Mas o enunciado fala em FUNÇÃO e não em POLINÔMIO. E, mesmo neste último caso, não é verdade, em geral, que f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x)
[]s, Claudio. On Tue, Jan 22, 2019 at 11:10 AM Olson <pedroalvesha...@gmail.com> wrote: > Se f(x) for um polinômio qualquer e f(0) =0, então o termo independente é > igual a 0 também. Por isso, f(2-x) = f(2) + f(-x) = f(2+x) = f(2) + f(x), o > que nos dá f(x) = f(-x). Das soluções que o Cláudio mostrou, as -1000, > -990, ..., 990, 1000 já obedecem isso. Se usarmos isso nas outras soluções, > encontramos que 996, 986, 976, ..., -984, -994 também são soluções, o que > nos dá 601 raízes ao todo. > > Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara < > claudio.buff...@gmail.com escreveu: > >> 0 = >> f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); >> f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); >> f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) >> f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) >> f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) >> f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) >> ... >> Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. >> >> f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = >> f(4-10(n+1)) >> Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela >> hipótese de indução. >> >> 0 = >> f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). >> f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) >> f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) >> f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) >> f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) >> f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) >> ... >> Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. >> >> Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: >> -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes >> e também: >> -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes >> >> Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. >> >> Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f >> pode necessariamente ter. >> Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de >> outras raízes. >> >> []s, >> Claudio. >> >> >> >> On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < >> artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: >> >>> Acho esse interessante. >>> >>> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >>> >>> f(2 - x) = f(2 + x) >>> f(7 - x) = f(7 + x) >>> >>> e f(0) = 0 >>> >>> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >>> >>> >>> Artur Costa Steiner >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
