[obm-l] Problema da tesoura
Oi turma,beleza?Essa eu quero ver.Quem fez o da Eureka? Mostre que e possivel recortar um poligono em outros poligonos de modo a rearranja-los sem falhas para formar um quadrado. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Dicas:Re: [obm-l]Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Olimpíadas_ao_redor_do_mundo...
Mais ou menos...Tem algo que pode ajudar.Em Teoria dos Numeros tente sempre ou na maioria das vezes usar modulos e quadrados ou coisas assim.Teste de primalidade cai bem.Em Geometria depende muito de tudo.As vezes soluçoes com trigonometria sao feias mas nem sempre as geometricas sao boas.As vezes ser insistente ajuda. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Crom:Há um tempo atrás , eu perguntei ao Prof. Eduardo Wagner se havia algumaforma sistemática de se resolver problemas de geometria mediante construçõesauxiliares.A resposta dele foi a seguinte:"A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas naoteriaa menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorreminteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer umarotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reuniros dadosdo problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.[..]A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente aexperiencia.Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao."Essa resposta vale também para a resolução de equações diofantinas (e, defato, para qualquer problema matemático).Por exemplo, na outra equação que você menciona:y^3 - x^3 = 9xy + 127eu comecei usando congruência mod 3 por causa dos cubos, do coeficiente 9 eaté mesmo do 27 em 127 (apesar de 127 ser = 1 (mod 3)).De certa forma, eu tentei explorar uma simetria do problema - vários itensmúltiplos de 3.Agora, quanto aos novos problemas:PROBLEMA 1:Uma alternativa é observar que as constantes numéricas são todas múltiplasde 12.Logo, você poderia pensar em usar congruência mod 12.No entanto, uma outra observação é que o maior expoente de x que aparece é2.Dada a familiariadade que todos nós temos (espero!) com as equações de 2o.grau, sou forçado, nesse caso, a concordar com o Dirichlet - a melhor formade proceder é agrupar os coeficientes de forma a obter uma equação do 2o.grau em x:y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12) = 0 ==yx^2 + (y^2-36)x + y^3-12y^2+36y = 0Se y = 0, então só pode ser x = 0 == (0,0) é soluçãoSupondo y 0, dividindo a equação por y e fatorando, obtemos:x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0 (A)Delta = [(y-6)(y+6)/y]^2 - 4(y-6)^2= [(y-6)^2/y^2] * [-3(y+2)(y-6)]Se existem soluções inteiras, então Delta é quadrado perfeito ==-3(y+2)(y-6) é quadrado perfeito ==-3(y+2)(y-6) = m^2, para algum inteiro m ==y^2 - 4y + (m^2/3 - 12) = 0 (B)Delta1 = 16 - 4(m^2/3 - 12) = 64 - 4m^2/3 = 4(16 - m^2/3)Novamente temos que:Se existe algum y inteiro que satisfaz a equação (B), então Delta1 équadrado perfeito ==16 - m^2/3 é quadrado perfeito ==em particular, m é múltiplo de 3m = 0 == 16 - m^2/3 = 16 = 4^2m = 3 == 16 - m^2/3 = 16 - 3 = 13 == não é q.p.m = 6 == 16 - m^2/3 = 4 = 2^2m = 9 == 16 - m^2/3 0 == não é q.p.Assim, m só pode ser 0 ou 6. Substituindo em (B), obtemos:m = 0 ==y^2 - 4y - 12 = 0 ==y = 6 ou y = -2m = 6 ==y^2 - 4y = 0 ==y = 0 ou y = 4Substituindo estes valores de y em (A):x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0obtemos:y = 6 ==x^2 = 0 ==x = 0 ==(0,6) é soluçãoy = -2 ==x^2 + 16x + 64 = 0 ==(x + 8)^2 = 0 ==x = -8 ==(-8,-2) é soluçãoy = 0 == caso já tratado acima (implica em x = 0)y = 4 ==x^2 - 5x + 4 = 0 ==x = 1 ou x = 4 ==(1,4) e (4,4) são soluçõesLogo, pela análise acima, as únicas soluções são:(0,0), (0,6) e (-8,-2), (1,4) e (4,4)Pergunta pra você: Por que eu posso afirmar que estas são realmente asÚNICAS soluções inteiras?***PROBLEMA 2:Aqui você pode usar uma propriedade da função d: N -- N definida por:d(x) = número de divisores positivos de xA propriedade é a seguinte:se mdc(m,n) = 1 entãão d(m*n) = d(m)*d(n)Ela é equivalente à seguinte propriedade da função d:Se n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, onde os pi são primos distintos e os ai sãointeiros não negativos, então:d(n) = (a1 + 1)*(a2 + 1)*...*(ar + 1)Esta propriedade pode ser provada sem muito problema por indução (em r) ouentão pelo princípio multiplicativo da análise combinatória.Dito isso, passemos ao problema:Suponhamos que n = 2^a*3^b*m, onde a e b são inteiros não negativos e m é uminteiro positivo primo com 2 e 3.Então:2n = 2^(a+1)*3^b*m3n = 2^a*3^(b+1)*m6n = 2^(a+1)*3^(b+1)*mLogo:d(2n) = (a+2)*(b+1)*d(m) = 28 (1)d(3n) = (a+1)*(b+2)*d(m) = 30 (2)d(6n) = (a+2)*(b+2)*d(m)Agora, sabemos que:28 = 2*2*730 = 2*3*5e que d(m) é um fator comum a 28 e 30 ==d(m) = 1 ou d(m) = 2Caso 1:d(m) = 1 ==(a+2)*(b+1) = 28 e (a+1)*(b+2) = 30 ==ab + a + 2b = 26 e ab + 2a + b = 28 ==(subtraindo as duas equações) ==a = b + 2 ==(substituindo o valor de a na 2a. equação) ==(a+1)*a = 30 ==a = 5 ==b = 3 ==d(6n) = 7*5*1 = 35Caso 2:d(m) = 2 ==(a+2)*(b+1) = 14 e (a+1)*(b+2) = 15 ==ab + a + 2b = 12 e ab + 2a + b = 13 ==a = b + 1 ==(a+2)*a = 14 ==a não é inteiro ==não há solução quando d(m) = 2Logo, a conclusão é que d(6n) = 35.- Original Message -From: <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesday, March 18, 2003 12:01 PMSubject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do
Re: [obm-l]Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Olimpíadas_ao_redor_do_mundo...
Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi, Crom:Há um tempo atrás , eu perguntei ao Prof. Eduardo Wagner se havia algumaforma sistemática de se resolver problemas de geometria mediante construçõesauxiliares.A resposta dele foi a seguinte:"A resposta eh nao. Se existisse, a atividade de resolver problemas naoteriaa menor graca. Mas as tentativas em obter construcoes auxiliares nao ocorreminteiramente ao acaso. Tracar uma paralela, uma perpendicular, fazer umarotacao, uma simetria (entre outras coisas), frequentemente permitem reuniros dadosdo problema em outra posicao, permitindo encontrar uma relacao entre eles.[..]A melhor fonte para conseguir construcoes auxiliares eh certamente aexperiencia.Conhecer muitos problemas e observar cuidadosamente o porque da construcao."Essa resposta vale também para a resolução de equações diofantinas (e, defato, para qualquer problema matemático).Por exemplo, na outra equação que você menciona:y^3 - x^3 = 9xy + 127eu comecei usando congruência mod 3 por causa dos cubos, do coeficiente 9 eaté mesmo do 27 em 127 (apesar de 127 ser = 1 (mod 3)).De certa forma, eu tentei explorar uma simetria do problema - vários itensmúltiplos de 3.Agora, quanto aos novos problemas:PROBLEMA 1:Uma alternativa é observar que as constantes numéricas são todas múltiplasde 12.Logo, você poderia pensar em usar congruência mod 12.No entanto, uma outra observação é que o maior expoente de x que aparece é2.Dada a familiariadade que todos nós temos (espero!) com as equações de 2o.grau, sou forçado, nesse caso, a concordar com o Dirichlet - a melhor formade proceder é agrupar os coeficientes de forma a obter uma equação do 2o.grau em x:y(x^2+36)+x(y^2-36)+y^2(y-12) = 0 ==yx^2 + (y^2-36)x + y^3-12y^2+36y = 0Se y = 0, então só pode ser x = 0 == (0,0) é soluçãoSupondo y 0, dividindo a equação por y e fatorando, obtemos:x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0 (A)Delta = [(y-6)(y+6)/y]^2 - 4(y-6)^2= [(y-6)^2/y^2] * [-3(y+2)(y-6)]Se existem soluções inteiras, então Delta é quadrado perfeito ==-3(y+2)(y-6) é quadrado perfeito ==-3(y+2)(y-6) = m^2, para algum inteiro m ==y^2 - 4y + (m^2/3 - 12) = 0 (B)Delta1 = 16 - 4(m^2/3 - 12) = 64 - 4m^2/3 = 4(16 - m^2/3)Novamente temos que:Se existe algum y inteiro que satisfaz a equação (B), então Delta1 équadrado perfeito ==16 - m^2/3 é quadrado perfeito ==em particular, m é múltiplo de 3m = 0 == 16 - m^2/3 = 16 = 4^2m = 3 == 16 - m^2/3 = 16 - 3 = 13 == não é q.p.m = 6 == 16 - m^2/3 = 4 = 2^2m = 9 == 16 - m^2/3 0 == não é q.p.Assim, m só pode ser 0 ou 6. Substituindo em (B), obtemos:m = 0 ==y^2 - 4y - 12 = 0 ==y = 6 ou y = -2m = 6 ==y^2 - 4y = 0 ==y = 0 ou y = 4Substituindo estes valores de y em (A):x^2 + [(y-6)(y+6)/y]x + (y-6)^2 = 0obtemos:y = 6 ==x^2 = 0 ==x = 0 ==(0,6) é soluçãoy = -2 ==x^2 + 16x + 64 = 0 ==(x + 8)^2 = 0 ==x = -8 ==(-8,-2) é soluçãoy = 0 == caso já tratado acima (implica em x = 0)y = 4 ==x^2 - 5x + 4 = 0 ==x = 1 ou x = 4 ==(1,4) e (4,4) são soluçõesLogo, pela análise acima, as únicas soluções são:(0,0), (0,6) e (-8,-2), (1,4) e (4,4)Pergunta pra você: Por que eu posso afirmar que estas são realmente asÚNICAS soluções inteiras?***PROBLEMA 2:Aqui você pode usar uma propriedade da função d: N -- N definida por:d(x) = número de divisores positivos de xA propriedade é a seguinte:se mdc(m,n) = 1 entãão d(m*n) = d(m)*d(n)Ela é equivalente à seguinte propriedade da função d:Se n = p1^a1*p2^a2*...*pr^ar, onde os pi são primos distintos e os ai sãointeiros não negativos, então:d(n) = (a1 + 1)*(a2 + 1)*...*(ar + 1)Esta propriedade pode ser provada sem muito problema por indução (em r) ouentão pelo princípio multiplicativo da análise combinatória.Dito isso, passemos ao problema:Suponhamos que n = 2^a*3^b*m, onde a e b são inteiros não negativos e m é uminteiro positivo primo com 2 e 3.Então:2n = 2^(a+1)*3^b*m3n = 2^a*3^(b+1)*m6n = 2^(a+1)*3^(b+1)*mLogo:d(2n) = (a+2)*(b+1)*d(m) = 28 (1)d(3n) = (a+1)*(b+2)*d(m) = 30 (2)d(6n) = (a+2)*(b+2)*d(m)Agora, sabemos que:28 = 2*2*730 = 2*3*5e que d(m) é um fator comum a 28 e 30 ==d(m) = 1 ou d(m) = 2Caso 1:d(m) = 1 ==(a+2)*(b+1) = 28 e (a+1)*(b+2) = 30 ==ab + a + 2b = 26 e ab + 2a + b = 28 ==(subtraindo as duas equações) ==a = b + 2 ==(substituindo o valor de a na 2a. equação) ==(a+1)*a = 30 ==a = 5 ==b = 3 ==d(6n) = 7*5*1 = 35Caso 2:d(m) = 2 ==(a+2)*(b+1) = 14 e (a+1)*(b+2) = 15 ==ab + a + 2b = 12 e ab + 2a + b = 13 ==a = b + 1 ==(a+2)*a = 14 ==a não é inteiro ==não há solução quando d(m) = 2Logo, a conclusão é que d(6n) = 35.- Original Message -From: <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesday, March 18, 2003 12:01 PMSubject: [obm-l] Re: [obm-l] Olimpíadas ao redor do mundo... Nao precisa disso tudo...Analise uma equaçao de segundo grau em x ai ce resolve com deltas e manda balaUse teoria bem elementar dos numeros. Na outra use as definiçoes -- Mensagem original -- E aí moçada.tô mandando uns problemas , na esperança de ajuda... 1) Determine todos os pares de números inteiros (
Re: [obm-l] Problema da tesoura
Oi, JP e demais colegas: Esse é um caso particular da versão 2-D do 3o. problema de Hilbert. Tem um artigo elementar (infelizmente em inglês e em Postcript) que trata deste problema. Ele está no item 15 da seguinte página: http://mathcircle.berkeley.edu/BMC4/Handouts/sessions-index4.html a qual, aliás, tem alguns outros artigos bem interessantes para quem está treinando pra olimpíada. Quem não conseguir fazer o download pode me mandar um e-mail particular que eu tenho uma versão pdf do mesmo artigo (7 páginas, 114 kb) Um abraço, Claudio. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 12:30 PM Subject: [obm-l] Problema da tesoura Oi turma,beleza?Essa eu quero ver.Quem fez o da Eureka? Mostre que e possivel recortar um poligono em outros poligonos de modo a rearranja-los sem falhas para formar um quadrado. TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE -- Use o melhor sistema de busca da Internet Radar UOL - http://www.radaruol.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal
A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 12:31 PM Subject: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal Turma esse problema e muito legal!O Shine fez na Semana Olimpica e eufiz outra soluçao,mas quero que a turma da lista pense um pouco nisso. Considere duas matrizes de elementos complexos,A e B,de dimensoes m*n e n*m respectivamente. Mostre que det(A*B)=0 se mn. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal
Fala sério, meu! Esse problema é simples pacas...! É só ver que no F^n, se a gente tem m vetores com m n, eles sao certamente LD, e aí sai, pum, zalum, acabou... Bah! que viagem! From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Turma esse problema e muito legal!O Shine fez na Semana Olimpica e eu fiz outra soluçao,mas quero que a turma da lista pense um pouco nisso. Considere duas matrizes de elementos complexos,A e B,de dimensoes m*n e n*m respectivamente. Mostre que det(A*B)=0 se mn. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] 3 gatos e 5 ratos
Cara chará: Acho que assim dá certo... x R R x x x R x x R x x x x R G x x x x G x x G x Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Cláudia Moura Ribeiro da Silva To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, March 18, 2003 2:05 PM POR FAVOR ME AJUDEM A RESOLVER ESSE PROBLEMA: COLOCAR 3 GATOS E 5 RATOS nUMA QUADRADO COM 5 COLUNAS VERTICAIS E HORIZONTAIS DE MODO QUE O RATO NÃO FIQUE PERTO DO GATO ( NA MESMA LINHA, DIAGONAL OU FILEIRA) POIS SENÃO O GATO COME O RATO.OBRIGADO Claudia MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. Get 2 months FREE*. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=
[obm-l] Outro de lgebra Linear
Title: Help Sejam f_1,...,f_n funes reais linearmente independentes definidas num mesmo domnio D. Prove que existem elementosd_1,...,d_n em D tais que a matrix n x n cujo elemento (i,j) f_i(d_j) inversvel. Um abrao, Claudio.
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal
Eduardo, As vezes o problema e simples para algumas pessoas, mas para outras que nao viram e nem tem dominio da materia pode ser dificil. Seja esse ou qualquer outro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Eduardo Casagrande Stabel Sent: Thursday, March 20, 2003 8:24 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal Fala sério, meu! Esse problema é simples pacas...! É só ver que no F^n, se a gente tem m vetores com m n, eles sao certamente LD, e aí sai, pum, zalum, acabou... Bah! que viagem! From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet Turma esse problema e muito legal!O Shine fez na Semana Olimpica e eu fiz outra soluçao,mas quero que a turma da lista pense um pouco nisso. Considere duas matrizes de elementos complexos,A e B,de dimensoes m*n e n*m respectivamente. Mostre que det(A*B)=0 se mn. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] posto(matriz)
O que é "posto(A)"? JF - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 2:30 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio.
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Algebra_Linear-Aplicaçao_legal
Outra soluçao:verifique se podemos criar linhas e colunas nulas em certos lugares e ver no que da. Cláudio_(Prática) [EMAIL PROTECTED] wrote: A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 12:31 PM Subject: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal Turma esse problema e muito legal!O Shine fez na Semana Olimpica e eufiz outra soluçao,mas quero que a turma da lista pense um pouco nisso. Considere duas matrizes de elementos complexos,A e B,de dimensoes m*n e n*m respectivamente. Mostre que det(A*B)=0 se mn. Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Algebra_Linear-Aplicaçao_legal
Esse problema mostra bem como usar vetores e algelin mas essa nao foi exatamente minha soluçao.Bem,se tentarmos resolver a equaçao A*B*X=0 da certo pois B*X=0 e indeterminado e cada soluçao disso e soluçao de A*B*X=0 e ai esse sistema e indeterminado,logo fim! Eduardo Casagrande Stabel [EMAIL PROTECTED] wrote: Fala sério, meu! Esse problema é simples pacas...! É só ver que no F^n, se agente tem m vetores com m n, eles sao certamente LD, e aí sai, pum, zalum,acabou... Bah! que viagem! From: Johann Peter Gustav Lejeune DirichletTurma esse problema e muito legal!O Shine fez na Semana Olimpica eeu fiz outra soluçao,mas quero que a turma da lista pense um pouco nisso.Considere duas matrizes de elementos complexos,A e B,de dimensoes m*n e n*mrespectivamente.Mostre que det(A*B)=0 se mn.=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] posto(matriz)
Posto de uma matrizA e o tamanho da maior matriz contida em A cujo determinante e nao-nulo. Jose Francisco Guimaraes Costa [EMAIL PROTECTED] wrote: O que é "posto(A)"? JF - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 2:30 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio.Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
RE: [obm-l] Problema da tesoura
A parte mais legal e que acho que ce se esqueceu e mostrar que dois retangulos de mesma area sao equidecomponiveis.No caso diga claramente como. João_Gilberto_Ponciano_Pereira [EMAIL PROTECTED] wrote: Esse é legal... Vamos por passos:A primeira pergunta é: Como rearranjar um triângulo ABC de base L e altura Hnum retângulo de base L e altura H/2??Bem... traçamos um segmento paralelo à base AB, distante H/2 da mesma,dividindo o triângulo em um trapézio ABDE e um triângulo CED. Agoradividimos o triângulo menor traçando a altura a partir do vértice C, deforma a criar 2 triângulos retângulos que completam os cantos chanfrados dotrapézio.Como um polígono pode ser facilmente dividido em triângulos, o problema seresume em formar um quadrado a partir de vários retângulos. Para isto, bastasaber a área total do polígono e calcular o lado do quadrado, ir preenchendocom os retângulos e seus recortes.-Original Message-From: [EMAIL PROTECTED][mailto:[EMAIL PROTECTED]Sent: TThursday, March 20, 2003 12:31 PMTo: [EMAIL PROTECTED]Subject: [obm-l] Problema da tesouraOi turma,beleza?Essa eu quero ver.Quem fez o da Eureka?"Mostre que e possivel recortar um poligono em outros poligonos de modoa rearranja-los sem falhas para formar um quadrado."TEA WITH ME THAT I BOOK YOUR FACE--Use o melhor sistema de busca da InternetRadar UOL - http://www.radaruol.com.br=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.htmlO administrador desta lista é <[EMAIL PROTECTED]>=Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
Re: [obm-l] posto(matriz)
Caro JF: Considere as m linhas de umamatriz A mxn com elementos num dado corpo F (por exemplo, dos números reais ou dos números complexos). Cada uma destas linhas pode ser encarada como um vetor de F^n (ou seja, um vetor n-dimensional cujas componentes pertencem ao corpo F). Estes vetores geram um subespaço vetorial de F^n (justamente o'conjunto de todas as combinações lineares destes m vetores). Definimos: Posto das Linhas de A = dimensão desse subespaço. De forma análoga, você pode considerar as n colunas de A com sendo vetores de F^m e definir: Posto das Colunas de A = dimensão do subespaço de F^m gerado pelas colunas. Agora, um teorema de álgebra linear diz que, para qualquer matriz A: Posto das Linhas de A = Posto das Colunas de A Assim, faz sentido falar apenas do Posto de A (em inglês: "Rank of A"), que é igual ao Posto das Linhas (e também das Colunas) de A. Espero que tenha ficado claro. Um abraço, Claudio. - Original Message - From: Jose Francisco Guimaraes Costa To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 4:02 PM Subject: [obm-l] posto(matriz) O que é "posto(A)"? JF - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 2:30 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio.
RE: [obm-l] posto(matriz)
Se A:R^m - R^n e uma transformacao linear, entao o posto de A e igual a dim(Im(A)), onde Im(A) e a imagem da transformacao linear A e dim(Im(A)) significa a dimensao da Imagem de A. O posto linha e igual ao posto coluna (Ver Elon, por exemplo). Portanto no exemplo que o Claudio forneceu, quando ele escreve que o posto(A)=n, significa que pelo teorema do nucleo e da imagem voce tem que Dim(A) = dim(Ker(A)) + dim (Im(A)) = dim(Im(A)) = posto(A) = dim(A) dim(Ker(A)) dim(A) = n onde Ker(A) e o nucleo da transformacao linear A. Em alguns livros em ingles voce vera ao inves de posto(A), a notacao rank(A). Em termos matriciais, o posto de A e o numero de linhas ou colunas nao nulas apos a reducao de A para a forma escalonada. Hasta la vista muchacho, Leandro. -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Jose Francisco Guimaraes Costa Sent: Thursday, March 20, 2003 11:03 AM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] posto(matriz) O que é posto(A)? JF - Original Message - From: Cláudio (Prática) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 2:30 PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Algebra Linear-Aplicaçao legal A é mxn, B é nxm == A*B é mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n == posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B é uma matriz mxm cujo posto é n m == A*B é singular == det(A*B) = 0. Um abraço, Claudio.
[obm-l] Latex e figuras EPS
Oi pessoal, Algum conhece algum programa freeware, de preferncia para Windows, que gere figuras EPS, ou pelo menos que converta de outros formatos para EPS. Preciso por que uso esse tipo de figura constantemente no latex. Franklin
[obm-l] functions
Seja a funçao f:N*U{0} -N*U{0}dada pelas propriedades:(f(2n+1))²-(f(2n))²=6f(n)+1 e f(2n)=f(n) para todo n natural.Ache #{x elemento de N,f(x)2003}.Quem fizer eu dou um doce!!!Busca Yahoo!
O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra.
[obm-l] Qual o intuito da topologia?
Ei pessoal, qual a motivação do estudo da topologia?Um colega meu disse rapidamente que era o estudo das caracteristicas que não mudavam de um objeto.Entao ele completou afirmando que se eu pegasse uma esfera e amassasse , haveriam caracteristicas nela no qual seriam preservadas.Que caracteristicas são essas??Quem puder dar uma explanação geral dessa ciencia ...me ajude. Agradecido. ___ Busca Yahoo! O serviço de busca mais completo da Internet. O que você pensar o Yahoo! encontra. http://br.busca.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
RE: [obm-l] Qual o intuito da topologia?
No site http://www.math.wayne.edu/%7Errb/topology.html voce tem as seguintes colocacoes: Basically, topology is the modern version of geometry, the study of all different sorts of spaces. The thing that distinguishes different kinds of geometry from each other (including topology here as a kind of geometry) is in the kinds of transformations that are allowed before you really consider something changed. (This point of view was first suggested by Felix Klein, a famous German mathematician of the late 1800 and early 1900's.) In ordinary Euclidean geometry, you can move things around and flip them over, but you can't stretch or bend them. This is called congruence in geometry class. Two things are congruent if you can lay one on top of the other in such a way that they exactly match. .. Topology is almost the most basic form of geometry there is. It is used in nearly all branches of mathematics in one form or another. There is an even more basic form of geometry called homotopy theory, which is what I actually study most of the time. We use topology to describe homotopy, but in homotopy theory we allow so many different transformations that the result is more like algebra than like topology. This turns out to be convenient though, because once it is a kind of algebra, you can do calculations, and really sort things out! And, surprisingly, many things depend only on this more basic structure (homotopy type), rather than on the topological type of the space, so the calculations turn out to be quite useful in solving problems in geometry of many sorts. === = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
[obm-l] demonstração de função bijetora
oi pessoal, se alguém puder me ajudar na solução dessa questão, ficarei muito grato. Demonstre que f, definida no intervalo 0 x s (s 0) do seguinte modo: F(x) = 2x - s/x(s - x) é uma função bijetora desse intervalo nos reais. Obrigado pela atenção. __ E-mail Premium BOL Antivírus, anti-spam e até 100 MB de espaço. Assine já! http://email.bol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] Qual o intuito da topologia?
Não sei nada sobre o assunto, mas conheço dois sites muito bons que têm o verbete topologia. http://mathworld.wolfram.com e http://www.wikipedia.com O primeiro tem uma variedade maior de assuntos de matemática, mas o segundo tem demonstrações de teoremas e coisas legais sobre história e filosofia da matemática. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
Re: [obm-l] posto(matriz)
posto (rank) o numero maximo de linhas LI da matriz. Prova-se que eh igual ao numero maximo de colunas LI e igual a ordem do maior determinante menor da matriz que nao valha zero. Jose Francisco Guimaraes Costa wrote: O que "posto(A)"? JF - Original Message - From: Cludio (Prtica) To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 2:30PM Subject: [obm-l] Re: [obm-l] AlgebraLinear-Aplicaao legal A mxn, B nxm == A*B mxm m n == posto(A) = n e posto(B) = n== posto(A*B) = posto(A) = n Logo, A*B uma matriz mxm cujo posto n m== A*B singular == det(A*B) = 0. Um abrao, Claudio.
Re: [obm-l] Latex e figuras EPS
Freeware, para Windows eu nao conheco. O Adobe Photoshop faz isso, mas nao eh freeware. Para Linux, você pode usar o GIMP, que é um free software. Normalmente eu compilo meus fontes LaTeX com o pdflatex (Linux), que também aceita figuras JPG através do pacote graphicx. []s David - Original Message - From: Franklin de Lima Marquezino To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, March 20, 2003 5:54 PM Subject: [obm-l] Latex e figuras EPS Oi pessoal, Alguém conhece algum programa freeware, de preferência para Windows, que gere figuras EPS, ou pelo menos que converta de outros formatos para EPS. Preciso por que uso esse tipo de figura constantemente no latex. Franklin = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html O administrador desta lista é [EMAIL PROTECTED] =
