[obm-l] Recorrência
O que é recorrência no estudo das funções ?
[obm-l] composição de simetrias
Que área da matemática estuda composição de simetrias: Álgebra, geometria...?
Re: [obm-l] (nenhum assunto)
O R na resolução é o raio da base do cone. O raio do semicírculo inicial está sendo chamado de g (de geratriz). A afirmativa que precisa ser justificada é a de que um semicírculo gera um cone equilátero (ou seja, um no qual a geratriz é igual ao diâmetro da base). Isso não é muito difícil. Basta observar que: Comprimento do semicírculo = Perímetro da Base do Cone == Pi * g = 2 * Pi * R == g = 2 * R == 20 = 2 * R == R = 10 cm. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 4:27 AM Subject: [obm-l] (nenhum assunto) Vejam esta questão que no final eu direi minha dúvida: (FUVEST90) Um pedaço de cartolina possui a forma de um semicírculo de raio 20 cm. Com essa cartolina, um menino constrói um chapéu cônico e o coloca com a base apoiada sobre uma mesa. Qual a distância do bico do chapéu à mesa? Resolução: Sendo o formato um semicírculo, o cone obtido será eqüilátero, isto é, g = 2R, onde g = 20 cm. Logo, R = 10 cm. A distância pedida é a altura do cone, que é obtida por meio da seguinte relação: g^2 = H^2 +R^2 ; H= sqrt 300= 10sqrt3 Dúvida: Na resolução foi dito que g= 20cm. Como 20? No enunciado diz que o raio=20 e os cone equilátero não têm a g= diâmetro? Ou seja, não deveria ser g=40? Onde está meu erro colegas? Ps: Esta é a questão 38 do end.eletrônico:http://www.klickeducacao.com.br:8000/vt/vt/Qf/vtqf06/vtqf06.htm#30
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica
A mediana desejada une o vértice B (4,5) ao ponto médio de AC (4,3). Repare que ambos os pontos têm a mesma abscissa (coordenada x). Assim, a reta que os une é: x = 4. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 AM Subject: [obm-l] Geometria analítica Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). Resposta A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na equação da mediana como nessa questão ?
[obm-l] Re: [obm-l] composição de simetrias
Tanto álgebra como geometria estudam simetrias. Existe uma sub-área da álgebra chamada Teoria dos Grupos, a qual estuda sistematicamente, e de forma abstrata, simetrias em geral. Neste caso, por simetria entende-se alguma operação ou transformação sobre um dado conjunto que deixa este conjunto, ou partes dele, imutável. Por exemplo, em geometria, uma simetria pode ser uma rotação, uma translação ou uma reflexão (ou rebatimento), ou seja, um movimento rígido qualquer que deixe imutável oconjunto de pontos em consideração. Um resultado elementar de teoria dos grupos diz que existem 6 simetrias em um triângulo equilátero no plano. Uma delas é uma rotação de 120 graus, digamos, no sentido anti-horário. Você consegue achar as outras cinco? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:42 AM Subject: [obm-l] composição de simetrias Que área da matemática estuda composição de simetrias: Álgebra, geometria...?
[obm-l] Re: [obm-l] sequência mais complicada que a dos primos
Qualquer que seja n, dados os n primeiros termos de uma sequência qualquer, existe sempre uma infinidade de fórmulas que podem "explicar" aqueles termos. Por exemplo, dados X1, X2, ..., Xn, podemos semprepostular um polinômio: F(X) = A(0) + A(1)*X +A(2)*X^2 + ... + A(n)*X^(n), de grau n tal que: F(1) = 1*A(0) + 1*A(1) + 1^2*A(2) + ... + 1^n*A(n) = X1 F(2) = 1*A(0) + 2*A(1) + 2^2*A(2) + ... + 2^n*A(n) = X2 . F(n) = 1*A(0) + n*A(1) + n^2*A(2) + ... + n^n*A(n) = Xn Repare que este é um sistema de n equações lineares em (n+1) incógnitas (os A(i), 0 = i = n), o qual tem uma infinidade de soluções, que correspondem a uma infinidade do fórmulas polinomiais que produzem os n termos da sequência. Assim, os seus 8 termos podem ser explicados por uma infinidade de polinômios de grau 8 (ou maior), apesar de possivelmente haver alguma razão mais interessante, da mesma forma que na sequencia dos dobros dos primos. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Wednesday, January 01, 2003 1:56 PM Subject: [obm-l] sequência mais complicada que a dos primos Olá amigos, a sequência dos primos vcs acharam fácil, não é ? Agora para tornar mais estimulante criei está daqui: 0, 69, 47, 38, 69, 79, 84, 07... Aumentei o número de termos para evitar divergências numéricas. Ps: Numa sequência numérica o interessante não é só descobrir a "razão ou lógica" de quem elaborou, mas também descobrir outras "razões" para a mesma sequência. Por exemplo, a questão dos dobros dos números primos que enviei tinha poucos termos, e isso foi percebido por vcs como uma possibidade de divergência, pois eram inúmeras as "razões" que poderiam ser encontradas e isso e fantástico na matemática. Depois enviarei a resposta, mas acho que a única razão para está sequência é a minha, pois nem o site: http://www.research.att.com/~njas/sequences/ conseguiu decifrar mesmo tendo um banco de dados com mais de 5000 sequências.
[obm-l] Princípio de Dirichlet
Caros amigos, muita paz! Feliz ano novo a todos! Como resolver a seguinte questão referente a Dirichlet: Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1. Fonte: Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Autores: Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho Pedro Fernadez ATT. João Carlos
[obm-l] Revista do Professor
Por que vocês não disponibilizam alguns exemplares da revista do professor de matematica, assim como fazem com a revista eureka Atenciosamente, Fernando
[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Sim, é verdade quese duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passapor esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Sefosse verdade, poderíamos usar seus argumentos paraprovar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o quelogicamente nao é verdade. From: Eduardo Estrada <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Wed, 1 Jan 2003 18:48:30 -0300 (ART) Olá, larryp, Não conferi passo a passo sua demonstração, mas creio que ela deve sair também algebricamente, digamos, isto é, fazendo mais contas. Por isso, ela é também correta, dado que você chegou naquilo que queria demonstrar sem assumir nenhuma hipótese errônea. Entretanto, a dem. do Luiz Henrique, pela sua síntese, é mais elegante, na minha opinião. Ah, e gostaria de dizer que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também se intercepta com as outras no mesmo ponto. Além disso, os pontos de intersecção dessas bissetrizes com as bases são sim os pontos de tangência da circunferência inscrita no triângulo. Ah, também gostaria de dizer que todo triângulo tem uma circ. inscrita, o que é garantido pelo que disse acima e que, numa outra oportunidade, poderia reproduzir aqui essas demonstrações. Atenciosamente, Eduardo - Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. Faça o seu agora. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]> =
[obm-l] Re: [obm-l] Geometria analítica
Seja P(a,b) o ponto médio do segmento AC.Calculam-se a e b facilmente: a = (1+7)/2=4 b = (2+4)/2=3 Basta achar a equação da reta que passa por B(4,5) e por P(4,3).Como a reta será da formaax+by+c=0 e para x=4 temos dois valores correspondentes,tá na cara que só podemos ter a=1,b=0 e c=-4 ,ou seja,x=4.Na dúvida,tire a reta pelo método do determinante. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 5:13 AM Subject: [obm-l] Geometria analítica Determine a equação da mediana relativa ao lado AC de um triângulo cujos vértices são os pontos A(1,2) , B(4,5) e C(7,4). Resposta A equação da mediana é x=4. Como operar para chegar na equação da mediana como nessa questão ?
[obm-l] Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet
Tome um número natural "n" qualquer. Considere os números 1, 11, 111, , 1, e 111..11 (onde o último número é formado por (n+1) algarismos 1, e os restos que cada um destes números deixa quando dividido por n. Existem n+1 números mas apenas n restos possíveis (0, 1, ..., n-1). Assim, pelo princípio de Dirichlet, têm de existir na lista acimadois números formados só por algarismos ´1´ que deixam o mesmo resto (suponhamos que o maiorseja formado por "p" e o menor por "q" algarismos ´1´ (p q) ). Subtraindo o menor do maior, você obtém um número da forma 11...1100..00, formado por "(p-q)" 1´s seguido de "q" zeros, o qual é divisível por "n" (estou usando o fato de que se "a" e "b" deixam o mesmo resto na divisão por "n" então "a-b" é divi´sível por "n". - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 11:52 AM Subject: [obm-l] Princípio de Dirichlet Caros amigos, muita paz! Feliz ano novo a todos! Como resolver a seguinte questão referente a Dirichlet: Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1. Fonte: Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Autores: Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho Pedro Fernadez ATT. João Carlos
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet
Querido Larryp, Muito obrigado pela resposta! Com sinceridade, João Carlos. larryp [EMAIL PROTECTED] Enviado Por: [EMAIL PROTECTED] 02/01/2003 22:42 Favor responder a obm-l Para:[EMAIL PROTECTED] cc: Assunto:[obm-l] Re: [obm-l] Princípio de Dirichlet Tome um número natural n qualquer. Considere os números 1, 11, 111, , 1, e 111..11 (onde o último número é formado por (n+1) algarismos 1, e os restos que cada um destes números deixa quando dividido por n. Existem n+1 números mas apenas n restos possíveis (0, 1, ..., n-1). Assim, pelo princípio de Dirichlet, têm de existir na lista acima dois números formados só por algarismos ´1´ que deixam o mesmo resto (suponhamos que o maior seja formado por p e o menor por q algarismos ´1´ ( p q) ). Subtraindo o menor do maior, você obtém um número da forma 11...1100..00, formado por (p-q) 1´s seguido de q zeros, o qual é divisível por n (estou usando o fato de que se a e b deixam o mesmo resto na divisão por n então a-b é divi´sível por n. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 11:52 AM Subject: [obm-l] Princípio de Dirichlet Caros amigos, muita paz! Feliz ano novo a todos! Como resolver a seguinte questão referente a Dirichlet: Prove que todo número natural tem um múltiplo que se escreve, na base 10, apenas com os algarismos 0 e 1. Fonte: Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. Autores: Augusto César de Oliveira Morgado João Bosco Pitombeira de Carvalho Paulo Cezar Pinto Carvalho Pedro Fernadez ATT. João Carlos
[obm-l] Re: sequência da sequência
Olá pessoal, Larryp, parabéns pela percepção polinomial que vc fez com minha sequência. Resolvi dar a resposta. Tinhamos a seguinte sequência: 0, 69, 47, 38, 69, 79, 84, 07... O programa de computador não tinha no banco de dados devido ao fato de eu construir esta sequência unindo, vamos dizer assim, decimais de irracionais. A continuação ficaria: 0, 69, 47, 38, 69, 79, 84, 07,95, 30, 04,48. Ps: Sem uma calculadora no mínimo semi-científica dificilmente alguém acertaria. Explicação: 1) Imaginem a sequência dos numeros naturais N* 2) A ordem dos números é o logaritmo da ordem (com a observação que nos numeros pares temos o logaritmo neperiano ou natural e para os ímpares o Log (base 10). 3) Depois é só observar os dois primeiros algarismos decimais nos logaritmos dos números. Por exemplo: 3 ( é impar, então aplicamos o log que dá 0,4771 e tiramos, como eu disse, somente os dois primeiros algarismos, ou seja, 47. No quarto tiramos o ln de 4 pois 4 é par, daí teremos 1,38 que ficará na sequência somente o 38, etc. Eu gostaria de saber se existe uma outra explicação ou lógica para a mesma sequência acima, sem utilizar o conceito de logaritmos que eu usei. Sei lá, uma outra variante talvez!
[obm-l] geometria
Doisproblemas que não estou conseguindo resolver: 1)ABCD é um quadrilátero.M é um ponto interno a esse quadrilátero de forma que ABMD é um paralelogramo.O ângulo CBM é igual ao ângulo CDM.Mostre que o ângulo ACD é igual ao ângulo BCM. 2)ABCD é um quadrilátero cíclico.Areta tangentepor A encontra CB em K,e a reta tangentepor B encontra DA em M,de maneira que BK=BC e AM=AD.Mostre que o quadrilátero tem dois lados paralelos. Qualquer ajuda/resolução é bem vinda. Eder
[obm-l] trigonometria
Porque se a tg (9pi/4)=6x/pi, então cos 3x é zero?
[obm-l] sistema de equaçoes
Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128 Ps: a resposta é 6 Eu não estou conseguindo resolver este sistema de equações pois sempre eu "caio"em uma equação com potências de bases diferentes em um membro e outro.
[obm-l] trigonometria
Para calcularmos o sen,cos e tg de um ângulo maior que um ciclo trigonômétrico, dividimos o valor desse ângulo por 360º e a partir do resto da divisão euclidiana sabemos qual o valor do sen, cos ou tg. Mas e quando o resto dá um valor como os que eu encontrei quando estava fazendo os exercícios. Por exemplo um valor que não seja notável como 18º graus, 15º graus, 27ºgraus, etc. O que fazer para encontrar o sen, cos e tg desses valores?
[obm-l] complexos
Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito.
[obm-l] função
Pessoal, vocês sabem como fazer esta questão que caiu nafuvest? A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano atlântico(ao nível do equador), em função da profundidade: Profundidade Superfície 100m 500m 1000m 3000m Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é: Ps: A resposta é 10,5ºC.
[obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,..,n} com Média Inteira
Olá, estive viajando e por tanto só estou lendo suas mensagens em 2003!
(...)
até aqui parece tudo bem...
Seja X um elemento de @n com k elementos ( 1 = k = n ).
No que se segue, vamos escrever X da seguinte forma:
X = { A(1) , A(2) , ... , A(k) }
e supor sempre que A(1) A(2) ... A(k).
Assim, X* = ( n+1-A(k) , n+1-A(k-1) , ... , n+1-A(1) }
e n+1-A(k) n+1-A(k-1) ... n+1-A(1)
Consideremos, separadamente, os casos: k par e k ímpar
CASO 1: k é par = k = 2r.
X = X* ==
A(2r) = n+1-A(1) ,
A(2r-1) = n+1-A(2) ,
...
A(r+1) = n+1-A(r) ==
X = X* = { A(1) , ... , A(r) , n+1-A(r) , ... , n+1-A(1) }
Assim, M(X) = M(X*) = r(n+1)/k = (n+1)/2 = m.
Ou seja, todo X que é igual a X* tem média inteira.
Repare que A(1) A(2) ... A(r) n+1-A(r), ou seja:
A(1) A(2) ... A(r) (n+1)/2 = m.
Desta forma, o número de elementos X de @n com k=2r elementos tais que X =
X* é igual ao número de subconjuntos de r elementos do conjunto {1, 2,
...,
m-1}, ou seja, C(m-1,r).
a demonstração aqui precisa ser nas duas direções, troque = por =!
a mesma coisa para a próxima...
Por conseguinte, o número total de elementos de X de @n é obtido pela soma
destes valores desde k = 1 até k = m-1, ou seja, este número é igual a:
C(m-1,1) + C(m-1,2) + ... + C(m-1,m-1) = 2^(m-1) - 1.
CASO 2: k é ímpar = k = 2r-1.
X = X* ==
A(2r-1) = n+1-A(1) ,
A(2r-2) = n+1-A(2) ,
...
A( r+1) = n+1-A(r-1) ,
A(r) = n+1-A(r) ==
A(r) = (n+1)/2 = m e
X = X* = { A(1) , .. , A(r-1) , A(r) = m , n+1-A(r-1) , ... , n+1-A(1) }
M(X) = M(X*) = [m + (r-1)(n+1)] / k = [m + (r-1)2m]/(2r-1) =
= m(2r-1)/(2r-1) = m
(...)
Espero que não haja nenhum furo desta vez.
Assim esperamos!
Ainda permanece o problema de se determinar uma expressão para P(n) em
função de n, ou pelo menos, em função de P(m) com m n. Além disso, este
problema pode ter alguma relação com o seguinte:
determinar P(n) deve ser bem complicado, eu acho que pode ser utilizada a
idéia da minha mensagem anterior, decompor P(n+1) = P(n) + T(n).
Seja a sequência X: N -- N (N = conjunto dos inteiros positivos),
definida
por:
X(1) = 1, e, para n =1, X(n+1) = menor inteiro positivo tal que:
(i) X(n+1) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n) }, e
(ii) o conjunto { X(1), ..., X(n), X(n+1) } tem média inteira.
Prove que X é uma bijeção.
Um abraço,
Claudio Buffara.
Que tal colocar essa problema como uma nova postagem? Assim mais pessoas
acompanhariam...
Gostei, parece que funciona, mas é mais complicada e extensa do que eu
imaginava (e desejava!). Uma pena, no entanto, que a minha idéia não tenha
podido ser melhor explorada (se é que dela pode-se sair em algum resultado),
parecia uma alternativa bem elegante...
[ ]'s
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equaçoes
Se for só nos naturais é fácil: 108 = 2^2 * 3^3, então x = 2 e y = 3. Substituindo nasegunda equaçãodá certo. Se for nos reais complica um pouco, tentei fazer "nobraço" e não deu muito certo... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] sistema de equaçoes Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
O coeficiente de x^2 do lado esquerdo da equação deve ser igual ao coeficiente de x^2 do lado direito, ou seja, 4 = 2a + b. Fazendo o mesmo com os coeficientes de x, dá k = -3a -5b. O termo independente também deve ser igual, então -8 = -2a +b. Aí é só resolver o sistema. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] polinômios Se r(x)= ap(x) + bq(x), com r(x)= 4x^2 + kx - 8, p(x)= 2x^2 - 3x - 2, q(x)=x^2 - 5x + 1, com a, b e k pertencendo aos reais, então a+b+k=? O meu gabarito dá como resposta 2. Eu consengui desenvolver apenas o seguinte (não sei se era preciso fazer isso para resolver a questão): 4x^2 + kx - 8= a(2x^2 - 3x - 2, ) + b(x^2 - 5x + 1). A partir disso eu não consegui continuar...
[obm-l] Re: [obm-l] função
Se a variação da temperatura for linear entre cada duas medições, então entre 100m e 500m, por exemplo, a temperatura cai 14ºC em 400 metros, ou seja, 3,5ºC a cada 100 metros. Se a 500m a temperatura é 7ºC, então a 400m é 10,5ºC. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:20 PM Subject: [obm-l] função Pessoal, vocês sabem como fazer esta questão que caiu nafuvest? A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano atlântico(ao nível do equador), em função da profundidade: Profundidade Superfície 100m 500m 1000m 3000m Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é: Ps: A resposta é 10,5ºC.
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equaçoes
Da primeira equação, vem que x=2 e y=3.O que é que resulta em 6? - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] sistema de equaçoes Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128 Ps: a resposta é 6 Eu não estou conseguindo resolver este sistema de equações pois sempre eu "caio"em uma equação com potências de bases diferentes em um membro e outro.
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
r(x)= ap(x) + bq(x) = 4x^2 + kx - 8= a(2x^2 - 3x - 2, ) + b(x^2 - 5x + 1) = = 4x^2+kx-8=x^2(2a+b)+x(-3a-5b)+(b-2a) Pela identidade de polinômios: 2a+b=4 (1) 3a+5b= -k (2) b-2a=-8 (3) De (1) e (2) vem que a=3 e b= - 2.Substituindo estes valores em (2),tiramos k=1. Portanto: a+b+k=2. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] polinômios Se r(x)= ap(x) + bq(x), com r(x)= 4x^2 + kx - 8, p(x)= 2x^2 - 3x - 2, q(x)=x^2 - 5x + 1, com a, b e k pertencendo aos reais, então a+b+k=? O meu gabarito dá como resposta 2. Eu consengui desenvolver apenas o seguinte (não sei se era preciso fazer isso para resolver a questão): 4x^2 + kx - 8= a(2x^2 - 3x - 2, ) + b(x^2 - 5x + 1). A partir disso eu não consegui continuar...
Re: [obm-l] trigonometria
6x/pi = 1 =x=pi/6 =3x=pi/2 =cos(pi/2) = 0 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:15 PM Subject: [obm-l] trigonometria Porque se a tg (9pi/4)=6x/pi, então cos 3x é zero?
Re: [obm-l] trigonometria
tg(9pi/4) = tg(pi/4) = 1 = 6x / pi == x = pi/6 == 3x = pi/2 == cos 3x = cos(pi/2) = 0. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:15 PM Subject: [obm-l] trigonometria Porque se a tg (9pi/4)=6x/pi, então cos 3x é zero?
Re: [obm-l] complexos
Olá, Rafael, Se z = i + 1/(1+i), então z = i + 1(1-i)/[(1+i)(1-i)] = i + (1-i)/2 = i/2 + 1/2 Logo, |z| = sqrt(1/4+1/4) = sqrt(1/2) = [sqrt(2)]/2 . Pelo menos foi o resultado ao qual cheguei Ah, e com relação a questão sobre o que significa uma função recorrente, é o seguinte: é uma função que é ela própria utilizada em sua definição. Por exemplo, temos a função fatorial. Isto é, f : N - N f(n):=n*f(n-1) ; f(0):=1. Note que precisamos definir um caso base e que utilizamos f na própria def. de f: f(0) = 0! f(1) = 1*f(0) = 1*1 = 1! f(2) = 2*f(1) = 2*1 = 2! f(3) = 3*f(2) = 3*2 = 3! Abraços, Abraços, Eduardo P.S.: Gostaria de dizer ao André que os pontos de tangência da circunferência inscrita num triângulo são realmente as intersecções citadas e que isso não implica, de modo algum, que um dado triângulo é isósceles ou eqüilátero, já que é uma regra geral. Com relação a questão de alinhamento de pontos, o que ocorre é o seguinte: " Num triângulo isósceles, os quatro pontos notáveis (baricentro, circuncentro, ...) estão alinhados e, no eqüilátero, eles coincidem." [EMAIL PROTECTED] wrote: Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito. Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Re: [obm-l] sistema de equaçoes
Sugestão: tire o log das duas equações, obtendo: x*log2 + y*log3 = log108 x*log4 + y*log2 = log128 Agora, você tem um sistema linear c/ 2 equações e 2 incógnitas. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] sistema de equaçoes Uma com dúvida na seguinte questão: 2^x *3^y=108 4^x*2^y=128 Ps: a resposta é 6 Eu não estou conseguindo resolver este sistema de equações pois sempre eu "caio"em uma equação com potências de bases diferentes em um membro e outro.
Re: [obm-l] complexos
i+ 1/(1+i) = [i(1+i) + 1 ]/(1+i) =(i-1+1)/(1+i) = i/(1+i). O módulo é 1/raiz(1^2+1^2) = 1/raiz(2) = raiz(2)/2 - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 7:16 PM Subject: [obm-l] complexos Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito.
[obm-l] Re: [obm-l] área lateral de um cone
Faça um "corte" no cone segundo alguma geratriz e "desenrole-o" (fazendo assim a tão chamada planificação - termo mais chique mas muito menos intuitivo do que "cortar e desenrolar"). Esqueça a base (que não contribui para a área lateral). Você vai ter umsetor circular de raio = g (geratriz) e cujo setor da circunferência correspondente tem comprimento igual ao perímetro da base: 2*pi*R (R = raio da base). Imagino que você conheça as fórmulas de Setor Circular: Comprimento do Setor = Raio do Setor * Ângulo Central Área do Setor = 1/2 * Raio do Setor^2 * Angulo Central Agora: Comprimento do Setor = 2*pi*R Raio do Setor = g Portanto: Ângulo Central = 2*pi*R/g Ou seja, Área do Setor = 1/2 * g^2 * 2*pi*R/g = 1/2 * 2*pi*R*g Mas Área do Setor = Área Lateral do Cone. Assim: Área Lateral do Cone = 1/2 * 2*pi*R*g OBS: A dedução acima só vale para o caso de um cone circular reto. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 02, 2003 4:12 AM Subject: [obm-l] área lateral de um cone Alguns livros de matemática do ensino médio, normalmente trazem aquelas explicações do por quê de tais fórmulas, explicando suas origens e evitando que o aluno decore, mas sim entenda. Um exemplo disso é a explicação da fórmula da área lateral de um cone que fazendo a planificação da para provar a fórmula: Área lateral =1/2 * 2piR *g , que simplificando resulta em S lateral= piR.g. O que eu não entendi foi da onde "saiu" o fator 1/2
[obm-l] Re: [obm-l] área lateral de um cone
Caro amigo , proponho aqui uma demonstração onde não aparece esse 1/2 ; A área lateral (Al) , vai ser dada pela divisão da área total da circunferência de raio g (Pi.g²) , pela razão do comprimento total da circunferência de raio g ( 2.Pi.g ) e o comprimento da base do cone - uma circunferência de raio r - , (2.Pi.r); I ) Al = [Pi.g²]/Razão II ) Razão = [2.Pi.g]/[2.Pi.r]= g/r Substituindo em I , temos: Al =[Pi.g²]/[g/r]= [Pi.g².r]/g Al = Pi.r.g Fiz bem devegar para um melhor entendimento . Espero que tenha ajudado . Um abraço . Rick. |-=Rick-C.R.B.=- | |ICQ 124805654 | |e-mail [EMAIL PROTECTED] | -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,..,n} com Média Inteira
Caro Domingos Jr.:
Obrigado pela observação. Apesar de ser fácil mostrar que se X tem aquela
forma específica, então X = X*, este fato tinha que estar explicitado na
demostração.
Sobre o cálculo de P(n) propriamente dito, eu chequei o site:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
e a sequência dos P(n), que começa com 1, 2, 5, 8, 15, 26, 45, ... estava
lá. Infelizmente, o site só indica uma fórmula assintótica para P(n) ~
2^(n+1)/n.
Interessante observar que, distribuindo os 2^n - 1 subconjuntos não vazios
de In por n grupos de acordo com a classe de congruência mod n a que
pertence a soma de seus elementos, a fórmula assintótica acima diz que a
classe 0 tem proporcionalmente mais elementos do que o que seria de se
esperar (2^n / n).
Outra sequência que lá está é a do meu outro problema - o da reordenação dos
naturais tal que cada segmento inicial tem média inteira. Esta começa com 1,
3, 2, 6, 4, 11, 5, 14, ...
Vou seguir seu conselho e postar uma nova mensagem com este problema pra ver
se alguém tem alguma contribuição a fazer.
Um abraço,
Claudio Buffara.
- Original Message -
From: Domingos Jr. [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Thursday, January 02, 2003 9:02 PM
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Subconjuntos de {1,2,..,n} com Média Inteira
Olá, estive viajando e por tanto só estou lendo suas mensagens em 2003!
(...)
até aqui parece tudo bem...
Seja X um elemento de @n com k elementos ( 1 = k = n ).
No que se segue, vamos escrever X da seguinte forma:
X = { A(1) , A(2) , ... , A(k) }
e supor sempre que A(1) A(2) ... A(k).
Assim, X* = ( n+1-A(k) , n+1-A(k-1) , ... , n+1-A(1) }
e n+1-A(k) n+1-A(k-1) ... n+1-A(1)
Consideremos, separadamente, os casos: k par e k ímpar
CASO 1: k é par = k = 2r.
X = X* ==
A(2r) = n+1-A(1) ,
A(2r-1) = n+1-A(2) ,
...
A(r+1) = n+1-A(r) ==
X = X* = { A(1) , ... , A(r) , n+1-A(r) , ... , n+1-A(1) }
Assim, M(X) = M(X*) = r(n+1)/k = (n+1)/2 = m.
Ou seja, todo X que é igual a X* tem média inteira.
Repare que A(1) A(2) ... A(r) n+1-A(r), ou seja:
A(1) A(2) ... A(r) (n+1)/2 = m.
Desta forma, o número de elementos X de @n com k=2r elementos tais que X
=
X* é igual ao número de subconjuntos de r elementos do conjunto {1, 2,
...,
m-1}, ou seja, C(m-1,r).
a demonstração aqui precisa ser nas duas direções, troque = por =!
a mesma coisa para a próxima...
Por conseguinte, o número total de elementos de X de @n é obtido pela
soma
destes valores desde k = 1 até k = m-1, ou seja, este número é igual a:
C(m-1,1) + C(m-1,2) + ... + C(m-1,m-1) = 2^(m-1) - 1.
CASO 2: k é ímpar = k = 2r-1.
X = X* ==
A(2r-1) = n+1-A(1) ,
A(2r-2) = n+1-A(2) ,
...
A( r+1) = n+1-A(r-1) ,
A(r) = n+1-A(r) ==
A(r) = (n+1)/2 = m e
X = X* = { A(1) , .. , A(r-1) , A(r) = m , n+1-A(r-1) , ... ,
n+1-A(1) }
M(X) = M(X*) = [m + (r-1)(n+1)] / k = [m + (r-1)2m]/(2r-1) =
= m(2r-1)/(2r-1) = m
(...)
Espero que não haja nenhum furo desta vez.
Assim esperamos!
Ainda permanece o problema de se determinar uma expressão para P(n) em
função de n, ou pelo menos, em função de P(m) com m n. Além disso,
este
problema pode ter alguma relação com o seguinte:
determinar P(n) deve ser bem complicado, eu acho que pode ser utilizada a
idéia da minha mensagem anterior, decompor P(n+1) = P(n) + T(n).
Seja a sequência X: N -- N (N = conjunto dos inteiros positivos),
definida
por:
X(1) = 1, e, para n =1, X(n+1) = menor inteiro positivo tal que:
(i) X(n+1) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n) }, e
(ii) o conjunto { X(1), ..., X(n), X(n+1) } tem média inteira.
Prove que X é uma bijeção.
Um abraço,
Claudio Buffara.
Que tal colocar essa problema como uma nova postagem? Assim mais pessoas
acompanhariam...
Gostei, parece que funciona, mas é mais complicada e extensa do que eu
imaginava (e desejava!). Uma pena, no entanto, que a minha idéia não tenha
podido ser melhor explorada (se é que dela pode-se sair em algum
resultado),
parecia uma alternativa bem elegante...
[ ]'s
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Re: [obm-l] composição de simetrias
Title: Re: [obm-l] composição de simetrias Penso que voce esta curioso em conhecer transformacoes no plano que preservam a forma e o tamanho das figuras. Para comecar, leia o livro Isometrias, publicado pela SBM (Sociedade Brasileira de Matematica [EMAIL PROTECTED]). -- From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] composição de simetrias Date: Thu, Jan 2, 2003, 5:42 AM Que área da matemática estuda composição de simetrias: Álgebra, geometria...?
[obm-l] Sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14
Existe um site bem interessante para quem gosta de sequências numéricas:
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
http://www.research.att.com/~njas/sequences/
Neste site, a sequência 1, 3, 2, 6, 8, 4, 11, 5, 14, ... é descrita como
sendo uma permutação dos inteiros positivos tal que a média aritmética de
cada segmento inicial é inteira.
O meu problema é justamente provar que esta descrição está correta.
Em outras, palavras:
Seja a sequência X: N -- N (N = conjunto dos inteiros positivos),
definida por:
X(1) = 1, e, para n 1, X(n) = menor inteiro positivo tal que:
(i) X(n) não pertence a { X(1) , X(2) , ... , X(n-1) }, e
(ii) o conjunto { X(1), ..., X(n) } tem média aritmética inteira.
Prove que X é uma bijeção (ou seja, cada inteiro positivo aparece na
sequência exatamente uma vez).
Provar que X é bem definida e injetiva é fácil. O problema é provar que X é
sobrejetiva.
Agradeço antecipadamente qualquer ajuda.
Um abraço,
Claudio Buffara.
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[obm-l] Procura de Livro
Eh meio estranho: Pedi a indicação de uns livros (sobre Cálculo) para um professor meu, achei que copiaria na memória, mas acabei esquecendo :-) Lembro-me que, segundo ele, era uma coleção bem antiga de livros (Volumes de cálculo, Algebra Linear...) e que o autor tinha um nome que começava com Schi (não eh o SWOKOWSKI) Procurei na net algo relacionado, mas fica difícil com poucas informações, alguém aqui conhece ou pode dar alguma indicação? Claro que estou perguntando pq não vejo mais o professor ateh Março Fui! ### Igor GomeZZ UIN: 29249895 Vitória, Espírito Santo, Brasil Criação: 3/1/2003 (01:47) Pare para pensar: Crê nos que buscam a verdade. Duvida dos que a encontraram. (André Gide) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Iberoamericana
Title: Iberoamericana Caro Helder: Entre em contato com a secretaria da Olimpiada Brasileira de Matematica. Fale com a nossa secretaria, a Nelly, pelo telefone 25295077 no Rio de Janeiro ou pelo e-mail [EMAIL PROTECTED]. Abraco, Wagner.
[obm-l] Correção de enunciado: complexos
Olá colegas, cometi um erro bobo de digitação, desculpem pois foi só por causa de um simples parênteses: Se z = i + 1/(1 + i) calcule o módulo de Z: Ps: No meu caderno de exercícios a resposta é sqrt10/2 mas eu só estou chegando no resultado sqrt10/4. Eu estou multiplicando a parcela com denominador imaginário pelo seu conjugado, tirando o mmc, separando a de b e aplicando a fórmula sqrta(a^2 +b^2) mas não chego na resposta do gabarito. OBS: Em vermelho (no enunciado) está errado, o certo seria z=i + (1/1-i)
[obm-l] Função (retomando à questão da profundidade, temperatura...)
Bruno Furlan, primeiramente agradeço pela explicação da questão abaixo. Farei uma pergunta para vc e todos colegas da lista. Quando o enunciado diz o termo linear, logo me veio a cabeça y= ax + b. Através da questão abaixo daria para montar uma equação afim deste tipo ? A tabela abaixo mostra a temperatura das águas do oceano atlântico(ao nível do equador), em função da profundidade: Profundidade Superfície 100m 500m 1000m 3000m Temperatura 27ºC 21ºC 7ºC 4ºC 2,8ºC Admitindo que a variação da temperatura seja aproximadamente linear entre cada duas das medições feitas para a profundidade, a temperatura prevista para a profundidade de 400m é: Ps: A resposta é 10,5ºC.
Re: [obm-l] Revista do Professor
Title: Re: [obm-l] Revista do Professor Caro Fernando: A Revista do Professor de Matematica (RPM) e a Eureka! sao publicacoes da Sociedade Brasileira de Matematica . Mas, para responder sua pergunta, a Eureka! esta vinculada a Olimpiada Brasileira de Matematica, que financia sua publicacao e distribuicao para milhares de colegios de todo Brasil. Por outro lado, a RPM atualmente so conta com a contribuicao dos leitores para permanecer viva. E isto e' fantastico pois estaremos publicando agora o numero 50 da RPM. Abracos, Wagner. -- From: Fernando [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Revista do Professor Date: Thu, Jan 1, 1998, 3:23 AM Por que vocês não disponibilizam alguns exemplares da revista do professor de matematica, assim como fazem com a revista eureka Atenciosamente, Fernando
[obm-l] Re: agradecido
Valeu Bruno Furlan, Rick, Eduardo Estrada, Larryp, Eder e a todos colegas da lista pelo auxílio na compreenção das questões matemáticas.
[obm-l] Trigonometria
Por que tg(9pi/4) = tg(pi/4) ? Como fazer estas conversões? Regra de três ou os conceitos de arcos côngruos e/ou equações trigonométricas? Como calcular: a) sen 27pi b) sen (-37pi/3) c)cos (15pi/2) Se vcs me explicarem como fazer estes três eu ficarei muito agradecido, pois assim poderei fazer o restante do meu caderno de estudos. Ps: O exercício que eu estou fazendo tem + ou - 18, a maioria eu fiz utilizando regra de três, ou seja, transformando os radianos em graus, dividindo por 360º e pegando o resto como valor notável mas o problema é que este resto nem sempre dava um valor notável. Será que meu erro está em transformar em graus? Devo fazer regra de três de radianos para radianos, pois neste tipo de exercício como vocês podem ver acima, pede para calcular o sen,cos e tg só de radianos e não de graus. Em alguns casos eu até resolvi facilmente como sen (17pi/2) ou sen (-13pi/2), pois encontrava valores notáveis. Mas, nos itens como em a, b,c não encontrei esses valores notáveis.
