É, o que podemos afirmar é que f tem pelo menos 401 raízes em [-1000, 1000].
Uma outra forma de mostrar é com base no seguinte teorema: Se o gráfico de f é simétrico com relação a dois eixos verticais x = a e x = b distintos, então f é periódica e um de seus períodos é 2|b - a|. Assim, a f do caso é periódica e um de seus períodos é 2(7 - 2) =10. Verificamos que 4 e 14 = 4 + 10, além de 0, são raízes. Logo, os números da forma a_n = 10n e b_n = 4 + 10n, n inteiro, são raízes.Disso concluímos facilmente que, em [-1000, 1000] , há 401 raízes de uma destas formas. Para provarmos o teorema citado, observamos que, para todo x, f(a - x) = f(a + x) f(b - x) = f(b + x) Logo para todo x, f(x) = f(a + (x - a)) = f(a - (x - a)) = f(2a - x) = f(b + (2a - x - b)) = f(b - (2a - x - b)) = f(2(b - a) + x) Como b - a <> 0, vemos que f é periódica e que 2|b - a| é um de seus períodos.. Artur Costa Steiner Em ter, 22 de jan de 2019 10:26, Claudio Buffara <claudio.buff...@gmail.com escreveu: > 0 = > f(0) = f(2-2) = f(2+2) = f(4); > f(4) = f(7-3) = f(7+3) = f(10); > f(10) = f(2+8) = f(2-8) = f(-6) > f(-6) = f(7-13) = f(7+13) = f(20) > f(20) = f(2+18) = f(2-18) = f(-16) > f(-16) = f(7-23) = f(7+23) = f(30) > ... > Hipótese de indução: f(10n) = f(4-10n) = 0, para n >= 0. > > f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(2+10n+8) = f(2-10n-8) = f(-6-10n) = f(4-10(n+1)) > Mas f(10(n+1)) = f(10n+10) = f(7+10n+3) = f(7-10n-3) = f(4-10n) = 0, pela > hipótese de indução. > > 0 = > f(0) = f(7-7) = f(7+7) = f(14). > f(14) = f(2+12) = f(2-12) = f(-10) > f(-10) = f(7-17) = f(7+17) = f(24) > f(24) = f(2+22) = f(2-22) = f(-20) > f(-20) = f(7-27) = f(7+27) = f(34) > f(34) = f(2+32) = f(2-32) = f(-30) > ... > Da mesma forma, dá pra provar que f(-10n) = f(14+10n) = 0, para n >= 0. > > Ou seja, no intervalo [-1000,1000], temos as raízes: > -1000, -990, -980, ..., -10, 0, 10, ..., 980, 990, 1000 ==> 201 raízes > e também: > -996, -986, -976, ..., -16, -6, 4, 14, 24, ..., 994 ==> 200 raízes > > Assim, no intervalo [-1000,1000], f tem pelo menos 401 raízes. > > Mas, de fato, isso não prova que este é o número mínimo de raízes que f > pode necessariamente ter. > Pois é possível que as condições do enunciado forcem a existência de > outras raízes. > > []s, > Claudio. > > > > On Tue, Jan 22, 2019 at 8:09 AM Artur Steiner < > artur.costa.stei...@gmail.com> wrote: > >> Acho esse interessante. >> >> Suponhamos que, para todo x, f de R em R satisfaça a >> >> f(2 - x) = f(2 + x) >> f(7 - x) = f(7 + x) >> >> e f(0) = 0 >> >> Determine o número mínimo de raízes que f pode ter em [-1000, 1000] >> >> >> Artur Costa Steiner >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
