[obm-l] Re: PAs de ordens>1
Antes de mais nada, obrigado pelas respostas do N para os raios e de todos que
responderam às questões do somatório de x^2 e da PA de k-ésima ordem. Gostaria de
comentar a resposta do Domingos Jr. em particular:
>> Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de
>2a >>ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a
>ordem)? >>Naturalmente temos a[1], R e b[1].
>
>o somatório de 1 até n dos a[i] vai dar: n.a[1] + somatório{i = 1 até n-1}[(n-i).b[i]]
>
>a1 = a1
>a2 = a1 + b1
>a3 = a1 + b1 + b2
>...
>an = a1 + b1 + b2 + ... + b[n-1]
>a1 + a2 + ... + an = n.a1 + (n-1).b1 + (n-2)b2 + ... + b[n-1]
Ok, acho q vc assumiu que b[i] era a PA de primeira ordem e a[i] seria a PA de
segunda ordem. Considerando assim, está perfeitamente corrto o que vc escreveu. Nos
meus rascunhos eu tinha chegado exatamente até esse ponto. O problema que eu tive foi
expressar a soma da PA de 2a ordem em função APENAS de a[1], b[1], n e R (razão da PA
d 1a ordem).
Concordo que a sua resposta faz isso IMplicitamente, mas eu gostaria de algo
EXplícito.
Por analogia, poderíamos dizer que o somatório da PA de 1a ordem de b[1] até b[n]
pode ser escrito como S[n]=(b[1]+b[n])n/2, mas eu prefiro expressar explicitamente, ou
seja, S[n]=(2b[1]+(n-1)R)n/2.
Desculpem a falta de clareza anterior. Ah sim, ainda falta alguém se manifestar
quanto a generalização dessa pergunta, ou seja, como expressar o somatório de uma PA
de k-ésima ordem em função (explícita :-)) dos primeiros termos de cada PA de ordem
inferior?
[]'s
Alexandre Tessarollo
--
__
Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com
http://www.mail.com/?sr=signup
One click access to the Top Search Engines
http://www.exactsearchbar.com/mailcom
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Definição dos números naturais
O n não poderia ser real o n significa ordem ,
e os reais nao tem ordem como os naturais ou racionais.
- Original Message -
From:
Sérgio
Ricardo de Souza
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, November 01, 2002 11:59
PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Definição
dos números naturais
André T.
Não entendi muito bem sua definição.
Já recorreu aos axiomas de Peano?:
(1. Zero pertence a N.
2. Se a pertence a N, o sucessor de a pertence a
N.
3. Zero não é sucessor de nenhum outro elemento
de N.
4. Dois elementos de N cujos sucessores são
iguais, são eles próprios iguais.
5. Se um subconjunto S de N contém o zero e
também o sucessor de todos os elementos de S, então N está contido em
S.)
Réka.
- Original Message -
From:
Wagner
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday, November 01, 2002 9:14
PM
Subject: [obm-l] Definição dos números
naturais
Oi para todos!
Qual a definição de N?
Pensei em N={Xn pertence a
N, X0 = 0, X(n+1) = Xn + 1, n >=
0 , n é real , Xn é
diferente de intp.(Xn), para todo
Xn não definido pelas regras
anteriores}
Em que intp.(Xn) é a interpolação do valor de Xn através dos valores de X já definidos.
Mas essa definição (não sei se é a mais
correta) depende da definição de número real. Existe uma definição de N que
não envolva a definição de R?
André
T.
Re: [obm-l] Matriz Inversa
Se vc sabe um poko de álgebra linear, é fácil... Olhe A e X como transformações lineares de R^N em R^N. Então X é injetora, pois dados u,v em R^N, Xu=Xv implica AXu=AXv, logo u=v. Pelo teorema do núcleo e da imagem, X é sobrejetora, logo é bijetora e portanto possui inversa. Então existe a transformação X^(-1), que possui matriz X^(-1). Daí segue trivialmente que A é a inversa de X. Se vc ñ entendeu essas coisas (é pq ainda ñ viu, é claro), procure o livro de álgebra linear do Elon, q é de fácil acesso. Abraços. Villard De: Daniel <[EMAIL PROTECTED]> Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]> Data: Sexta-feira, 22 de Novembro de 2002 22:21 Assunto: [obm-l] Matriz Inversa Olá à todos os membros da lista! Uma pergunta teórica sobre matrizes: Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a matriz identidade de mesma ordem. Para a equação: AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou é preciso definir que AX = XA = I Grato Daniel O . Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Matriz Inversa
Olá à todos os membros da lista! Uma pergunta teórica sobre matrizes: Sejam A e X matrizes quadradas de ordem n e I a matriz identidade de mesma ordem. Para a equação: AX = I, posso afirmar que X é a inversa de A, ou é preciso definir que AX = XA = I Grato Daniel O . Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] RES: [obm-l] Raios num triângulo qualquer
Use as várias fórmulas para a área S do triângulo ABC! Você sabe que S=pr? Bom, se não sabe, use as áreas dos triângulos AIB, BIC e CIA para mostrar isto. Por outro lado, você já conhece a fórmula S=sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))? Esta é mais chata, vem de determinar uma das alturas, digamos, AH, usando dois Pitágoras nos triângulos AHB e AHC, e então fazer S=a.AH/2. Juntando as duas fórmulas VOILÁ! r=sqrt((p-a)(p-b)(p-c)/p)... Para o outro raio, lembre-se de que S=abc/4R... Não sabe donde vem esta? Ok, lembre-se de que S=bc sinA/2 e use a Lei dos Senos a/sinA=2R para eliminar o sinA da jogada. Juntando isto com S=sqrt(blá-blá-blá)... VOIBLÁ! Hmmm... foi mal. ;) Abraço, Ralph -Mensagem original- De: Alexandre Tessarollo [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Enviada em: sexta-feira, 22 de novembro de 2002 01:54 Para: [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Raios num triângulo qualquer Como posso calcular o raio da circunferência inscrita de um triângulo qualquer em funçào dos lados? E da circunferência circunscrita? Comecei a divagar em cima disso pensando no problema abaixo: "Seja I o incentro do triângulo ABC. Dados que AB.BC=AC^2-AB^2 e AI=BC-AC, prove que AB^2/(AI.BI)+BI/AB=(BI/AI)^2" Alguém se habilita a me dar uma ajuda? Plz.. []'s Alexandre Tessarollo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
RES: [obm-l] prob
Hmmm... Para ser exato, não sei se esta resposta está correta -- depende do que se
quer dizer com "ao acaso". Para ilustrar meu raciocínio, suponha que há apenas 2
gavetas A e B com capaciidade máxima de 3 pastas cada, digamos, A1 A2 A3 B1 B2 B3. Uma
secretária põe 4 pastas "ao acaso" nestas gavetas... Qual é a chance de haver 2 pastas
em cada gaveta?
Uma maneira de pensar é: pode ser 1+3, 2+2 ou 3+1, então a probabilidade é 1/3. Parece
razoável? Bom, mas quem disse que estas 3 coisas são igualmente prováveis? Se você
acredita que escolher "ao acaso" é escolher aleatoriamente uma destas possibilidades
de pares ordenados que somam 4, esta é a resposta.
Outra maneira é: pode ser {1,3} ou {2,2}, então a probabilidade é 1/2. Aqui, a
secretária escolheu "ao acaso" uma das possibilidades de CONJUNTOS de dois números
menores ou iguais a 3 que somam 4. Não gostou? Bom, vejamos outras interpretações mais
convincentes.
Esta é bem convincente: escolhemos 4 lugares de A1 a B3 para colocar as pastas, que é
equivalente a escolher "ao acaso" 2 lugares para ficarem vazios. Há 6x5/2=15 maneiras
de fazer isto. Destas, apenas 3x3 dão um local vazio de cada gaveta. Então a
probabilidade é 9/15=3/5. Se foi assim que a secretária escolheu onde colocar as
pastas, isto está correto! Particularmente, também não é esta a minha interpretação
favorita...
Na minha opinião, a melhor interpretação é: a secretária arquiva as pastas uma a uma;
a cada pasta a ser arquivada, a secretária escolhe aleatoriamente uma gaveta (ainda
não cheia) para colocar a pasta. Podemos chamar a primeira gaveta a ser escolhida de
"A". Há assim 1/4 de chance dela escolher a seguir AA (e então forçosamente B), e 1/8
de chance de escolher cada uma das outras escolhas "não-forçadas" ABB, ABA, BAA, BAB,
BBA, BBB. Apenas 4 destas possibilidades dão a divisão equânime de pastas... Então, a
probabilidade de ter 2 pastas em cada é 4/8=1/2 (!).
Esta última é equivalente a pensar que a secretária escolhe uma gaveta para NÃO pôr
uma pasta, depois outra gaveta (possivelmente a mesma!) para NÃO PÔR outra pasta. Em
suma, pense nela enchendo todas as gavetas com 6 pastas e então RETIRANDO 2 pastas das
gavetas (no sentido de que ela escolhe a GAVETA de maneira aleatória e então retira
uma pasta daquela gaveta): ela pode retirar de AA, AB, BA ou BB. Probailidade de tirar
igualmente de A e B é 2/4=1/2, que é a resposta.
Como eu gosto mais desta maneira de interpretar a expressão "ao acaso", faço isso com
as 4 gavetas de 5 pastas e as 18 pastas do problema original. Penso que a secretária
escolhe AO ACASO uma gaveta (dentre as não cheias) para colocar cada pasta, uma a uma.
Bom, isto é equivalente a usar o mesmo processo para RETIRAR 2 pastas a partir de
gavetas cheias. Se as gavetas são ABCD, ela escolhe AA, AB, AC, ... ou DD para RETIRAR
(ou NÃO COLOCAR) 2 pastas. Destas 16 possibilidades, há 3+3=6 com a gaveta A
mencionada apenas uma vez: AB, AC, AD, BA, CA, DA. Assim, a probabilidade de a gaveta
A ter exatamente 4 pastas é 6/16=3/8.
Note como esta minha resposta é diferente daquela presente na mensagem abaixo (que,
repito, não está *ERRADA*, mas é uma interpretação de "ao acaso" com a qual não
concordo não). Em suma, porque os 10 casos apresentados lá seriam igualmente prováveis?
Eu *APOSTO* que este problema vai gerar polêmica... ;)
Abraços,
Ralph
-Mensagem original-
De: Andr Linhares [mailto:[EMAIL PROTECTED]]
Enviada em: segunda-feira, 18 de novembro de 2002 17:37
Para: [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] prob
Observe que pelo menos 2 das gavetas estão com a capacidade máxima (5
pastas). Caso cotrario, o total de pastas seria no máximo 5+4+4+4=17. Bem,
agora que já sabemos disso temos de distribuir 8 pastas nas gavetas
restantes. As possibilidades seriam: 0 e 8, 1 e 7, 2 e 6, 3 e 5; 4 e 4. As
únicas que não ultrapassam o limite das gavetas são: 3 e 5, 4 e 4.
a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 5 3 | 5 5 3 5 | 5 3 5 5 | 3 5 5 5
a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d | a b c d
5 5 4 4 | 5 4 5 4 | 4 5 5 4 | 5 4 4 5 | 4 5 4 5 | 4 4 5 5
Em 6/10, ou seja, 3/5 dos casos, existem 2 gavetas com exatamente 4
pastas. A possibilidade de a gaveta a estar entre essas duas é de 2/4=1/2.
Ou seja, a possibiliade de a gaveta a ter exatamente 4 pastas é de 1/2.3/5 =
3/10 = 30%
>From: "Marcelo Roseira" <[EMAIL PROTECTED]>
>Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
>To: <[EMAIL PROTECTED]>
>Subject: [obm-l] prob
>Date: Mon, 18 Nov 2002 12:01:56 -0200
>
> Caros amigos:
>Um arquivo de escritório possui 4 gavestas, chamadas a, b, c e d. Em cada
>gaveta cabem no máximo 5 pastas. Uma secretária guardou, ao acaso, 18
>pastas nesse arquivo. Qual é a probabilidade de haver exatamente 4 pastas
>na gaveta a?
>
>Grato.
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O admini
RE: [obm-l] (nenhum assunto)
Carissimo,
Uma maneira de esbocar o
grafico seria estudar os limites laterais em torno dos pontos de
descontinuidade, analisar como a funcao se comporta quando x->info u x->-inf,
analisar o sinal da 1ª e 2ª derivada, etc...Qualquer livro de calculo traz
essas regras pra voce.
Leandro.
-Original Message-
From:
[EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]] On Behalf Of [EMAIL PROTECTED]
Sent: Friday,
November 22, 2002 11:33 AM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] (nenhum assunto)
Me perguntaram como se obtém o
gráfico da função abaixo...eu disse que existem programas que fazem gráficos de
funções diversas, por mais estranhas que sejam...alguém sabe como se chamam
esses programas, onde encontro? Se alguém souber como se faz o gráfico( se é
que é possível se fazer no braço eu agradeço.)
f(x)=(x-3)/(x^2-6x+5) com
D(f)=IR-{1;5}
Crom
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
Sites onde se pode baixar softwares para traçar gráficos
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htm - Site da disciplina de Eduacação Matemática e Novas Tecnologias da UFRGS
http://www.somatematica.com.br - Necessita inscrição, que é rápida, depois pode acessar o link de softwares.
Apesar disto, confie também em fazer no braço.
Eu, se precisasse fazer ia procurar pontos de inflexão, como é a concavidade e estas coisas que se aprende a fazer com Cálculo.
Estas são técnicas de um graduando. Se os grandes mestres deste grupo tiverem soluções melhores e mais rápidas, eu também agradeço.
JOÃO CARLOS PAREDE
[EMAIL PROTECTED] wrote:
Me perguntaram como se obtém o gráfico da função abaixo...eu disse que existem programas que fazem gráficos de funções diversas, por mais estranhas que sejam...alguém sabe como se chamam esses programas, onde encontro? Se alguém souber como se faz o gráfico( se é que é possível se fazer no braço eu agradeço.) f(x)=(x-3)/(x^2-6x+5) com D(f)=IR-{1;5} Crom Yahoo! GeoCities
Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] (nenhum assunto)
Me perguntaram como se obtém o gráfico da função abaixo...eu disse que existem programas que fazem gráficos de funções diversas, por mais estranhas que sejam...alguém sabe como se chamam esses programas, onde encontro? Se alguém souber como se faz o gráfico( se é que é possível se fazer no braço eu agradeço.)
f(x)=(x-3)/(x^2-6x+5) com D(f)=IR-{1;5}
Crom
[obm-l] comprimento do segmento HM num triângulo acutângulo
Sauda,c~oes, Antes de mais nada, obrigado ao Nicolau por todos os últimos emails, inclusive o off topic pessoal. Vou procurar as duas referências e a explicação da passagem coth cot ficou clara. Agora um problema talvez mais no espírito da lista. Sejam H_a e M_a os pés da altura e da mediana que partem do vértice A num triângulo acutângulo com B > C. |---|---||--- BH_a M_a C Calcule o comprimento do segmento H_aM_a em função dos ângulos B e C e do raio R (circunscrito). []'s Luís
Re: [obm-l] Raios num triângulo qualquer
Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: E trigonometria na cabeça Alexandre Tessarollo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Como posso calcular o raio da circunferência inscrita de um triângulo qualquer em funçào dos lados?(raio da inscrita=area/semiperimetro) E da circunferência circunscrita?(abc=4sr)Comecei a divagar em cima disso pensando no problema abaixo:"Seja I o incentro do triângulo ABC. Dados que AB.BC=AC^2-AB^2 e AI=BC-AC, prove que AB^2/(AI.BI)+BI/AB=(BI/AI)^2"(primeiro calcule os angulos em funçao dos angulos do triangulo.Depois use trigonometria para calcular os lados e segmentos em funcao dos angulos.E depois e correr pro abraço)Alguém se habilita a me dar uma ajuda? Plz..[]'sAlexandre Tessarollo-- __Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] Raios num triângulo qualquer
E trigonometria na cabeça Alexandre Tessarollo <[EMAIL PROTECTED]> wrote: Como posso calcular o raio da circunferência inscrita de um triângulo qualquer em funçào dos lados?(raio da inscrita=area/semiperimetro) E da circunferência circunscrita?(abc=4sr)Comecei a divagar em cima disso pensando no problema abaixo:"Seja I o incentro do triângulo ABC. Dados que AB.BC=AC^2-AB^2 e AI=BC-AC, prove que AB^2/(AI.BI)+BI/AB=(BI/AI)^2"(primeiro calcule os angulos em funçao dos angulos do triangulo.Depois use trigonometria para calcular os lados e segmentos em funcao dos angulos.E depois e correr pro abraço)Alguém se habilita a me dar uma ajuda? Plz..[]'sAlexandre Tessarollo-- __Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.commhttp://www.mail.com/?sr=signupOne click access to the Top Search Engineshttp://www.exactsearchbar.com/mailcom=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]
On Fri, Nov 22, 2002 at 03:03:37PM -0200, Luis Lopes wrote: > Sauda,c~oes, > > Obrigado, Nicolau. > > Vou olhar pela n-ésima vez o livro do Knuth > e outros. Eu tinha dito que você encontraria a série da tangente em um "bom livro de cálculo" e dei como referência o Concrete Mathematics, que é um bom livro mas não é um livro de cálculo... Então para não ficar devendo fui procurar outra referência. Encontrei a série da tangente no livro "Calculus of one variable", de Joseph W. Kitchen, Jr., Addison-Wesley, seção 13.7 (Real analytic functions), página 667. Ele apresenta os números de Bernoulli na página 665 exatamente para achar as séries de x coth x e x cot x. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]
On Fri, Nov 22, 2002 at 03:03:37PM -0200, Luis Lopes wrote:
> Sauda,c~oes,
>
> Obrigado, Nicolau.
>
> Vou olhar pela n-ésima vez o livro do Knuth
> e outros.
>
> Vendo sua demonstração lembrei-me de
> duas folhas que xeroquei do livro
> A Classical Introduction to Modern Number
> Theory by K. Ireland and M. Rosen,
> Springer-Verlag, 1990.
> As folhas reproduzem as páginas 228-231
> do capítulo 15 Bernoulli Numbers.
> Lá vemos a definição e aplicações dos números
> de Ber. A mais elementar é o cálculo das
> somas 1^m + ... + (n-1)^m.
Soma esta que por acaso está sendo discutida agora mesmo nesta lista...
> Preciso agora entender a passagem
>
> > t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
> >
> > cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
Lembre-se que
coth t = (e^t + e^(-t))/(e^t - e^(-t))
i coth it = cot t = i * (e^(it) + e^(-it))/(e^(it) - e^(-it))
Troque t por it na primeira fórmula...
> No momento faço duas correções de teclado (typos):
>
> > t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
> > = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
> > = t/2 * coth(t/2)
>
> A 2a. linha deveria ser
>
> > = t/2 * (e^(t/2) + e^(-t/2))/(e^(t/2) - e^(-t/2))
>
> > é ímpar
> Leia-se é par.
Você tem razão nos dois casos, obrigado pela correção e pela leitura atenta.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
On Fri, Nov 22, 2002 at 02:02:48AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
>
>Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de
>somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
O somatório
1^n + 2^n + ... + k^n
onde pensamos em n como um parâmetro fixo mas arbitrário e em k como a variável
é dado por um polinômio de grau (n+1) na variável k:
1^n + 2^n + ... + k^n = a_{n,n+1} k^(n+1) + a_{n,n} k^n + ... + a_{n,0}
Estes coeficientes a_{i,j} são números racionais e você pode sem dificuldade
deduzir várias propriedades deles mas de fato estes são (a menos alterações
mínimas) os polinômios de Bernoulli de que falava há poucos dias atrás;
repetindo...
Os polinômios de Bernoulli podem ser definidos por
te^(xt)/(e^t - 1) = sum_k B_k(x)/k! t^k
e satisfazem
B_n(0) = B_n
B_n(x+1) - B_n(x) = n x^(n-1)
(B_(n+1)(k+1) - B_(n+1)(0))/(n+1) = 1^n + 2^n + ... + k^n
A seção sobre números de Bernoulli do Concrete Mathematics usa exatamente
este problema para motivar o estudo de números de Bernoulli.
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] Re: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]
Sauda,c~oes,
Obrigado, Nicolau.
Vou olhar pela n-ésima vez o livro do Knuth
e outros.
Vendo sua demonstração lembrei-me de
duas folhas que xeroquei do livro
A Classical Introduction to Modern Number
Theory by K. Ireland and M. Rosen,
Springer-Verlag, 1990.
As folhas reproduzem as páginas 228-231
do capítulo 15 Bernoulli Numbers.
Lá vemos a definição e aplicações dos números
de Ber. A mais elementar é o cálculo das
somas 1^m + ... + (n-1)^m.
Preciso agora entender a passagem
> t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
Vou pensar a respeito.
No momento faço duas correções de teclado (typos):
> t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
> = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
> = t/2 * coth(t/2)
A 2a. linha deveria ser
> = t/2 * (e^(t/2) + e^(-t/2))/(e^(t/2) - e^(-t/2))
> é ímpar
Leia-se é par.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: "Nicolau C. Saldanha" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: sexta-feira, 22 de novembro de 2002 09:44
Assunto: [obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]
> On Thu, Nov 21, 2002 at 06:39:35PM -0200, Luis Lopes wrote:
> > > mas você deve encontrar isso em bons (realmente bons) > livros de
cálculo.
> > É possível, mas nunca vi. Também é verdade que
> > nunca os consultei tendo este problema em mente.
> > De qualquer jeito...
> >
> > > Ou você pode tentar deduzir sozinho, não é tão difícil
> > > assim, especialmente sabendo a resposta.
> > é isso que procuro. Em praticamente todos os
> > livros de cálculo encontramos as mesmas séries:
> > ln(1+x), Arctan x, e^x, cosh x, sinh x, cos x, sin x (ver
> > Adams, Robert, Single-Variable Calculus).
>
> Encontrei no livro Concrete Mathematics, de Graham, Knuth, Patashnik,
> uma seção sobre números de Bernoulli que deve te interessar.
> Vou isolar um esboço da demonstração que você quer. Por definição,
>
> t/(e^t - 1) = sum_k B_k/k! t^k
>
> mas
>
> t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
> = t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
> = t/2 * coth(t/2)
>
> é ímpar donde
>
> (t/2) * coth(t/2) = sum_k B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
>
> cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
>
> mas
>
> tan t = cot t - 2 cot 2t
>
> = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! ( t^(2k-1) - 2
(2t)^(2k-1) )
>
> = sum_{k > 0} (-1)^k 2^(2k) (1 - 2^(2k)) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
>
> []s, N.
>
>
> =
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda)
Ola Villard!!Voce tem a demonstraçao por Green?Poe ela aqui pra todo mundo ver!Falando nisso,foi bom voce ter me lembrado deste Teorema de Liouville.Vou pegar a demonstraçao agora(esta esta no livro Variaveis Complexas,de Murray Ralph Spiegel,traduzido por Jose Raimundo Coelho,Coleçao Schaum,Ed.McGraw-Hill): TEOREMA DE LIOUVILLE:se para qualquer ponto z complexo,sabe-se que a funçao f(z) e analitica e limitada(ou seja,existe M real tal que |f(z)|Suponha que o polinomio de grau n>0 nao tenha raizes.Entao f(z)=1/Polinomio seria analitica,e limitada(f tende a 0 quando |z| cresce).Logo e constante,por Liouville.Mas desde quando polinomio e constante? Rodrigo Villard Milet <[EMAIL PROTECTED]> wrote: A demonstração mais simples que tem é usando o teorema de Liouville (acho q é assim q se escreve)... no entanto conheço uma que usa o teorema de Green tb... é mais legal, é claro :) Abraços, Villard -Mensagem original-De: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet <[EMAIL PROTECTED]>Para: [EMAIL PROTECTED] <[EMAIL PROTECTED]>Data: Quinta-feira, 21 de Novembro de 2002 14:34Assunto: [obm-l] Sobre o Teorema Fundamental da Algebra(ajuda) Nao me lembro mais quem me perguntou sobre isso,mas acho que ja esta na hora de responder.E sobre a existencia de soluçoes complexas de polinomios em C[z] Para demonstrar o TFA,vou enunciar esses dois teoremas,que podem ser demonstrados com a ajuda das formulas integrais de Cauchy.Depois eu falo disso em outros e-mails. TEOREMA DE ROUCHE:se em uma curva fechada C e sobre ela as funçoes f(z) e g(z)sao analiticas,e |g(z)|<|f(z)| em C,temos que as funçoes g(z) e f(z)+g(z) tem o mesmo numero de zeros em C(contando multiplicidades). Agora considere as funçoes f(z)=polinomio de grau n-1,g(z)=z^n,e considere a superficie C como sendo um circulo centrado na origem de raio R suficientemente grande(maior que 1),de modo que |f(z)|/|g(z)|>1 em C.Para encontrar esse raio R,use o fato de que em C nenhum complexo tem comprimento maior que o raio. Depois de demonstrar isso,basta ver que g(z) tem n zeros em C TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields) Yahoo! GeoCitiesTudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.TRANSIRE SVVM PECTVS MVNDOQUE POTIRE CONGREGATI EX TOTO ORBE MATHEMATICI OB SCRIPTA INSIGNIA TRIBVERE Fields Medal(John Charles Fields)Yahoo! GeoCities Tudo para criar o seu site: ferramentas fáceis de usar, espaço de sobra e acessórios.
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
Sauda,c~oes,
Outra maneira de resolver seria usando
o conceito de antidiferenças e polinômios
fatoriais.
Se f(k) = k^2 = k(k-1) + k = k^(2) + k, então
F(k) = k^(3)/3 + k^(2)/2 pois Delta F(k)=
k^(2) + k = f(k) (repare a analogia com a derivada).
Logo, S_n = sum_{k=1}^n f(k) = F(n+1) - F(1).
Como F(k) = k(k-1)(k-2)/3 + k(k-1)/2, resulta:
S_n = n(n+1)(2n+1)/6.
[]'s
Luís
-Mensagem Original-
De: "Olimpiada Brasileira de Matematica" <[EMAIL PROTECTED]>
Para: <[EMAIL PROTECTED]>
Enviada em: sexta-feira, 22 de novembro de 2002 16:18
Assunto: Re: [obm-l] PAs de ordens>1
> At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote:
> >>Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a
fórmula
> >de somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
> Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, veja
> n n-1
> 1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3
>k=2k=1
>
> Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indices
> n-1 n-1
> 1+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3
>k=1 k=1
>n-1 n-1n-1 n-1 n-1
> 1+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3
>k=1 k=1k=1 k=1 k=1
> agora cancela o somatorio de k^3 (tchu), e você fica com
> n-1
> 3.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2
> k=1
>
> agora eh só trabalhar o lado direito que vc acha
>
> n(n+1)(2n-1)/6
> espero nao ter errado em conta
> abracos
> Marcelo
> >
=
> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
> O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
> =
>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
RES: [obm-l]
Olha eu não moro no Rio mas acho que curso de Educação Matemática só existe de pós-graduação(mestrado,doutorado ou especialização)... Graduação acho que a opção é Licenciatura em Matemática -Mensagem original- De: owner-obm-l@sucuri.mat.puc-rio.br [mailto:[EMAIL PROTECTED]] Em nome de Margarida Lanna Enviada em: quinta-feira, 21 de novembro de 2002 18:44 Para: Informática na Matemática Cc: obm-l@mat.puc-rio.br; matematica@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Olá, Gostaria de uma informação: Quais são as faculdades do Rio de Janeiro ( Capital) que oferecem curso de Educação MatemáticA? Obrigada, Margarida Lanna
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
On Fri, Nov 22, 2002 at 02:02:48AM -0300, Alexandre Tessarollo wrote:
>Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de
>somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
>
>Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de
>2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a ordem)?
>Naturalmente temos a[1], R e b[1].
>
>Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os
>primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira
>ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de
>k-ésima ordem?
>
> []'s
>
> Alexandre Tessarollo
---end quoted text---
Bom, eu infelismente posso ajudar apenas na primeira parte, nao tenho
muitos conhcimentos sobre PA's de ordem > 1. Jah vi que jah te ajudaram,
mas achei o metodo que utilizaram p/ resolver a primeira parte mais
complicado do que o necessario, entao resolvi te mandar essa parte em
particular.
Eh assim, adotando Z(1,n) como o simbolo de somatorio de 1 a n, temos:
Z(1,n) k^2 = [Z(1,n) k^2 + k - k)] = [Z(1,n) k^2 + k] - Z(1,n) k
Temos agora 2 termos, o 2. podemos calcular como uma soma de PA de 1. ordem,
de razao 1 e com n termos, com primeiro elemento = 1 e ultimo = n:
Z(1,n) k = (1 + n)*(n/2)
e Z(1,n) [k^2 + k] resolve-se por combinacao:
Z(1,n) [k(k+1)] = Z(1,n) [(k+1)!/(k-1)!] = Z(1,n) [(2!(k+1)!)/(2!(k-1)!)]
e logo, 2! * Z(1,n) C(k+1,2), onde C(k+1,2) eh a combinacao de k+1 elementos
agrupados 2 a 2. Temos a soma de uma coluna entao, lah no triangulo de pascal.
Existe um teorema, soh nao lembro o nome :), mas a soma da coluna eh dada
pelo elemento na diagonal direita abaixo do ultimo termo, assim:
1
1 1.
1 2. 1
1 3 3. 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
somando a 2. coluna, como no nosso caso, e fazendo k=2 (no ex. apenas),
temos 1+2 = 3 (os numeros com os . do lado sao os que foram utilizados)
Entao temos:
Z(1,n) k^2 = 2! Z(1,n) C(k+1, 2) - n(1+n)/2
Z(1,n) k^2 = 2*C(n+2, 3) - n(1+n)/2
Testando p/ n = 1, 2C(3, 3) - 1(1+1)/2 = 2*1 - 1 = 1 = 1^2
Testando p/ n = 2, 2C(4, 3) - 2(1+2)/2 = 2*4 - 2*3/2 = 8 - 3 = 5 = 1^2 + 2^2
n = 3, 2C(5, 3) - 3(1+3)/2 = 2*10 - 3*2 = 20 - 6 = 14 = 1^2 + 2^2 + 3^2
Resumindo, eh soh somar (+k-k) ao somatorio e fazer aparecer a combinacao.
Com Z(1,n) k^3 eh a mesma coisa, mas aih voce soma (+3k^2-3k^2) se eu nao me
engano.. nao me recordo muito bem, mas era algo +- assim tb, de forma que
voce possa usar o Z(1,n)k^2 como base e tambem fazer aparecer combinacao.
Espero ter ajudado um pouco..
[]'s
--
Marcelo R Leitner <[EMAIL PROTECTED]>
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
Perdão mas o sinal está correto...o que está errado é o (n+1) que deveria estar (n-1)...o somatorio que fiz foi de 1 ateh n-1, logo a resposta eh n(n-1)(2n-1)/6...peguei o papel e fiz as contas agoras--já vi que de cabeça a gente leva um sinal IRONICO, no mínimo... M. From: Augusto César Morgado <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] PAs de ordens>1 Date: Fri, 22 Nov 2002 11:59:46 -0200 Dah n(n+1)(2n+1)/6 Morgado Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote: Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório de x^2, para x=1,2,..,n? Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, veja n n-1 1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3 k=2k=1 Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indices n-1 n-1 1+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3 k=1 k=1 n-1 n-1n-1 n-1 n-1 1+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3 k=1 k=1k=1 k=1 k=1 agora cancela o somatorio de k^3 (tchu), e você fica com n-1 3.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2 k=1 agora eh só trabalhar o lado direito que vc acha n(n+1)(2n-1)/6 espero nao ter errado em conta abracos Marcelo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> = _ Add photos to your messages with MSN 8. Get 2 months FREE*. http://join.msn.com/?page=features/featuredemail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
Dah n(n+1)(2n+1)/6 Morgado Olimpiada Brasileira de Matematica wrote: At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote: Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório de x^2, para x=1,2,..,n? Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, vejan n-1 1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3 k=2k=1 Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indicesn-1 n-11+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3 k=1 k=1 n-1 n-1n-1 n-1 n-11+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3 k=1 k=1k=1 k=1 k=1agora cancela o somatorio de k^3 (tchu), e você fica com n-13.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2 k=1agora eh só trabalhar o lado direito que vc achan(n+1)(2n-1)/6espero nao ter errado em conta abracosMarcelo =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>= =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
At 09:55 AM 11/22/02 -0300, you wrote: >>Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula >de somatório de x^2, para x=1,2,..,n? Vc pode tentar fazer perturbacao no somatorio dos cubos, veja n n-1 1+ sum(k^3) = sum(k^3) + n^3 k=2k=1 Agora devemos alterar o somatorio para ficar com os mesmos indices n-1 n-1 1+ sum(k+1)^3 = sum(k^3) + n^3 k=1 k=1 n-1 n-1n-1 n-1 n-1 1+ sum(k^3) +3.sum(k^2)+3.sum(k)+ sum(1)= sum(k^3) + n^3 k=1 k=1k=1 k=1 k=1 agora cancela o somatorio de k^3 (tchu), e você fica com n-1 3.sum(k^2)=n^3-n-3.n(n-1)/2 k=1 agora eh só trabalhar o lado direito que vc acha n(n+1)(2n-1)/6 espero nao ter errado em conta abracos Marcelo > > >= >Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em >http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html >O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> >= > = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Premiacao Olimpiada RJ
Caros(as) Amigos(as) da Lista: Lembramos que hoje 22/11 as 17:00horas sera realizada a cerimonia de premiacao da Olimpiada Estadual de Matematica do Rio de Janeiro - 2002. Local: Centro Loyola de Fe e Cultura. Estrada da Gavea, 1 - Gavea, Rio de Janeiro - RJ (Subindo pela Rua Marques de Sao Vicente, depois da PUC-Rio) A listagem dos alunos premiados esta no nosso site: http://www.obm.org.br/rj/premiados02.htm Lembramos tambem que o convite tambem e para as familias e professores dos alunos. Abracos, Nelly. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
somatorio de [(k+1)^3 - k^3] = somatorio de 3k^2 - somatorio de 3k +
somatorio de 1
Se os somatorios sao com k variando de 1 ate n, obtem-se
(n+1)^3 - 1 = 3 somatorio de k^2 - 3 somatorio de k + n
somatorio de k eh soma de PA, dah n(n+1)/2
Fazendo as contas dah somatorio de k^2 = n(n+1)(2n+1)/6
Essas coisas encontram-se no Progressoes e Matematica Financeira da SBM
(na quarta ediçao ha soluçoes delineadas) e no Analise Combinatoria e
Probabilidade (capitulo 4) ha uma tecnica para isso usando o Teorema das
Colunas.
Se voce quiser aproveitar para aprender mais, vale a pena ler (nao eh um
livro grande, embora seja um grande livro) o livro de diferenças finitas
do Richardson, An introduction to the calculus of finite differences.
Morgado.
Alexandre Tessarollo wrote:
Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula de somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de uma PA de 2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA "normal"(de 1a ordem)? Naturalmente temos a[1], R e b[1].
Generalizando ainda mais, sejam a{1}[1], a{2}[1],..,a{k}[1] respectivamente os primeiros termos de PAs de 1a, 2a,..,k-ésima ordem e R a razão da PA de primeira ordem. Em função desses parâmetros, qual a soma dos n primeiros termos da PA de k-ésima ordem?
[]'s
Alexandre Tessarollo
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
Re: [obm-l] PAs de ordens>1
>Estou num momento de diarréia mental. Qual é e como deduzir a fórmula
de somatório de x^2, para x=1,2,..,n?
pegue um polinômio p(n) tal que p(n) = somatório{ i = 1 até n } [ i² ]
parece razoável esperar que esse polinômio tenha no máximo grau 3, já que
p(n) < n³ para todo n
suponha então p(n) = an³ + bn² + cn + d
p(1) = 1
p(2) = 5
p(3) = 14
p(4) = 30
agora você tem um sistema linear pra resolver, aí vai encontrar a, b, c, d.
depois disso basta provar (por indução, talvez) que a fórmula vale não só
para os 4 primeiros termos, mas para todo n >= 1.
>Ou, mais genericamente, como se calcula a soma do n primeiros termos de
uma PA de 2a ordem, onde b[n+1]-b[n]=a[n], sendo a[n] o termo de uma PA
"normal"(de 1a ordem)? Naturalmente temos a[1], R e b[1].
o somatório de 1 até n dos a[i] vai dar: n.a[1] + somatório{i = 1 até n-1}
[(n-i).b[i]]
a1 = a1
a2 = a1 + b1
a3 = a1 + b1 + b2
...
an = a1 + b1 + b2 + ... + b[n-1]
a1 + a2 + ... + an = n.a1 + (n-1).b1 + (n-2)b2 + ... + b[n-1]
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
[obm-l] Serie de tan t [era nºs de bernoulli]
On Thu, Nov 21, 2002 at 06:39:35PM -0200, Luis Lopes wrote:
> > mas você deve encontrar isso em bons (realmente bons) > livros de cálculo.
> É possível, mas nunca vi. Também é verdade que
> nunca os consultei tendo este problema em mente.
> De qualquer jeito...
>
> > Ou você pode tentar deduzir sozinho, não é tão difícil
> > assim, especialmente sabendo a resposta.
> é isso que procuro. Em praticamente todos os
> livros de cálculo encontramos as mesmas séries:
> ln(1+x), Arctan x, e^x, cosh x, sinh x, cos x, sin x (ver
> Adams, Robert, Single-Variable Calculus).
Encontrei no livro Concrete Mathematics, de Graham, Knuth, Patashnik,
uma seção sobre números de Bernoulli que deve te interessar.
Vou isolar um esboço da demonstração que você quer. Por definição,
t/(e^t - 1) = sum_k B_k/k! t^k
mas
t/(e^t - 1) + t/2 = (t(2 + e^t - 1))/(2(e^t - 1))
= t/2 * (e^(t/2) - e^(-t/2))/(e^(t/2) + e^(-t/2))
= t/2 * coth(t/2)
é ímpar donde
(t/2) * coth(t/2) = sum_k B_(2k)/(2k)! t^(2k)
t * coth t = sum_k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k)
cot t = sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
mas
tan t = cot t - 2 cot 2t
= sum_{k >= 0} (-1)^k 2^(2k) B_(2k)/(2k)! ( t^(2k-1) - 2 (2t)^(2k-1) )
= sum_{k > 0} (-1)^k 2^(2k) (1 - 2^(2k)) B_(2k)/(2k)! t^(2k-1)
[]s, N.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>
=
