)*dx = > -1 + 1/3^2 - 1/5^2 + 1/7^2 - ... = > -(1 - 1/3^2 + 1/5^2 - 1/7^2 + ...) > > A série entre parênteses não parece ter soma Pi/4, mas é muito provável > que eu tenha errado alguma conta. > > []s, > Claudio. > > > > > On Tue, Aug 28, 2018 at 4:55 PM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Ha algum tempo vi uma discussão sobre a integral >> >> Int (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1)^2 dx >> >> Um Phd em matemática disse que a resolução fica bem mais simples se >> considerarmos que (-oo a oo) ln(x)/(x^2 + 1) dx = 0. Este fato não é >> difícil de mostrar. Parcelando a segunda integral na soma de uma de (-oo a >> 1] com outra de [1 a oo) e fazendo x = 1/t em uma delas, concluimos que a >> integral é nula. >> >> Mas não vejo como esta informação possa ser utilizada na resolução da >> 1a.? Não vi o argumento do Phd. >> >> Alguém tem alguma sugestão? A resposta é -pi/4. >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
