[obm-l] Re: [obm-l] Quais os dois últimos algarismos?
A solucao do Morgado eh mais inteligente e mais elegante do que a qeu eu dei por congruencias. Mas confirma o resultado achado. JP - Original Message - From: Augusto César Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, March 30, 2002 12:22 PM Subject: Re: [obm-l] Quais os dois últimos algarismos? Todos os termos do binomio sao multiplos de 400 (e, portanto, terminam em 00) exceto (-1)^97 e 97*20= 1940. Logo, a resposta eh 39. Augusto César Morgado wrote: (20-1)^97 é um binômio de Newton em que quase todos os termos sao multiplos de 20^2... Siberia Olympia wrote: Por favor, algum dos colegas poderia me ajudar a saber quais sâo os dois últimos algarismos do número 19^97? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade
Ola Andre e demais colegas desta lista : Uma feliz Pascoa para Todos ! A Questao 2 ja foi bem respondida. Resta esclarecer a primeira. Para tanto, considere a permutacao de letras seguinte : ABCD Qualquer outra permutacao na qual nao ha uma letra ocupando a posicao original ( A MESMA POSICAO ) e chamada uma PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO. Sao exemplos de dessaranjos as permutacoes abaixo : BADC, DCBA, CDAB Veja que o conceito de PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO e relativo a alguma disposicao original que tomamos como referencial ou padrao. O total de PERMUTACOES CAOTICAS de N elementos foi originalmente calculado por Nicolau Bernoulli e, independentemente, por Euler. A demonstracao e simples e voce pode encontrar em : *100 Great problems of elementary Mathematics *(Their History and solution ) * *Henrich Dorrie * *Dover Publications INC A formula e : !N = (N!)*( 1/(2!) - 1/(3!) + ... ((-1)^N)*(1/(N!)) ) Ora, se nos sabemos calcular o total de PERMUTACOES CAOTICAS as permutacoes em que ocorrem ao menos um reencontro e precisamente : Ao menos um reencontro = N! - !N. E a probabilidade, evidentemente, sera : P = (N! - !N)/N! Bom. Tudo isso nos ja sabemos e e so pensar em cima do que Bernoulli e seus amigos descobriram pra gente. Talvez mais interessante seja perceber que a cada AGRUPAMENTO LINEAR, tais como permutacoes e arranjos, correspondem outros, TIPO CIRCULAR. Para ver isso, considere a seguinte situacao : Um individuo fara uma reuniao com 12 pessoas. Para enfatizar o carater democratico da reuniao todos sentarao em uma mesa redonda, cada qual em um lugar pre-estabelecido. O anfitriao, porem, e bisonho. E pode suceder que ele conduza cada participante a uma posicao errada na mesa. Qual a probabilidade de isso ocorrer ? Resolver este problema e abordar o correlato circular das PERMUTACOES CAOTICAS. Nem Euler ou Bernoulli abordaram isso.De maneira geral, existe alguma relacao bem estabelecida entre um AGRUPAMENTO LINEAR e o seu correlado circular ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1246,310302 André wrote: Alguem pode me dar uma mao nos problemas: 1) Uma urna contem n bolas numeradas de 1 a n. As bolas sao escolhidas uma a uma, ao acaso, ateh esvaziar a urna. Se a bola r aparece na r-esima extracao, diz-se que ocorre um reencontro. Calcular a probabilidade de q ocorra pelo menos um reecontro. 2) Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um grupo de 2n pessoas, an preferem o sabor A, bn preferem o sabor B e 2n-(a+b) nao tem preferencias. Se os sorvete sao distribuidos ao acaso, qual e a probabilidade de que a preferencia de todas as pessoas seja respeitada. Agradeco. Andre. _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Probabilidade
Este assunto ja foi tratado aqui na lista, nao me lembro quando. Ha um artigo meu O problema do amigo oculto na Revista do Professor de Matematica no 28, ano 1995, onde tambem estah demonstrada esta formula. JP - Original Message - From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, March 31, 2002 3:48 PM Subject: Re: [obm-l] Probabilidade Ola Andre e demais colegas desta lista : Uma feliz Pascoa para Todos ! A Questao 2 ja foi bem respondida. Resta esclarecer a primeira. Para tanto, considere a permutacao de letras seguinte : ABCD Qualquer outra permutacao na qual nao ha uma letra ocupando a posicao original ( A MESMA POSICAO ) e chamada uma PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO. Sao exemplos de dessaranjos as permutacoes abaixo : BADC, DCBA, CDAB Veja que o conceito de PERMUTACAO CAOTICA ou DESSARANJO e relativo a alguma disposicao original que tomamos como referencial ou padrao. O total de PERMUTACOES CAOTICAS de N elementos foi originalmente calculado por Nicolau Bernoulli e, independentemente, por Euler. A demonstracao e simples e voce pode encontrar em : *100 Great problems of elementary Mathematics *(Their History and solution ) * *Henrich Dorrie * *Dover Publications INC A formula e : !N = (N!)*( 1/(2!) - 1/(3!) + ... ((-1)^N)*(1/(N!)) ) Ora, se nos sabemos calcular o total de PERMUTACOES CAOTICAS as permutacoes em que ocorrem ao menos um reencontro e precisamente : Ao menos um reencontro = N! - !N. E a probabilidade, evidentemente, sera : P = (N! - !N)/N! Bom. Tudo isso nos ja sabemos e e so pensar em cima do que Bernoulli e seus amigos descobriram pra gente. Talvez mais interessante seja perceber que a cada AGRUPAMENTO LINEAR, tais como permutacoes e arranjos, correspondem outros, TIPO CIRCULAR. Para ver isso, considere a seguinte situacao : Um individuo fara uma reuniao com 12 pessoas. Para enfatizar o carater democratico da reuniao todos sentarao em uma mesa redonda, cada qual em um lugar pre-estabelecido. O anfitriao, porem, e bisonho. E pode suceder que ele conduza cada participante a uma posicao errada na mesa. Qual a probabilidade de isso ocorrer ? Resolver este problema e abordar o correlato circular das PERMUTACOES CAOTICAS. Nem Euler ou Bernoulli abordaram isso.De maneira geral, existe alguma relacao bem estabelecida entre um AGRUPAMENTO LINEAR e o seu correlado circular ? Um Grande abraco a Todos Paulo Santa Rita 1,1246,310302 André wrote: Alguem pode me dar uma mao nos problemas: 1) Uma urna contem n bolas numeradas de 1 a n. As bolas sao escolhidas uma a uma, ao acaso, ateh esvaziar a urna. Se a bola r aparece na r-esima extracao, diz-se que ocorre um reencontro. Calcular a probabilidade de q ocorra pelo menos um reecontro. 2) Uma caixa contém 2n sorvetes, n do sabor A e n do sabor B. De um grupo de 2n pessoas, an preferem o sabor A, bn preferem o sabor B e 2n-(a+b) nao tem preferencias. Se os sorvete sao distribuidos ao acaso, qual e a probabilidade de que a preferencia de todas as pessoas seja respeitada. Agradeco. Andre. _ O MSN Photos é o jeito mais fácil de compartilhar e imprimir as suas fotos: http://photos.msn.com.br/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Questões do Livro do Morgado e do E. Wagner
questão1 : Em um triângulo ABC, BC = a e (AB/AC) = (3/2), calcule o comprimento da altura relativa ao lado a sabendo que ela é máxima. (a) h = a (b) h = (3/2)a (c) h = (5/4)a (d) h = (5/3)a (e) h = (6/5)a questão 2 : Em um triângulo ABC, BC = 16 e ha = 8, calcule a razão AB/AC sabendo que ela é máxima. (a) 2 (b) 3 (c) 3/2 (d) 4/3 (e) NRA = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Enc: Ajuda....
---BeginMessage--- Cinco senhoras acompanhadas por suas filhas solteiras compraram tecidos na mesma loja. Cada uma das dez comprou tantos metros de tecido quantos foram os reais pagos por metro. Cada mãe gastou 405 reais mais que sua filha e todas compraram numeros inteiros de metros. A senhora Rocha gastou 288 reais mais que a senhora Costa, que gastou cerca de um quarto do que a senhora Alves gastou. A senhora Silva foi a que mais gastou. A senhora Barros comprou 63 metros a mais do que Beatriz, uma das meninas. Ana comprou 48 metros mais do que Maria e gastou 2912 reais mais do que Ema. A outra menina se chama Dora. Qual é o seu sobrenome?? Se conseguirem resolver , desde ja agradeço... Crom ---End Message---
Re: [obm-l] area do triângulo + erro
Siberia Olympia wrote: Caros amigos, gostaria de ajuda na questâo Seja ABCDE um pentágono de lados AB, BC, CD, DE e EA tal que Area(ABC)=Area(ABD)=Area(ACD)=Area(ADE)=17. Calcular a medida da área do triângulo BCE. Um forte abraço, cg. Só por diversão, vamos construir a figura :-) Coloque A, B e C quaisquer no plano. . Se ABC=ABD, então D está numa paralela à AB que passa por C ou no reflexo desta paralela em relação à AB. Se ABD=ACD, então D1 = C + vetor(AB) D2 = C - vetor(AB) D3 = intersecção da reta refletida com uma paralela à BC passando por A Se ABD=ADE, então E está na paralela à AD passando por B ou no reflexo desta em relação à AD. Como A, D2 e D3 estão alinhados, D2 e D3 dão o mesmo par de retas para E: a reta Bc e o reflexo desta com relação à AD2 (AD3). Já D1 dá uma passando por C e outra por B, mas como ADB=ADC, então essas paralelas são equidistantes de AD1, logo não há problemas. Portanto, temos dados A, B e C, temos 3 opções para D, depois disso, colocar o E em qualquer lugar de duas paralelas à AD. Se escolhermos D2 ou D3, não poderemos colocar E sobre a reta BC ou área(BCE)=0. Assim, coloquemos sobre o reflexo de BC em relação à AD2 (AD3). área(BCE) = BC*(dist[E,BC]) Como A equidista da reta em que está E e da reta BC, temos que dist[E,BC]=2*dist[A,BC]. Logo: área(BCE) = 2*BC*(dist[A,BC]) = 2*área(ABC) = 34 No entanto, se escolhermos D1, a área de BCE poderá variar de zero a infinito. Alguém sabe explicar qual o erro em D1?? Tudo leva a crer que D2 e D3 estejam certos, mas qual o erro de D1? Na figura é fácil ver que o único ponto E que dá a mesma resposta é (a intersecção de CD1 com a paralela à AD1 que passa por B) ou, equivalentemente, (D1+vetor(AB)). Ah sim, tb há o reflexo deste ponto em relação à BC. E aí, alguém se habilita?? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
