[obm-l] Re: [obm-l] Re: esclarecimentos da questão envolvendo matrizes
a solução e a argumentação do prof. Nicolau.. é claro, está correta.. logo não há nada de errado com o vestibular da PUC, a nao ser pela questão da unicidade da solução.. (verifique se não é pedido UMA solução.. ) até, Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Mensagem original -- Eu não sabia que a questão das matrizes iria repercurtir tanto na lista. Primeiramente eu gostaria de dizer que o erro (digitação) não foi meu e sim do enunciado do meu caderno de exercícios. Algumas implicações seria interessante discutirmos: 1) Houve uma resolução aqui na lista que bateu, tranquilamente com o resultado do gabarito, que foi: a11=3 e a21=2, a quem agradeço de antemão, mesmo se for provada estar errada... e a todos que mandaram implicações à lista. 2) Mas vem a contradição que é a prova que não existe A*X = 3X O que será que está acontecendo? Será que a PUC-SP errou no enunciado de um VESTIBULAR ou não estamos esquecendo de nada nas contra-provas? Na minha opinião ambas as opções são pouco prováveis, reafirmando que enviei a questão como está no meu caderno de exercícios com a resalva de ser A*X=3X ao invés de 3x (esta segunda é como está no enunciado). Ajudem-me a desvendar está MATRIX :-) Mathematicus nascitur, non fit Matemáticos não são feitos, eles nascem --- Gabriel Haeser www.gabas.cjb.net -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Paradoxo da soma
Alguém sabe me dizer alguma coisa sobre este paradoxo ? Onde está a falácia? Qual é a soma da série 1-1+1-1+1-1+1-1+...? Escrita na forma (1-1)+(1-1)+(1-1).= 0 por outro lado, escrita 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).= 1 logo 0 = 1! (???)
Re:[obm-l] Soma de Fatoriais
Olá! Veja que se n=1, temos y=1 e y=-1 sendo soluções. Se n=3, temos 1! + 2! + 3! = 9, e y=3 e y=-3 também servem. Das opções, o único intervalo q contém as 4 soluções é [- 3,5]. É interessante observar também que esses são os únicos pares (n,y) de inteiros que satisfazem, pois, como k! termina em zero para k=5, para n=4 a soma dos fatoriais de 1 a n terminará em 3 (pois 1+2+6+24=33), e sabemos q um quadrado perfeito nunca termina em 3. []s, thiago sobral Olá! Esta questãozinha já tá, há algum tempo, me deixando sem sono! Alguém poderia me ajudar? Resolvendo 100 vezes a equação 1! + 2! + 3! +... + n! = y^2 no conjunto dos números inteiros, atribuindo valores de 1 a 100 a n . As soluções inteiras em y encontram-se no intervalo: a)[-8,0] b)[-4,1] c)[-2,6] d)[-3,5] e)[-5,-1] resp D __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Paradoxo da soma
Essa série nem converge. Se você pegar a soma parcial dos n primeiros termos, ela vai ser 1 se n for impar e zero se n for par. Entao essa serie fica pulando entre zero e um, e não tem paradoxo nenhum. Por outro lado, tem series que convergem para um numero, mas que se voce mudar a ordem dos termos convergem para outro numero ou ate para infinito! Por exemplo 1-1/2+1/3-1/4+1/5-... Voce consegue fazer essa serie dar outro resultado mudando a ordem do termos? (Da pra fazer ela dar qualquer número, ou dar infinito) Esse "paradoxo" é bem mais interessante! - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 2:50 AM Subject: [obm-l] Paradoxo da soma Alguém sabe me dizer alguma coisa sobre este paradoxo ? Onde está a falácia? Qual é a soma da série 1-1+1-1+1-1+1-1+...? Escrita na forma (1-1)+(1-1)+(1-1).= 0 por outro lado, escrita 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).= 1 logo 0 = 1! (???)
Re: [obm-l] Problema t
Wendel, Eu tentei colocar em symbols , mas não saiu. Então a letra p é o número pi(3,14.). OK? Até - Original Message - From: Wendel Scardua [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Friday, January 10, 2003 8:05 PM Subject: Re: [obm-l] Problema t Eu estava tentando este problema e não conseguiu. cos(p/65).cos(2p/65).cos(4p/65).cos(8p/65).cos(16p/65).cos(32p/65) é igual a: Esse p é variável ou é pi? Se for variável, eu faria a 'trapaça' de substituir p:=0 ... ^^ Mas provavelmente é pi... Wendel = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.435 / Virus Database: 244 - Release Date: 30/12/2002 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Dúvida Da Fuvest
Olá pessoal da lista, A minha dúvida é quanto a primeira questão da Fuvest de Matemática da 2ª Fase (parte b). Aí vai: (b) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há entre 100 e 1000? [Notações] Sejam:p: o nº de múltiplos de 9 entre 100 e 1000q: o nº de múltiplos de 15 entre 100 e 1000r: o nº de múltiplos de 9 e 15 entre 100 e 1000 [Questão] Em todos os gabaritosveio a resposta para a parte (b) como sendo p+q-r. Não seria p+q-2r? O que eu pensei no dia foi assim: entre todos os p's você contou os múltiplos de 45 e entre todos os q's também. Eu admiti "ou" como sendo exclusivo (ou este ou aquele), e por isso eu achei que você deveria subtrair 2 r's. Aí fiquei sem saber. Espero algum esclarecimento maior por parte de vocês. Desde já grato, HelderBusca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet
[obm-l] Álgebra Linear
Seja X um conjunto não-vazio qualquer. O símbolo F(X;R)
representa o conjunto de todas as funções reais f,g:X -
R. Ele se torna espaço vetorial quando se define a soma
f + g de duas funções e o produto a . f de número a pela
função f da maneira natural:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (a.f)(x) = a. f(x)
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de
espaços vetoriais da forma F(X;R). Por exemplo, se X=
{1,...,n} então F(X;R) = R^n; se X = N então F(X;R) =
R^infinito; se X é o produto cartesiano dos conjuntos
{1,...,m} e {1,...,n} então F(X;R) = M(m x n).
Esse trecho foi retirado do livro Álgebra Linear de Elon
Lages Lima.
O que eu quero saber é como essa afirmação é
verdadeira... Não consigo visualizar como por exemplo X
= {1,2,3} vai formar um espaço tridimensional...
Isso está muito abstrato pra mim...
Bem... Em vez de vocês colocarem a prova, eu preferiria
que me indicassem algum site ou livro com todo a base
teórica pra fazer essa afirmação... Se não der e vocês
preferirem a prova mesmo... Ponham ai.
Obrigado.
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Re: [obm-l] matrizes
Oi para todos! Desculpe a distração na última mensagem. Toda matriz [(a11 = x) e (a21 = 2x/3)] satizfaz X. André T. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 4:57 PM Subject: [obm-l] matrizes olá pessoal, Gabriel Haeser, vou reafirmar novamente que enviei a questão como está no meu caderno de exercícios com a resalva de ser A*X=3X ao invés de 3x (esta segunda é como está no enunciado). Quanto a unicidade da solução a questão dá 5 alternativas (todas matrizes coluna) e entre elas a matriz [(a11=3) e (a21=2)] que alguém da lista enviou, mas não me lembro quem. Parece que foi o Bruno. Gostaria que quem enviou, comentasse aos outros colegas aqui da lista para sabermos se sua resposta está realmente correta. Pelo menos, bate perfeitamente com o gabarito.
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Somatório_de_Fibonacci_com_binomio_de_Newton
Eu sei que isso ja prova mas não tem como provar para aquele caso particular não?? --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. O bom é provar uma identidade bem mais geral: C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0 é trivial: C_0,0 * F_m = F_0+m e o caso n = 1 é fácil: C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2 Supondo o caso n temos C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ... + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n * F_m+n+1 = F_2n+m+1 e somando as duas equações casando do lado esquerdo termos onde o F_* tem o mesmo índice (na vertical para quem a minha diagramação funcionar) temos C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 + ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1 * F_m+n+1 = F_2n+m+2 que é o caso n+1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re: [obm-l]_Somatório_de_Fibonacci_com_binomio_de_Newton
Eu sei que isso ja prova mas não tem como provar para aquele caso particular não?? --- Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Jan 10, 2003 at 03:14:00PM -0300, Carlos Maçaranduba wrote: Alguem poderia fazer a questão abaixo? Seja F_n o enésimo número de fibonacci.Seja C_x,y a combinação de x elementos tomados y a y(x maior ou igual a y).Prove o somatório abaixo: C_n,0*(F_1) + C_n,1*(F_2) +C_n,n*(F_n+1) = F_2n+1. O bom é provar uma identidade bem mais geral: C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m que pode ser provada por indução em n. O caso n = 0 é trivial: C_0,0 * F_m = F_0+m e o caso n = 1 é fácil: C_1,0 * F_m + C_1,1 * F_m+1 = F_m+2 Supondo o caso n temos C_n,0 * F_m + C_n,1 * F_m+1 + C_n,2 * F_m+2 + ... + C_n,n * F_m+n = F_2n+m C_n,0 * F_m+1 + C_n,1 * F_m+2 + ... + C_n,n-1 * F_m+n + C_n,n * F_m+n+1 = F_2n+m+1 e somando as duas equações casando do lado esquerdo termos onde o F_* tem o mesmo índice (na vertical para quem a minha diagramação funcionar) temos C_n+1,0 * F_m + C_n+1,1 * F_m+1 + C_n+1,2 * F_m+2 + ... + C_n+1,n * F_m+n + C_n+1,n+1 * F_m+n+1 = F_2n+m+2 que é o caso n+1. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = ___ Busca Yahoo! O melhor lugar para encontrar tudo o que você procura na Internet http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Trigonometria: Questão 9 da fuvest
Ele subtraiu pi/3 nos 3 valores... - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Saturday, January 11, 2003 7:42 PM Subject: [obm-l] Trigonometria: Questão 9 da fuvest Olá pessoal, Alguém poderia me explicar uma passagem que vi na questão 9 (fuvest- 2003) no site do objetivo ( http://www.curso-objetivo.br/vestibular/fuvest/2003/rc/fase2/5dia/Fuv-Matematica.pdf) de correções de provas. O que eu não entendi foi a passagem: DE (- pi/6) + 2*K*pi = (pi/3) + x = (pi/6) + 2*K*pi PARA (- pi/2) + 2*K*pi = x = (-pi/6) + 2*K*pi Os pares de cores representam minhas três dúvidas: 1) Por quê (- pi/6) passou a ser (- pi/2) ? 2) Por quê (pi/6) passou a ser (-pi/6) 3) Por quê [(pi/3) + x] passou a ser x ?
[obm-l] Regra de três!!!
Olá pessoal!!! Já publiquei essa questão uma vez nessa mesma lista, mas não foi possível verificar a resposta que me enviaram. Seria uma satisfação poder contar com a ajuda de vocês. Em um pasto o mato cresce de modo igual. Se 70 vacas comem todo esse mato em 24 dias e 30 vacas em 60 dias, quantas vacas comem todo o mato em 96 dias? Agradeço a atenção... Eduardo. _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: regra de três
A resposta está no site da OBM-l: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200201/msg00272.html
[obm-l] Re: [obm-l] Álgebra Linear
On Sat, Jan 11, 2003 at 03:50:02PM -0200, Rafael wrote:
Seja X um conjunto não-vazio qualquer. O símbolo F(X;R)
representa o conjunto de todas as funções reais f,g:X -
R. Ele se torna espaço vetorial quando se define a soma
f + g de duas funções e o produto a . f de número a pela
função f da maneira natural:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), (a.f)(x) = a. f(x)
Variando o conjunto X, obtêm-se diversos exemplos de
espaços vetoriais da forma F(X;R). Por exemplo, se X=
{1,...,n} então F(X;R) = R^n; se X = N então F(X;R) =
R^infinito; se X é o produto cartesiano dos conjuntos
{1,...,m} e {1,...,n} então F(X;R) = M(m x n).
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Lages Lima.
O que eu quero saber é como essa afirmação é
verdadeira... Não consigo visualizar como por exemplo X
= {1,2,3} vai formar um espaço tridimensional...
Isso está muito abstrato pra mim...
Não é o conjunto X (no seu exemplo) que é um espaço tridimensional
(não é mesmo). O espaço tridimensional é o conjunto das funções de X em R.
Uma função f de X em R é descrita por três números reais: f(1), f(2), f(3).
Não há nenhuma forma especial para a função donde a tripla (f(1),f(2),f(3))
pode ser qualquer coisa. Ou seja, o conjunto das funções de X em R é
naturalmente identificável com R^3.
[]s, N.
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[obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont.
Ola Prof Jose Claudio e demais colegas desta lista ... OBM-L, Bem-Vindo a lista OBM-L Prof Jose Claudio ! É bom ve-lo participar ! São notaveis estes pontos de intersecção de cevianas, não ? Exemplos bem conhecidos sao o ortocentro ( alturas ), o incentro ( bissetrizes internas ) e o baricentro ( medianas ). Quais são as condições necessarias e suficientes para que tres cevianas, cada uma partindo de um vertice, tenham um ponto comum ? Seria o Teorema-Recíproco do Teorema de Ceva ? Um Abraço a Todos ! Paulo Santa Rita 7,2327,110103 From: Claudio [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Triângulos-cont. Date: Mon, 6 Jan 2003 18:08:53 -0200 Sim, é verdade que se duas bissetrizes se interceptam num ponto, a terceira também passa por esse ponto. Mas nem sempre o poto de tangência entre a circunferência inscrita num triângulo e um dos seus lados corresponde à intersecção entre esse lado e a bissetriz do ângulo oposto. Isso só ocorre se o triângulo for isósceles ou equilátero. Se fosse verdade, poderíamos usar seus argumentos para provar que todos os triângulo são isósceles ou equiláteros, ou seja, que não existem triângulos escalenos, o que logicamente nao é verdade. _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Paradoxo da soma
On Fri, Jan 10, 2003 at 11:50:22PM -0500, [EMAIL PROTECTED] wrote: Alguém sabe me dizer alguma coisa sobre este paradoxo ? Onde está a falácia? Qual é a soma da série 1-1+1-1+1-1+1-1+...? Escrita na forma (1-1)+(1-1)+(1-1).= 0 por outro lado, escrita 1-(1-1)-(1-1)-(1-1).= 1 A contradição consiste em supor que toda soma infinita tem um valor bem definido e que as propriedades usuais da soma (como a associatividade) continuam valendo. Quem fez um bom curso de análise deve estar com o conceito de séries convergentes mas existem outras formas úteis de atribuir significados a algumas outras somas infinitas (veja por exemplo o livro Divergent Series de Hardy) mas não é consistente atribuir valores a *todas* as séries. Por outro lado ao atribuirmos algum significado a uma classe maior de séries, mais frágeis se tornam as propriedades. A título de curiosidade, a série acima é somável no sentido de Cezaro e seu valor é 1/2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Diversos
Caros amigos da lista: 1)Estava um dia em minha casa e comecei a estudar construções geométricas( com régua lisa e compasso, somente) e bolei alguns exercícios para eu mesmo resolver. Por exemplo: construir duas retas perpendiculares, logo após contruir um ângulo de 30º, logo após, contruir um ângulo de 15º, logo após contruir um triângulo retângulo de ângulos agudos 30 e 60 graus, isso como incentivo para continuação no estudo de construções que auxiliam na geometria. A questão é: Se não me engano, vi um livro que se chama Contruções Geométricas do prof. Eduardo Wagner, da Coleção do professor de Matemática. Este livro é completo para o estudo de questões sobre este tema da OBM? Obs: Estas questões para vocês são moleza, mas só citei pois comecei a estudar tal assunto somente agora. 2) Caro Faelccmm, vc estava perguntando sobre exercícios de geometria, né? Então gostaria de citar uns livrinhos que ajudam para começar: Geometria do Oswaldo Marcondes e Ed. do Brasil de 1969; Geometria plana Vol9 da "coleção do Iezzi". Gostaria de dizer também, que eu acho legal se vc pegasse algumas provas de matemática do Colégio Naval, pois tem exercícios de geometria que eu considero interessantes. Obs: Citei estes livros pois tratam de assuntos importantes e demonstram alguns teoremas, mas não são base total para a OBM.
[obm-l] Função composta
Estava assistindo a um filme que não tem nada a ver com matemática ou ciências exatas em geral. Em um trecho do filme a protagonista dizia ao seu namorado que o relacionamento deles não andava nada bom. Quando ela falou relacionamento lembrei de relação, e de relação lembrei de relação binária e função. Das palavras que apareciam na legenda ditas pelo casal eu estava tentando montar 2 funções onde o domínio seria a quantidade de vogais proferidas a cada legenda e a imagem seria um termo qualquer como n^2 onde n= qtde de vogal em cada diálogo. Surgiram algumas dúvidas nessa minha construção: 1) Isso pode ser considerado uma função se considerarmos que a qtde de vogais jamais iria se repetir? Digo isso, pois se houvesse repetição o gráfico teria mais de um ponto pertencendo a uma linha imaginária paralela à 0y, como sabemos. 2) Como uma função composta esta representada no gráfico cartesiano? Somente atráves de dois eixos, ou existiria um 3º, como z, configurando um espaço tridimensional? E se tivessemos n funções compostas teriamos também n espaços vetoriais com com dimensões iguais a n-1?
