[obm-l] Re:[obm-l] Questão
1) Seja o conjunto A={1,2,3,4,5,6}. escolhendo-
se três elementos distintos de A, qual é a probalidade de
que eles representem as medidas dos lados de um triângul
o ?
os unicos ternos possiveis p/ serem lados de triangulos
são:2,3,4
2,4,5,
2,5,6,
3,4,5
3,4,6
3,5,6
4,5,6
temos portanto probabilidade7/C6,3=7/20
__
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[obm-l] Re:[obm-l] Equação
O seu erro é muito comum ,as outras raizes são:x=2ex=4. no caso vc não pode cortar o x-2 nem o x-4pois eles podem ser 0.já o x-1,x-3,x-5vc pode cortar pois todos eles são diferentes de 0.Ao cortar 0c/0 vc esta dizendo q todos os reais são iguais veja:0*5=0*2isso é verdade porém se vc cortar os zeros terá 2=5absurdo! __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re:[obm-l] ajuda
eu acho q a resposata é 15/16. pois o numero maximo de rodadas é 5.portanto o denomina dor será2^5=32, e o numero de casos favoraveis e 30 pois os unicos casos em que uma equipe nâo vence por duas vitorias consecutivassão os seguintes:ababa,babab. nota:estou considerando os casos do tipo ababb como uma equipe vencendo por duas vitorias consecutivas pois esta vencendo das duas formas.portanto a probabilidade será de30/32=15/16 __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida???
Oi para todos !
Desculpe o descuido, faltou dizer que x deve ser
primo. Para n 1 oconjunto tem pelo menos um número primo.
Mas me ocorreu uma dúvida, a afirmação vale para
n=1?
André T.
- Original Message -
From:
A. C.
Morgado
To: [EMAIL PROTECTED]
Sent: Sunday, January 19, 2003 1:04
PM
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l]
Dúvida???
Por exemplo, se n=5, o conjunto eh {1, 2, ...,10}. Considere o
subconjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Se x=4, um elemento do subconjunto que não eh
multiplo de x eh o 6. Logo, de acordo com a prova dada 4 e 6 sao primos entre
si!MorgadoWagner wrote:
Oi para todos !
Sim. Aqui vai a prova :
Suponha que m elementos do subconjunto sejam
múltiplos de x.
Para x 1, temos m n + 1 . Logo existe
pelo menos um elemento do subconjunto que não
é múltiplo de x . Seja y esseelemento .
Como x = 2n , então pelo menos x e y
são primos entre si.
André T.
-
Original Message -
From:
Danilo Artigas
To: obm-l
Sent:
Sunday, January 19, 2003 2:24 AM
Subject:
[obm-l] Dúvida???
Por que podemos garantir que em
qualquer subconjunto com n + 1 elementos do conjunto {1, 2, 3,...,
2n} existem pelo menos doiselementos que são primos entre
si?
[obm-l] Re: [obm-l] Braçal?
Os dias da semana se repetem com periodicidade = 7. Assim, começando a contar num domingo (dia 0), teremos que os domingos subsequentes serão: 7, 14, 21, ; as segundas-feiras: 1, 8, 15, ... Em geral, teremos (k é inteiro não negativo): Domingos: 7k Segundas: 7k + 1 Terças: 7k + 2 Sabados: 7k + 6 200 = 28 * 7 + 4 = 7k + 4 == Quinta-Feira. Assim, 200 dias após 10 de fevereiro será uma 5a. feira - alternativa (b). - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 26, 2003 8:29 PM Subject: [obm-l] Braçal? Prezados. Gostaria de saber se alguma solução razoável para esta questão, pois a minha achei braçal demais. É isso mesmo? Em um ano qualquer, se o dia 10 de fevereiro for um domingo, 200 (duzentos) dias depois será: a) uma 4a. feira; b) uma 5a. feira; c) uma 6a. feira; d) ou uma 4a. feira ou uma 5a. feira; e) ou uma 5a. feira ou uma 6a. feira.
[obm-l] Sequências
Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
Uma forma de resolver o problema é através do preenchimento de uma linha de cada vez: Colocação da primeira peça na primeira linha: - Escolha da primeira peça: 4 (existem inicialmente 4 peças disponíveis) - Escolha da coluna: 4 (todas as colunas estão disponíveis) Colocação da segunda peça na segunda linha: - Escolha dasegunda peça: 3 (uma das peças já foi utilizada) - Escolha da coluna: 3 (a coluna da primeira peça deve ser evitada) Colocação da terceira peça naterceira linha: - Escolha daterceira peça: 2 - Escolha da coluna:2 Colocação daúltima peça naúltima linha: - Escolha daúltima peça: 1 - Escolha da coluna:1 Total = 4*4*3*3*2*2*1*1 = 576. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 3:25 AM Subject: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória Olá pessoal, Como resolver esta questão: (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças poderão ser colocadas? Resp:576 Obs: Eu pensei no seguinte: A única maneira de termos em cada linha e cada coluna apenas uma peça é se estas peças forem colocadas na diagonal. E como um quadrado possui 2 diagonais a resposta seria o total de maneiras de colocar as peças em uma diagoanl multiplicado por 2. Como eu disponho de 4 peças para colocar em 4 casas (cada diagonal possui 4 casas) eu tenho a seguinte situação: Em qualquer casa eu tenho 4 escolhas (4 peças) então temos 4^4 =256 agora multiplicando por 2, pois a outra diagonal também poderia ser temos 256x2=512
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
Uma observao: impressionante o prazer que os autores dessas questes de vestibular sentem em enrolar desnecessariamente os enunciados.Custava alguma coisa ter dito no enunciado 4 peas diferentes? claro que a soluo do Cludio est correta e se refere a 4 peas diferentes. Proponho ento um outro problema: e se as peas fossem iguais? Morgado Cludio (Prtica) wrote: Uma forma de resolver o problema atravs do preenchimento de uma linha de cada vez: Colocao da primeira pea na primeira linha: - Escolha da primeira pea: 4 (existem inicialmente 4 peas disponveis) - Escolha da coluna: 4 (todas as colunas esto disponveis) Colocao da segunda pea na segunda linha: - Escolha dasegunda pea: 3 (uma das peas j foi utilizada) - Escolha da coluna: 3 (a coluna da primeira pea deve ser evitada) Colocao da terceira pea naterceira linha: - Escolha daterceira pea: 2 - Escolha da coluna:2 Colocao daltima pea naltima linha: - Escolha daltima pea: 1 - Escolha da coluna:1 Total = 4*4*3*3*2*2*1*1 = 576. - Original Message - From:[EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 3:25AM Subject: [obm-l] Um tabuleiro de xadrezdiferente! Combinatria Ol pessoal, Como resolver esta questo: (FGV-SP) Um tabuleiro especial dexadrez possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador desejacolocar 4 peas no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna,seja colocada apenas uma pea. De quantas maneiras as peas podero sercolocadas? Resp:576 Obs: Eu pensei no seguinte: A nicamaneira de termos em cada linha e cada coluna apenas uma pea se estas peasforem colocadas na diagonal. E como um quadrado possui 2 diagonais a respostaseria o total de maneiras de colocar as peas em uma diagoanl multiplicado por2. Como eu disponho de 4 peas para colocar em 4 casas (cada diagonal possui 4casas) eu tenho a seguinte situao: Em qualquer casa eu tenho 4 escolhas(4 peas) ento temos 4^4 =256 agora multiplicando por 2, pois a outradiagonal tambm poderia ser temos 256x2=512
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
seja x³ = x.x.x a² - b² = (a+b).(a-b) tome a + b = x² == a = x²- b a - b = x x² -2b -x = 0 x(x-1) = 2b b = x(x-1)/2 a + x(x-1)/2 = x² a = x(x+1)/2 a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³ - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 AM Subject: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] Sequências
Use o seguinte fato: Para todo inteiro positivo n, vale: 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 que pode ser demonstrado sem muito problema por indução. Daí: n^3 = (1^3 + 2^3 + ... + n^3) - [1^3 + 2^3 + ... + (n-1)^3] = = (1 + 2 + ... + n)^2 - [1 + 2 + ... + (n-1)]^2 = = [n*(n+1)/2]^2 - [n*(n-1)/2]^2 Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 12:11 PM Subject: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] Re: [obm-l] funções compostas
(fog)(x) = f(x^2) (hof)(x) = 81/f(x) (fog)(x) = (hof)(x) == f(x)*f(x^2) = 81 == F(x) = 0, com F(x) = f(x^2)*f(x) - 81. Como f é contínua, F também é. Também: f(0,04)*f(0,2) = (3^0,04 + 1/0,04)*(3^0,2 + 1/0,2) 25 * 5 = 125 81 f(0,25)*f(0,5) = (3^0,25 + 1/0,25)*(3^0,5 + 1/0,5) (3 + 4)*(3 + 2) = 7*5 = 35 81 f(1)*f(1) = (3^1 + 1/1)*(3^1 + 1/1) = 4*4 = 16 81 f(4)*f(2) = (3^4 + 1/4)*(3^2 + 1/2) 3^4*3^2 = 3^6 = 729 81 de forma que F(x) = f(x^2)*f(x) - 81 tem uma raiz entre 0,2 e 0,5 e outra entre 1 e 2. Além disso, F'(x) é claramente positiva para x 1 e negativa para x 0,5, de forma que aquelas são as únicas raízes == as alternativas (a) e (d) estão corretas. Com uma planilha eu achei as duas raízes de F(x), ambas situadas entre 0 e 2 (com 5 casas decimais, são 0,26146 e 1,52875). Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] To: lista de matemática [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 26, 2003 7:36 PM Subject: [obm-l] funções compostas (ITA-92) Considere as funções: f: R* - R, g: R - R e h: R* - R definidas por: f(x) = (tres elevado a x) + (1/x) , g(x) = x² , h(x) = (81/x) O conjunto dos valores de x em R* tais que (fog)(x) = (hof)(x) é subconjunto de: a) [0,3] b) [3,7] c) [-6,1] d) [-2,2] e) n.d.a eu tentei calcular (fog)(x) e (hof)(x) e igualar os dois... mas cheguei à uma equação que, putz, sem comentários... alguém pode me ajudar? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] Sequências
Seja n um número inteiro qualquer. n^3 = n*n*n Sejam a e b dois inteiros. a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)=n*n*n=(n*n)*n a+b = n*n a-b = n 2a = n*n+n = n(n+1) a = n(n+1)/2 é inteiro, pois n ou n+1é divisível por 2. b = n*n - a é inteiro. O processo acima nos fornece o método para obter, para qualquer n, dois inteiros a e b tais que a diferença de seus quadrados é igual ao cubo de n. Assim, fica provada a afirmação. []'s Hugo. -Mensagem original-De: Wagner [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Enviada em: segunda-feira, 27 de janeiro de 2003 11:12Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T.
[obm-l] RES: [obm-l] Braçal?
200 mod 7 = 4... Logo 200 dias correspondem a um certo número de semanas completas(de 7 dias), mais quatro dias... segunda, terça, quarta e quinta-feira... queéa resposta. []'s Hugo. -Mensagem original-De: Marcelo Roseira [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Enviada em: domingo, 26 de janeiro de 2003 19:30Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] Braçal? Prezados. Gostaria de saber se alguma solução razoável para esta questão, pois a minha achei braçal demais. É isso mesmo? Em um ano qualquer, se o dia 10 de fevereiro for um domingo, 200 (duzentos) dias depois será: a) uma 4a. feira; b) uma 5a. feira; c) uma 6a. feira; d) ou uma 4a. feira ou uma 5a. feira; e) ou uma 5a. feira ou uma 6a. feira.
[obm-l] En: [obm-l] Fw: [obm-l] Braçal?
Sim, está. Mas a solução é tão banal - e não braçal, como o autor da mensagem original disse - que imaginei que poderia haver um erro no enunciado, já que com o enunciado que eu propus o problema ficaria, se não braçal no mínimo interessante, mesmo sem levarmos em conta os anos bissextos do Calendário Gregoriano. JF - Original Message - From: Eduardo Henrique Leitner [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 26, 2003 10:52 PM Subject: Re: [obm-l] Fw: [obm-l] Braçal? O enunciado não está dizendo: 200 DIAS depois??? On Sun, Jan 26, 2003 at 10:25:03PM -0200, Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: Se a pergunta é esta mesmo, a resposta é banal. Basta dividir 200 por 7, ver o resto, e contar: resto=1 resposta segunda, resto=2 resposta terça... Repare que a pergunta contém uma armadilha com as respostas (d) e (e) - se V achar que deve ser levado em conta se o ano qualquer é bissexto ou não, V cai na armadilha. Agora, se o enunciado for se o dia 10 de fevereiro de um ano qualquer cair num domingo, em que dia da semana ELE CAIRÁ 200 ANOS depois?, o problema não é só braçal, é indeterminado, pois precisaríamos saber quantos anos bissextos existem entre o ano base e 200 anos depois. E para isso precisamos saber qual o ano base. Por que? Porque quando Gregório XIII instituiu seu calendário em 1582, além de cassar 10 dias daquele ano ele determinou que os anos centenares, embora divisíveis por 4, não seriam bissextos, mas os quadricentenários, embora centenários, seriam. JF - Original Message - From: Marcelo Roseira To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Sunday, January 26, 2003 8:29 PM Subject: [obm-l] Braçal? Prezados. Gostaria de saber se alguma solução razoável para esta questão, pois a minha achei braçal demais. É isso mesmo? Em um ano qualquer, se o dia 10 de fevereiro for um domingo, 200 (duzentos) dias depois será: a) uma 4a. feira; b) uma 5a. feira; c) uma 6a. feira; d) ou uma 4a. feira ou uma 5a. feira; e) ou uma 5a. feira ou uma 6a. feira. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Tringulo Heroniano
Title: Help Este aqui tem me dado dor de cabeça: Um triângulo tem lados com medida inteira e área racional. Prove que uma de suas alturas tem medida inteira e que o pé desta altura está a uma distância inteira dos vértices do triângulo. Obs: Um triângulo cujos lados e a área têm medidas racionais é chamado de heroniano em homenagem a Heron de Alexandria. Agradeço qualquer ajuda. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Somas de séries
Caro Paulo Santa Rita: Bem interessante essa questão da relação entre: R = SOMA A(n)e S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n). onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A 0. Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação deve ser extremamente não-trivial. Qual bibliografia você recomenda? Em particular, você conhece alguma fórmula para R e S quando: A(n) = 1 / (an + b)^2, com a e b inteiros? Um abraço, Claudio. * Seja A1, A2, ..., A3 um PA, isto e, Ai - Ai-1 = K, K # 0. Entao, pelo Teorema de Leibniz ( da Analise ), (1/A1) - (1/A2) + (1/A3) - ... converge. Converge pra onde ? Isso vai depender da PA. No seu caso : 1 - (1/2) + (1/3) - (1/4) + (1/5) - ... = Ln(2) Outro caso bem conhecido e : S = 1 - (1/3) + (1/5) - (1/7) + (1/9) - ... = pi/4 E uma relacao bem conhecida e que : 1 + (1/2^2) + (1/3^2) + (1/4^2) + ... = (1/3!)*((4S)^2). A serie acima e o valor da funcao zeta em 2. Note que a sequencia 1, 1/(2^2),1/(3^2),1/(4^2), ... e tal que 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K, K constante e diferente de zero, para qualquer i. Toda serie que satisfaz a relacao acima e tal que : A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - ... Converge condicionalmente, conforme voce pode mostrar facilmente usando o Teorema de Leibniz a que me referi acima. Se admitirmos que as series alternadas cujos modulos dos inversos dos seus termos sao uma PA constituem um dado, entao o problema dos inversos das PA2 fica bem posto. Mais claramente, seja A1, A2, ..., An uma sequencia tal que ( K e S dados ) : 1) 1/Ai - 2/Ai+1 + 1/Ai+2 = K = constante nao nula, independente de i 2) A1 - 2*A2 + 3*A3 - 4*A4 + 5*A5 - 6*A6 + ... converge para S. A serie abaixo converge para que numero real ? : A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6 + ... Essa questao nao e simples. E uma forma diferente de abordar um problema resolvido apenas parcialmente pelo Euler. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
Na verdade a única possibilidade não é colocar na diagonal... Veja: x o o o o x o o o o o x o o x o x o o o x o o o o x o o o o x o o x o o o o o x o o o x o o x o E por aí vai... O que você pode fazer é o seguinte: Na primeira coluna, temos 4 possibilidades para colocar as 4 peças (4*4). Na segunda coluna temos 3 possibilidades para colocar 3 peças (3*3), na terceira temos 2 possibilidades para colocar 2 peças (2*2) e depois temos apenas mais uma possibilidade para a última coluna. No total teremos 4*4*3*3*2*2*1*1 = 576 possibilidades. []s David - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 3:25 AM Subject: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória Olá pessoal, Como resolver esta questão: (FGV-SP) Um tabuleiro especial de xadrez possui 16 casas, dispostas em 4 linhas e 4 colunas. Um jogador deseja colocar 4 peças no tabuleiro, de tal forma que, em cada linha e cada coluna, seja colocada apenas uma peça. De quantas maneiras as peças poderão ser colocadas? Resp:576 Obs: Eu pensei no seguinte: A única maneira de termos em cada linha e cada coluna apenas uma peça é se estas peças forem colocadas na diagonal. E como um quadrado possui 2 diagonais a resposta seria o total de maneiras de colocar as peças em uma diagoanl multiplicado por 2. Como eu disponho de 4 peças para colocar em 4 casas (cada diagonal possui 4 casas) eu tenho a seguinte situação: Em qualquer casa eu tenho 4 escolhas (4 peças) então temos 4^4 =256 agora multiplicando por 2, pois a outra diagonal também poderia ser temos 256x2=512 ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Sequências
On Mon, Jan 27, 2003 at 02:17:38PM -0300, Domingos Jr. wrote: seja x³ = x.x.x a² - b² = (a+b).(a-b) tome a + b = x² == a = x² - b a - b = x x² -2b - x = 0 x(x-1) = 2b b = x(x-1)/2 a + x(x-1)/2 = x² a = x(x+1)/2 a² - b² = (a+b).(a-b) = (x²).(x) = x³ - Original Message - From: Wagner To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 11:11 AM Subject: [obm-l] Sequências Provar que todo cubo de um número inteiro é a diferença de dois quadrados de números inteiros André T. Está certo; faltou talvez observar que a é inteiro já que n e n^2 têm a mesma paridade. Observe que o que está sendo demonstrado é que n pode ser escrito como diferença de dois quadrados desde que possa ser fatorado em dois fatores ímpares ou dois fatores pares. Ou seja, n é diferença de dois quadrado se e somente se *não* é da forma 4k+2. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória
Seriam 4 possibilidades na primeira coluna, 3 na segunda, duas na terceira e uma na quarta, totalizando 24 possibilidades? []s David - Original Message - From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 1:55 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Um tabuleiro de xadrez diferente! Combinatória Uma observação: É impressionante o prazer que os autores dessas questões de vestibular sentem em enrolar desnecessariamente os enunciados.Custava alguma coisa ter dito no enunciado 4 peças diferentes? É claro que a solução do Cláudio está correta e se refere a 4 peças diferentes. Proponho então um outro problema: e se as peças fossem iguais? Morgado ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Somas de séries
Ola Claudio e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
A ultima pergunta e simples, em determinado sentido ... Use o MAPLE e voce
vera a soma para qualquer 1/(an+b)^2. Mas o MAPLE faz as coisas ao modo
dele, insatisfatorio em certo sentido ...
Por muitas razoes, eu precisei investigar as series da forma :
NIC(a,r)= 1/a - 1/(a+r) + 1/(a+2r) - 1/(a+3r) + ...
Num certo sentido estas series sao primitivas, vale dizer, supomos que a
funcao NIC : R^2 - R ( NIC nao existe na literatura, eu fui obrigado a
reconhecer sua importancia ) esta bem definida e vemos o que se pode
produzir de interessante com elas. Claramente que a serie :
1/a + 1/(a+r) + 1/(a+2r) + 1/(a+3r) + ... smepre diverge !
Mas a serie :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... sempre converge !
Que relacao existe entre o valor para o qual esta serie converge e NIC ?
Existe X e Y tais que :
1/a^2 + 1/(a+r)^2 + 1/(a+2r)^2 + 1/(a+3r)^2 + ... = K*(NIC(X,Y))^2 ?
Para algum K real ?
Claramente que existe alguns reordenamentos evidentes ...
( 1/a - 1/(a+r) ) + ( 1/(a+2r) - 1/(a+3r) ) + ...
NIC serve para caracterizar uma classe de triangulos aritmeticos, conhecidos
como triangulos harmonicos. O exemplo mais simples serie :
1
1/2 1/2
1/3 1/6 1/3
1/4 1/12 1/12 1/4
...
Cada termo e a diferenca entre o que esta acima a esquerda e o que esta a
esquerda. As colunas sao numeradas da esquerda para a direita a partir de
-1. O 1/2 da coluna -2 e tal que : 1/2 = 1 - 1/2. E assim para todos os
termos ... Se voce tomar uma coluna qualquer desde o infinito ate um
determinado termo, a soma e o termo da esquerda : e o teorema das colunas do
triangulo de pascal estendido a este tipo de triangulo ... Este triangulo e
conhecido tambem como triangulo de Leibniz.
Todo triangulo harmonico tem um numero que o caracteriza univocamente e que
e um valor de NIC. Em particular, no triangulo de Leibniz este valor de NIC
e Ln(2) ..., isto e, NIC(1,1) Um outro triangulo harmonico teria um outro
valor para NIC.
Pode-se dizer que os triangulos harmonicos sao extensoes dos triangulos
aritmeticos tipo triangulo de pascal. Eles sao como as colunas negativas
deste triangulo ...
Considere a relacao de recorrencia :
(n e a coluna, p a linha )
A00 = 1
An,p = An-1,p-1 + An,p-1 n em {0,1,2,...} e p em {0,1,...,n}
Fixado sucessivamente n, varie p. Voce vai obter o triangulo de pascal.
Para outros valores de A00 e outras relacoes de recorrencia da forma An,p=
K*An-1,p-1 + L*An,p-1 voce obetera outros triangulos aritmeticos tipo
pascal. Observe que no triangulo de pascal K=L=1.
Existe alguma relacao entre K e L e o trianngulo harmonico correspondente,
isto e, entre K, L que definem um triangulo tipo pascal e NIC(K,L), que
caracteriza um triangulo harmonico ?
Neste momento e imperioso que se perceba o seguinte :
No triangulo de Pascal quando nos olhamos para o N,P em Binom(N,P) nos quase
inadvertidamente imaginamos em combinacoes de N elementos tomados P a P.
Mas, isto, e ... UMA INTERPRETACAO : nao e A INTERPRETACAO. o Professor
NIColau deixa claro isso em seu livro sobre MATEMATICA QUANTICA. La ele diz
claramente que podemos, sem receios, dar outras interpretacoes aos numeros
binomias, que representariam outras formas de contagem ( as q-contagem ),
vale dizer, indices. A interpretacao que damos e, assim, uma contagem
particular, nao A CONTAGEM, A UNICA POSSIVEL !
Isto posto, a relacao de recorrencia implica claramente que estamos vemos os
N, P em BINOM(N,P) como LOCALIZACOES ou LUGARES em alguma estrutura mais
ampla, ou, o que da no mesmo, os valores de uma funcao definida em R^2.
Isto e muito bom, por diversas razoes ...
Seja r um real positivo. A funcao :
Z(r)=1/N^r, N={1,2,...} converge se r1. r=2 e um caso particular de
Z(r)=1/N^r. Uma compreenssao destas coisas por este caminho pode abrir uma
vertente nova na abordagem deste fato para r complexo, em particular, para
os zeros desta funcao ...
Observe que esta e uma abordagem por dentro, vale dizer, por fora,
partindo diretamente de r complexo, muita gente ja tentou e nao teve
sucesso. Isso pode ser mais uma abordagem que sera mal-sucedida. Mas ...
pode ser ! Ate esclarecer estas coisas nos nao podemos advinhar o que vai
acontecer !
Francamente eu acho tudo isso interessante independente de uma orientacao
pratica qualquer, independente de qualquer novo resultado. Isso e
interessante simplesmente porque eu tenho certeza que algo misterioso e
profundo esta no fim deste arco-iris ...
Um abraco
Paulo Santa Rita
2,1849,270103
From: Cláudio \(Prática\) [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Somas de séries
Date: Mon, 27 Jan 2003 16:25:23 -0200
Caro Paulo Santa Rita:
Bem interessante essa questão da relação entre:
R = SOMA A(n)e S = SOMA (-1)^(n+1)*n*A(n).
onde A(n) = 1 / (An^2 + Bn + C), com A 0.
Dado que quando A(n) = 1/n^2, R = Pi^2 / 6 e S = Ln(2), a relação
[obm-l] teorema de fermat
Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço!Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] último teorema de fermat
Fácil e difícil são dois conceitos muito relativos. Fácil em relação a que? Difícil em relação a que? Mas eu acho mesmo é que esse seu colega é um gozador. De qualquer forma, V encontra a demonstração que está querendo no excelente - na realidade um 'must' da Teoria dos Números - An Introduction to the Theory of Numbers, de GH Hardy e EM Wright, que pode ser encontrado, segundo o N, "em qualquer biblioteca de matemática que mereça o nome". JF - Original Message - From: matteus barreto To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, January 27, 2003 8:57 PM Subject: [obm-l] teorema de fermat Um colega outro dia me disse que não seria tão difícil demostrar o último teorema de fermat para o caso n = 4, a saber: Não existe uma tripla de inteiros (x, y, z), para n 2, que satisfaça a equação: x^n + y^n = z^n. No entanto não consegui resolver tal problema... Se alguém puder me ajudar, agradeço!
[obm-l] polinômios
Olá pessoal, Vejam a questão: (UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Entre, os números m e n são tais que m + n é : Resp: 0 Obs: Eu pensei assim: Se x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6 então as raízes de x^2 - 3x + 6 são tbém raízes de x^3 - 5x^2 + mx - n e como x^3 - 5x^2 + mx - n é um polinômio de grau 3 só iria faltar uma raiz que eu iria calcular pelo algoritmo de Briot Ruffini. Só que quando eu fui calcular as raízes de x^2 - 3x + 6 me deparei com um problema que foi obter um discriminante negativo, portanto uma raíz complexa. Como eu não consegui aplicar Briot-Ruffinni para a resolução, tenho a impressão que pode ser resolvido pelas relações de Girard mas não consegui aplicá-las neste problema.
[obm-l] equações
Olá pessoal, Vejam a questão: (CESGRANRIO) As raízes da equação x^2 + bx + 47=0 são inteiras. Podemos afirmar: a) a diferença entre as duas raízes tem módulo 46 b)a soma das duas raízes tem módulo 2 c) b é positivo d) o módulo da soma das duas raízes é igual a 94 e) b é negativo Resp: a Obs: Alguém poderia justificar as alternativas pra mim, pois não consegui encontrar as raízes por que o coeficiente a1 é b e não é dito que numero ele representa.
[obm-l] geometria plana
Olá pessoal, Vejam a questão: (PUC-SP) No círculo ao lado, O é o centro, AB =2 e AC= raiz*3. Então alfa vale: Resp:60º Obs: A figura é bem simples, vou tentar descrevê-lá: Os pontos A e B formam o diâmetro. Imaginem o ciclo trigonométrico que ficará bem mais fácil: O ponto A está localizado como o 180º no ciclo trigonométrico e o B como o 0º. Já o ponto C está + ou - aonde está o 55º (Estes valores não importam pois a questão é de plana e não de analítica, eu estou fazendo isso até eu começar a enviar figuras anexadas, Ok?). O angulo alfa é angulo entre BOC (sendo O o centro da circunferência).
[obm-l] funções
Sejam três funções f, u, v: R - R tais que:
f{x + (1/x)} = f(x) + [1/f(x)] para todo x não nulo e (u(x))^2 + (v(x))^2 = 1 para
todo x real.
Sabendo-se que x0 é um número real tal que u(x0)*v(x0) != 0 e f{1/(u(x0)*v(x0))} = 2,
o valor de f{u(x0)/v(x0)} é:
a) -1
b) 1
c) 2
d) 1/2
e) -2
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED]
=
[obm-l] Combinatória
7 (sete) pessoas, entre as quais 2 (dois) idosos, sobem num ônibus, com 5 (cinco) lugares vagos. Se os idosos viajarão sentados, o número de maneiras de ocupar os cinco lugares é:
[obm-l] RES: [obm-l] polinômios
Use a divisão euclidiana, e vc achara que o polinomio deve ser x^3 - 5x^2 +12x -12 = (x - 2)(x^2 - 3x + 6) para isto basta igualar o resto; que caso eu não tenha errado as contas deve ser (m-12)x + (12-n); a zero. -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED]Enviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 00:27Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] polinômiosOlá pessoal, Vejam a questão: (UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Entre, os números m e n são tais que m + n é : Resp: 0 Obs: Eu pensei assim: Se x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6 então as raízes de x^2 - 3x + 6 são tbém raízes de x^3 - 5x^2 + mx - n e como x^3 - 5x^2 + mx - n é um polinômio de grau 3 só iria faltar uma raiz que eu iria calcular pelo algoritmo de Briot Ruffini. Só que quando eu fui calcular as raízes de x^2 - 3x + 6 me deparei com um problema que foi obter um discriminante negativo, portanto uma raíz complexa. Como eu não consegui aplicar Briot-Ruffinni para a resolução, tenho a impressão que pode ser resolvido pelas relações de Girard mas não consegui aplicá-las neste problema.
Re:[obm-l] geometria plana
Olá pessoal, Vejam a questão: (PUC- SP) No círculo ao lado, O é o centro, AB =2 e AC= raiz*3. Então alfa vale: Resp:60º Obs: A figura é bem simples, vou tentar descrevê-lá: Os pontos A e B formam o diâmetro. Imaginem o ciclo trig onométrico que ficará bem mais fácil:OLHA PELA FIGURA VC DEVE COMPLETAR O SEGMENTO BC,E DAI LEMBRE-SE O TEOREMA QUE DIZ TODO TRIANGULO INSCRITO NUMA CIRCUNFERENCIA EM QUE A HIPOTENUSA É IGUAL AO DIAMETRO É RETANGULO,ENTÃO C É DE 90 GRAUS,DAI VC APLICA SEN DE ALFA = RAIZ*3/2 E ACHA ALFA ,BELEZA NÃO SEI SE FUI CLARO,ESPERO TER SIDO O ponto A está localizado como o 180º no ciclo trigonomé trico e o B como o 0º. Já o ponto C está + ou - aonde está o 55º (Estes valores não importam pois a questão é de plana e não de analítica, eu estou f azendo isso até eu começar a enviar figuras anexadas, Ok?). O angulo alfa é angulo entre BOC (sendo O o centro da circunferência). __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] RES: [obm-l] equações
oberve primeiro que 47 é primo e depois que delta deve ser um quadrado perfeito, ou seja: delta = b^2 - 4*47 = n^2 assim: b^2 - n^2 = 4*47 (b-n)(b+n) = 4*47 temos então duas possiblidades [1] b - n =4 b + n =47 - b=51/2 - n=43/2(não servfe, não é inteiro) [2] b - n =2 b + n =94 -b=48 - n=46 assim o modulo da diferença entre as raizes (=|delta|) = n =46 -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Em nome de [EMAIL PROTECTED]Enviada em: terça-feira, 28 de janeiro de 2003 00:35Para: [EMAIL PROTECTED]Assunto: [obm-l] equaçõesOlá pessoal, Vejam a questão: (CESGRANRIO) As raízes da equação x^2 + bx + 47=0 são inteiras. Podemos afirmar: a) a diferença entre as duas raízes tem módulo 46 b)a soma das duas raízes tem módulo 2 c) b é positivo d) o módulo da soma das duas raízes é igual a 94 e) b é negativo Resp: a Obs: Alguém poderia justificar as alternativas pra mim, pois não consegui encontrar as raízes por que o coeficiente a1 é b e não é dito que numero ele representa.
[obm-l] Re: [obm-l] polinômios
(UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Entre,os números m e n são tais que m + n é : Sendo x³ - 5x² + mx - n divisível por x² - 3x + 6 , então teremos que resto 0(zero) x³ - 5x² + mx - n | x³ - 5x² + mx - n -x² + 3x² - 6x x - 2 -2x² + mx - 6x - n -2x² + x.(m - 6) - n (I) 2x² - x.(6) +12 (II) Repare que somando I a II teremos que obter Zero : m - 6 = 6e - n = 12 m = 12 e n = 12 m + n = 0 Abraço Rick www.olympicmaths.hpg.com.br -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] geometria plana
(PUC-SP) No círculo ao lado, O é o centro, AB =2 e AC= raiz*3. Então alfa vale: Se for o que eu entendi , é bem simples . (Fig. anexada) Aplicando pitágoras no triângulo ABC , verificaremos que o segmento BC é igual a 1 e o triângulo OBC é eqüilátero , portanto alfa é igual a 60°. Abraço Rick www.olympicmaths.hpg.com.br -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br attachment: circ.gif
[obm-l] Re:[obm-l] geometria plana
(PUC-SP) No círculo ao lado, O é o centro, AB =2 e AC= raiz*3. Então alfavale: OLHA PELA FIGURA VC DEVE COMPLETAR O SEGMENTO BC,E DAI LEMBRE-SE O TEOREMA QUE DIZ TODO TRIANGULO INSCRITO NUMA CIRCUNFERENCIA EM QUE A HIPOTENUSA É IGUAL AO DIAMETRO É RETANGULO,ENTÃO C É DE 90 GRAUS,DAI VC APLICA SEN DE ALFA = RAIZ*3/2 E ACHA ALFA ,BELEZA NÃO SEI SE FUI CLARO,ESPERO TER SIDO Acho que você não entendeu muito bem a figura ! Você acertou porque o triângulo BOC é equilátero , portanto os 3 ângulos são iguais ... : ) Abraço Rick www.olympicmaths.hpg.com.br -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Re:[obm-l] polinômios
Utilizando o método da chave se acha m = 12 e n = 12, portanto a soma seria 24... e nao creio q eu fiz a divisao errado... On Tue, Jan 28, 2003 at 02:45:47AM -0200, arakelov wrote: Olá pessoal, Vejam a questão: (UFPA) O polinômio x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6. Entre, os números m e n são tais que m + n é : Resp: 0 Obs: Eu pensei assim: Se x^3 - 5x^2 + mx - n é divisível por x^2 - 3x + 6 então as raízes de x^2 - 3x + 6 são tbém raízes de x^3 - 5x^2 + mx - n e como as raízes de x^2 - Ruffinni para a resolução, tenho a impressão que pode ser BEM É SÓ VC APLICAR DIVISÃO PELO METODO DA CHAVE E VC VAI ENCONTRAR M= 12 E N= -12,BELEZA,UM ABRAÇO __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
