Re: [obm-l] ajuda
Olá, gostaria de ajuda nestas 2 questões: 1.Prove que existem infinitos nºs da forma 1999...9991 que são múltiplos de 1991. Essa é da OBM de 1991. Notemos que 1999...991 = 2000...00 9 = 2.10^(n + 1) 9 = 2000.10^(n 2) 9 e que 1991 = 11.81 Assim, como 2000 == 9 (mod. 1991) = 1999...991 == 9(10^(n 2) 1) (mod. 1991). Para que 1999...991 seja múltiplo de 1991, devemos ter: 9(10^(n 2) 1) == 0 (mod. 1991) = 10^(n 2) == 1 (mod. 1991), uma vez que 9 e 1991 são primos entre si. Sendo 181 e 10 primos entre si, pelo teorema de Fermat: 10^180 == 1 (mod. 181). Analogamente, para 11 e 10: 10^10 == 1 (mod. 11) = 10^180 == 1 (mod. 11). Assim, temos que 10^180 1 é múltiplo de 181 e 11 e, portanto, múltiplo do mínimo múltiplo comum de 11 e 181, que é 1991. Em outras palavras: 10^180 == 1 (mod. 1991). Desta forma, para n = 182 = 1999...991 == 0 (mod. 1991), onde temos 182 números 9. Como 10^(180k) == 1 (mod. 1991) então basta fazer n 2 = 180k = n = 180k + 2 para que os números da forma 1999...991 (com n 9s) sejam múltiplos de 1991. 2.Prove que existem infinitos primos da forma 4k +3. Esse é um problema clássico, tem em vários livros de olimpíadas e caiu na olimpíada da Espanha em 1992. Suponhamos, por absurdo, que exista um número finito de primos da forma pi = 4n 1. Seja o número N = 4p1p2p3 pn 1, onde pi são todos os primos da forma 4n 1. Notemos que N também é da forma 4n 1 e é ímpar. Fatorando em fatores primos N, temos que os primos que dividem N devem ser da forma 4n 1 e 4n + 1. Repare que: (4n1 1)(4n2 1) = 4(4n1n2 n1 n2) + 1 = 4k + 1 (4n1 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 n2) 1 = 4k 1 (4n1 + 1)(4n2 + 1) = 4(4n1n2 + n1 + n2) + 1 = 4k + 1 Como mdc (N, pi) = 1, então cada pi não divide N Entretanto, na fatoração de N temos que ter fatores primos da forma 4n 1, pois somente multiplicando um termo da forma 4n1 1 com outro da forma 4n2 + 1 conseguimos um número da forma 4k 1, que é a forma de N. Assim, este fator primo de N da forma 4n 1 deve ser distinto dos outros primos pi da forma 4n 1, que é um absurdo, pois todos os primos da forma 4n - 1 estão na expressão de N. Obrigada! Fê Até mais, Marcelo Rufino de Oliveira _ MSN Photos is the easiest way to share and print your photos: http://photos.msn.com/support/worldwide.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] duvida
Para simplifcar a vida, vou pensar numa cidade de 100 hab e vou chamar H (homens)/M (mulheres); J (jovens com menos de 30)/I (idosos com +de 30); S (solteiro)/C (casado). (unirio-rj) Tendo sido feito o censo populacional 96 em uma cidade , descobriu-se sobre a população que: 1) 44% têm idade superior a 30 anos; HIC+HIS+MIC+MIS=44 2) 68% são homens ; HJS+HJC+HIS+HIC=68 3) 37% são homens com mais de 30 anos HIC+HIS=37 4) 25% são homens solteiros HIS+HJS=25 5) 4% são homens solteiros com mais de 30 anos HIS=4 6) 6% são individuos solteiros com mais de 30 anos HIS+MIS=6 com base nos dados anteriores ,pode-se afirmar q a porcentagem da população desta cidade q representa as mulheres casadas com idade igual ou inferior a 30 anos é de? MJC=? Aplicando 5 em 3, 4 e 6, teremos, respectivamente: HIC=33; HJS=25 e MIS=2. Aplicando esses resultados em 2, teremos HJC=6. Com isso já calculamos todo o grupo dos homens e tb sabemos MIS. Com esses valores e a equação 1, temos MIC=5. Hum... se somarmos td teremos q ter 100 (ou, por 2, sabemos q só as mulheres somam 32), veremos que MJS+MJC=25. Bem, aí não sei mais sair Creio q faltou algum informação... Alguém se habilita? Abaixo os valores q encontrei, organizados. HJS = 25 HJC = 6 HIS = 4 HIC = 33 MJS = ? MJC = 25-? MIS = 2 MIC = 5 []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] TN
Luiz Alberto Duran Salomao wrote: Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo, mas parece-me que ainda nao foi respondida. [...] Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Olá, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dúvidas sobre Números Inteiros. 1) Se n é composto então o número 11111 (n vezes) também é composto. Obrigado! 2,5 dúvidas. Primeira: a reçiproca é verdadeira? Ou seja, se 111...11 (n vezes) é composto, então n tb é composto? Segunda: E com n primo? 111...11 (n vezes) é primo ou é composto? 2,5-ésima dúvida: E a reciproca (da segunda dúvida), é verdadeira? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] quadrilateros
Gostaria de saber se um trapézio é um quadrilátero que possui APENAS UM par de lados paralelos ou PELO MENOS um par de lados paralelos. _ Chegou o novo MSN Explorer. Instale já. É gratuito: http://explorer.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Sauda,c~oes,
Obrigado Eduardo e Nicolau.
Vou tentar achar o livro do John B. Conway.
Dei uma pensada e após uma rascunhada consegui
mostrar que
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
As listas têm este problema: é tão fácil perguntar que
esquecemos que nós mesmos podemos ter a resposta
para nossos problemas.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED]
Enviada em: segunda-feira, 8 de abril de 2002 19:32
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] sum(1/k^2)
Oi Luis Lopes,
eu realmente nao sei se vai ajudar, mas o exercicio 13 da pagina 76 do
livro
Functions of One Complex Variable do John B. Conway fala sobre essa
funcao.
De uma olhada.
Eduardo Casagrande Stabel.
From: Luis Lopes [EMAIL PROTECTED]
Sauda,c~oes,
Seja H_n^(r) = 1 + 1/2^r + 1/3^r + ... + 1/n^r.
Então sum (1/k^2) = H_\infty^(2).
Quando r é par, temos o seguinte resultado:
H_\infty^(r) = {1\over2} |B_r| {(2\pi)^r\over r!},
onde B_r é um número de Bernoulli (ver minha msg
raio de convergência).
Se r=2, B_2=1/6. Então H_\infty^(2) =
{1\over12} {4\pi^2\over 2} = \pi^2/6.
Uma pergunta sobre os números de Bernoulli e
a expansão em séries de z/(e^z-1).
Como provar que os coeficientes desta série
são dados por B_0=1 (cálculo direto) e
B_t = - {1\over t+1} \sum_{j=0}^{t-1} binom{t+1}{j} B_j.
Alguma referência?
[]'s
Luís
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Re: [obm-l] TN
Caro Alexandre: A reciproca nao eh verdadeira. Contra-exemplo: 111 eh composto (pois eh divisivel por 3) mas 3 nao eh composto. Acho que isto responde tambem aas suas outras questoes, nao eh ? Abracos, Luiz Alberto Salomao Alexandre Tessarollo wrote: Luiz Alberto Duran Salomao wrote: Caros amigos: Este exercicio foi enviado para a lista jah faz algum tempo, mas parece-me que ainda nao foi respondida. [...] Um abraco a todos, Luiz Alberto Salomao Rubens Vilhena wrote: Olá, pessoal! Espero que me ajudem em minhas dúvidas sobre Números Inteiros. 1) Se n é composto então o número 11111 (n vezes) também é composto. Obrigado! 2,5 dúvidas. Primeira: a reçiproca é verdadeira? Ou seja, se 111...11 (n vezes) é composto, então n tb é composto? Segunda: E com n primo? 111...11 (n vezes) é primo ou é composto? 2,5-ésima dúvida: E a reciproca (da segunda dúvida), é verdadeira? []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] quadrilateros
Gostaria de saber se um trapézio é um quadrilátero que possui APENAS UM
parde lados paralelos ou PELO MENOS um par de lados paralelos.
R.: PELO MENOS um par de lados paralelos.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
Departamento de Matematica Aplicada Instituto de Matematica e Estatistica
Rua do Matao, 1010 Butanta - Cidade Universitaria
Caixa Postal 66 281 phone +55-11-3091-6162/6224/6136
05311-970 - Sao Paulo - SP fax +55-11-3091-6131
Agencia Cidade de Sao Paulo
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Re: [obm-l] quadrilateros
Um paralelogramo é então, um tipo particular de trapézio ?
- Original Message -
From: Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Wednesday, April 10, 2002 5:55 PM
Subject: Re: [obm-l] quadrilateros
Gostaria de saber se um trapézio é um quadrilátero que possui APENAS UM
parde lados paralelos ou PELO MENOS um par de lados paralelos.
R.: PELO MENOS um par de lados paralelos.
Angelo Barone{\ --\ }Netto Universidade de Sao Paulo
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Re: [obm-l] quadrilateros
todo paralelogramo é um trapézio...a recíproca não é verdadeira. abraço Crom = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] quadrilateros
Um paralelogramo é então, um tipo particular de trapézio ?
Sim
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[obm-l] Integração
Qual é o valor de E? E=Integr[x^3*dx/3*raiz(1-x^2)]
