Mandei espuriamente. Corrigi o que faltava.
Seja b=7
n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
portanto não há c que atenda.
Seja b=9
n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e
4*9+int((4c+3)/10)=c mod10
Só atende a primeira 4 ou 9, desses só atende a segunda 9.
Logo n= 1997 e 4n +3= 7991, resposta única. Havia mandado adiantado.
Em seg, 27 de abr de 2020 21:19, Pedro José <petroc...@gmail.com> escreveu:
> Boa noite!
> 1) a_n = [n(n+1)]/2 mod 10
> Fácilmente se vê que 20 é múltiplo do período minímo pois:
> a_19= 0 e a_20=0 logo a_21= a_20+21mod10 =0+1=1=a1.
> a_22=a_1+22 mod10 = 3=a_3 É assim sucessivamente.
> Então o período é um divisor de 20
> p<>1, pois, a_1<>a_2
> p<>2, pois, a_1<>a_3
> p<>4, pois a_1<>a_5
> p<>5, pois a_1<> a_6
> p<>10 pois a_1<>a_11
> logo p = 20.
> Não vem outra forma se calcular a_1 até a_20
>
> a_1=1 e S_1=1
> a_2=3 e S_2=4
> a_3=6 e S_3=10
> a_4=0 e S_4=10
> a_5=5 e S_5=15
> a_6=1 e S_6= 16
> a_7=8 e S_7=24
> a_8=6 e S_8=30
> a_9=5 e S_9=35
> a_10=5 e S_10=40
> a_11=6 e S_11=46
> a_12=8 e S_12=54
> a_13=1 e S_13=55
> a_14=5 e S_14=60
> a_15=0 e S_15=60
> a_16=6 e S_16= 66
> a_17=3 e S_17=69
> a_18=1 e S_18=70
> a_19=0 e S_19=70
> a_20=0 e S_20=70
> É fácil ver que a cada 20 números a mais a soma dará 70 de novo., 1992 =
> 20 x 99 +12; logo S_1992 =99 S_×0+S_12=6984.
>
> 2) seja n formado por ABCD, vamos representar a ideia número pela letra
> minúscula a, b, c, d e U={a, b, c, d} max(U)=9 e min(U)=0.
> a<=2 e a ímpar pois R(n)=DCBA é ímpar.
> Então a=1
> 4n+3= 4x(a*10^3+b*10^2+c*10+d)+3=
> =4d+3 mod10 4d+3=a mod10 ==> d=2 ou d=7, mas d>=4 pois 4n+3= d*10^3 +
> c*10^2 + b*10 + a > 4 *10^3. Logo d=7
> Logo b=7 ou b=9
> pois 4*b +3>30 É b é ímpar pois
> DCBA é côngruo 3 mod4
> Seja b=7
> n é formado por 17C7 e R(n) por 7C71, logo 4*c+3 >=30 e 4c+3=7 mod 10,
> portanto não há c que atenda.
> Seja b=9
> n é formado por 19C7 e R(n) por 7C91, logo 4c+3=9 mod 10 e
> 4*9+int((4c+3)/10)=c mod10
> Só atende a primeira 4 ou 9, desses só atende a segunda 9.
>
Logo n= 1997 e 4n +3= 7991, resposta única. Havia mandado adiantado.
>
>
>
>
> Em dom, 26 de abr de 2020 22:56, Julio Mohnsam <
> prof.juliomat...@hotmail.com> escreveu:
>
>> se n=2019
>>
>> ------------------------------
>> *De:* owner-ob...@mat.puc-rio.br <owner-ob...@mat.puc-rio.br> em nome de
>> Rogério Possi Júnior <roposs...@hotmail.com>
>> *Enviado:* domingo, 26 de abril de 2020 18:21
>> *Para:* Lista de Olímpiada OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
>> *Assunto:* [obm-l] Dois problemas
>>
>> Boa noite.
>>
>> Quem pode ajudar com esses dois problemas:
>>
>> 1) (Ibero-1992) Para cada inteiro positivo n, seja a_n o último dígito de
>> 1+2+3+...+n. Calcule a_1+a_2+...+a_n.
>>
>> 2) (UK-1997) N é um número inteiro de 4 dígitos não terminado em zero, e
>> R(N) é o número inteiro de 4 dígitos obtido pela reversão dos dígitos de N;
>> por exemplo R(3275)=5723. Determine todos os inteiros N ára os quais
>> R(N)=4N+3.
>>
>> Sds,
>>
>> Rogério
>>
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
