Re: [obm-l] Curvas
Ambas as curvas são hipociclóides. Como disse o Dirichlet, são obtidas através do rastro de um ponto fixo numa circunferência pequena rodando dentro de uma maior. Só para não deixar margens a dúvidas, vale ressaltar que são circunferências tangetes internamente. A figura 1 é um hipociclóide tricúspide ou, se vc preferir, um deltóide. Possui diversas propriedades interessantes - por exemplo, a envoltória das tangentes é um outro deltóide. Tb está intimamente ligado ao desenho da elipse. Já a figura 2 especificamente eu não conheço. Se tivesse que chutar diria que não possui nenhum nome exclusivo. Contudo, certamente tem algum nome genérico e propriedades genéricas. Se vc realmente estiver interesado, posso depois vasculhar meus alfarrábios para te dar maiores detalhes de como construir, propriedades, equações, curvas relacionadas, etc. Só pedir que eu venço minha preguiça :) []'s Alexandre Tessarollo -- __ Sign-up for your own FREE Personalized E-mail at Mail.com http://www.mail.com/?sr=signup CareerBuilder.com has over 400,000 jobs. Be smarter about your job search http://corp.mail.com/careers = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Fábio, Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi direito, hehehe). :) Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh por o enunciado dela aki: Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este caminho?? talvez ajudasse em algo... Fábio Dias Moreira escreveu: -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST) Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de forma compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0. [...] Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema: Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução, tome sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se x aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos termos é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que p(x) != x. Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo. Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o termo pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se fizermos inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo é multiplicado por x^2, certamente não-negativos. Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao termo gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam. Agora considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0 ou 1 e P é um produtório de um núme s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior da matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m apropriadamente). Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar esses últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para formar novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem ser negativos de circulação. Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma? Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)? Se sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil. Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA? Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu mando para a lista. []s, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l]_estou_com_dúvida. ..
Você esqueceu que 3-sqrt(17)/-2 é um número positivo. Como esta solução está subordinada à hipótese de x0, então deve ser descartada. Em 20 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: O número de raízes reais distintas da equação x|x|-3x + 2=0 é? a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 resolvendo para x0 x^2-3x+2=0 x=1 e x=2 resolvendo para x0 -x^2-3x+2=0 x=3+sqrt(17)/-2 x=3-sqrt(17)/-2 portanto 4 soluções reais distintas ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:[obm-l]_estou_com_dúvida. ..
Ignore a minha observação. Em 20 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: O número de raízes reais distintas da equação x|x|-3x + 2=0 é? a)0 b)1 c)2 d)3 e)4 resolvendo para x0 x^2-3x+2=0 x=1 e x=2 resolvendo para x0 -x^2-3x+2=0 x=3+sqrt(17)/-2 esta não vale por ser positiva x=3-sqrt(17)/-2 portanto 3 soluções reais distintas desculpem o erro anterior_ __ ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html === == __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
O primeiro hipociclóide é formado por uma circunferência que gira internamente a uma outra maior. Se não estou enganado, o raio da interna é a terça parte do raio da maior. O número de vértices é igual a relação R/r, onde R é o raio da maior (externa) e r o da menor (interna). Em 21 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: -- Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome especial? Como elas são feitas? Desde já agradeço! Davidson Estanislau -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ Ofertas imperdíveis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Henrique, você fez exatamente o que eu temia que houvesse feito. No processo
de indução , nós assumimos que o resultado é válido para um vcerto número
natural, k, e devemos PROVAR que esse resultado também é válido para o
próximo número natural (k+1). Assim, quando assumimos que
k! 2^k , estamos supondo que isto ocorra para um valor de k , o famoso
fixo porém arbitrário e não podemos trocar k por k+1. Este foi seu 1o
erro. O segundo é que não podemos demonstrar uma igualdade ou uma
desigualdade , mechendo nos dois membros e chegando ao final numa
igualdade obviamente verdadeira, tipo 0=0 ou 1 0, por exemplo. Para se
convencer disso, veja este exemplo simplório:
Vamos provar que -1 =1 . Elevando ao quadrado dos dois lados: 1 = 1 ,
que é uma afirmação obviamente verdadeira, embora nossa tese não seja.
Grande abraço.( E não se envergonhe, qq dúvida, escreva novamente!!! )
Frederico.
From: Henrique Patrício Sant'Anna Branco [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por
indução finita
Date: Tue, 22 Jul 2003 02:40:52 -0300
Desta vez fui eu que não entendi sua dúvida. De qq forma pela
experiência
que tenho em sala de aula imaginoque o seguinte te ajude:
supomos que k! 2^k . Portanto, desde que k+1 é positivo, podemos
multiplicar essa desigualdade dos dois lados por (k+1) = (k+1).
k!
(k+1). 2^k = (k+1)! (k+1) . 2^k 2 . 2^k , pois k+1 2 .
Segue
que (k+1)! 2^{k+1} .
Ajudou? Se não, pode escrever novamente, mas explique-me melhor sua
dúvida.
Ah, certo, você multiplicou os dois lados por (k+1).
O que eu tinha pensado é o seguinte:
Sabemos que k! 2^k nas condições do enunciado. Então, temos que (k+1)!
2^(k+1), (k+1)! = k!*(k+1) e 2^(k+1) = 2*2^k (de acordo?).
Portanto, a igualdade fica k!(k+1) 2(2^k). Como temos que k! 2^k e
(k+1)
2 (pelo enunciado), então, está demonstrado.
Isso estaria certo?
Abraços,
Henrique.
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[obm-l] ENIGMA CONTÁBIL
Olá! Campeões, Mais uma vez, nossa lista está de parabéns, pois vale salientar que o probleminha dos elevadores estava em aberto desde sua publicação na RPM-32 em 1996. Só nos resta comemorar esta vitória deliciando-se com o belo enigma contábil, que apesar de pueril, trata-se de um forte candidato ao GUINNESS BOOK! Uma mulher compra um colar de US$ 78 numa joalheria. Ela dá ao joalheiro um cheque de US$ 100. Este, como não dispõe do troco de US$ 22, recorre ao comerciante ao lado. Lá ele troca o cheque da mulher por US$ 100 em dinheiro. Ele volta e dá à mulher o colar e seu troco. Mais tarde, o cheque é devolvido e ele precisa ressarcir o outro comerciante. Ele pagou originalmente, US$ 39 pelo colar. Qual foi o seu prejuízo total? Divirtam-se! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Claro!. A idéia central para se demonstrar a desigualdade k! 2^k é
óbvia: Nos dois produtos há k fatores, só que no 1o produto eles são, exceto
2, maiores que 2, enquantop no 2o... , mas a questão foi enviada com o
pedido de que fosse demonstrada pelo princípioda Indução.
Frederico.
From: Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet
[EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Mon, 21 Jul 2003 14:52:31 -0300 (ART)
pode-se demonstrar que k!/2^k pode ser tapo
grande como se queira
--- Frederico Reis Marques de Brito
[EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá
Denisson. Essa é dauele tipo em que se usa
um truque sujo utilíssimo.
Deixo os detalhes por sua conta e vamos direto
ao ponto:
Suponha que k! 2^k.Então(k+1)! = (k+1)
. k! (k+1). 2^k , pela
hipótese de indução. Como k=4 , claramente
k+1 2 = (k+1)!
2^{k+1} .
O outro se resolve com um truque dessemesmo
naipe.
Abraços,
Frederico.
From: denisson [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Prova por indução finita
Date: Sun, 20 Jul 2003 15:56:13 -0300
Alguem pode resolver essas pra mim?
Prove por indução finita:
n!2^n, para todo n=4
Prove por indução finita:
n²2n+1, para todo n=3
obrigado
Denisson
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Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano a
que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou em
realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo as potencias crescentes de Z1, renomeando a seguir os Bi
por C's,
teremos algo semelhante a :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a) + C2*(Z1^b) + ... + Cp*(Z1^w).
Nesta ultima expressao acima :
1) Nenhum dos Ci e nulo, por construcao.
2) a b c ... w, em virtude da ordenacao
3) p = n, obvio.
Colocando C1*(Z1^a) em evidencia :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + C1*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
Como estamos supondo P(Z0) 0, podemos dividir tudo po P(Z0). Dividindo :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*(Z1^a)*[ 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) ]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + ( C1/P(Z0) )*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
Fazendo C1/P(Z0) = k :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + (C2/C1)*(Z1^b-a) + ... +
(Cp/C1)*(Z1^w-a) )]
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1 + k*[(Z1^a)*( 1 + Z1*F(Z1) )
onde F(Z1) e uma funcao ( um polinomio ) em Z1.
Claramente que sao numeros complexos tanto k quanto Z1, podendo portanto
serem
colocados na forma trigonometrica, isto e :
k = P*( cosQ + i*senQ ) e Z1 = R( cosS + i*senS )
Portanto : k*(Z1^a) = P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) ). Dai :
P(Z0+Z1) / P(Z0) = 1+ P(R^a)*( cos(Q + aS) + i*sen(Q + aS) )*( 1 + Z1*F(Z1)
)
PRESTE BASTANTE ATENCAO AQUI : Z0 e fixo. Ele e o complexo que torna
modulo( P(Z) )
minimo. Segue que P(Z0) e um complexo fixo e que C1/P(Z0) tambem o e, pois
C1 e uma constante ou um polinomio em Z0. Mas Z1 nao e fixo. Z1 e UM PONTO
na circunferencia do circulo de centro
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ah, ok! Acabo de encontrar o enunciado do Teorema de Bolzano, que prezumo,
era o que vc havia se referido:
Sejam P(x) um polinômio a coeficientes reais e a b números
reais. Se P(a) . P(b) 0 então P(x) tem um no par ( podendo ser = 0 )
de zeros reais no intervalo aberto ( a , b ) e se P(a) . P(b) 0, P(x)
tem um número ímpar de zeros em ( a , b ).
Segue a demonstração:
Podemos supor P(x) não constante( pois no caso cte nada temos a provar ) e
mônico ( por simplicidade ). Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, podemos
fatorar P(x) completamente em fatores lineares:
P(x) = ( x-a1) . ( x-a2 ) ... ( x - ak ) . (x - z1 ) ... (x - zm) .
Em que os ai´s são reais e os bj´s complexos não-reais e são as
raízes de P(x)=0.
OBS: Se P(x) não tiver raiz real então P(x)0 para todo x real e tudo
bem. Dessa forma podemos assumir que P(x) tenha alguma raiz real.
Mas tb sabemos que as raízes complexas não-reais só aparecem aos pares, z e
conjugado de z , pois P(x) tem coef. reais. Daí, podemos reescrever :
P(x) = (x - a1)...(x - ak). Q(x) , com Q(x) 0 para todo x real =
P(a) . P(b) = ( a - a1) ... ( a - ak ) .( b - a1) ... ( b - ak). Q(a).
Q(b) .
Se a a_i b = a - a_i 0 e b - a_i
0 .
Se a_i a = a - a_i 0 e b - a_i
0 .
Se a_i b = a - a_i 0 e b -
a_i 0 .
Desta forma, sea_i é uma raiz de P(x) no intervalo (a, b ) = (
a-a_i). (b-b_i)0 . Caso contrário, (a-a_i). (b -a_i) 0 . Decorre que se
P(a).P(b) 0 = o número de raizes reais de P9x) em (a,b) é
necessariamente par e se P(a). P(b) 0 = o no de raízes reais de P(x) em
(a,b) é necessariamente ímpar.
Abraços a todos.
Frederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
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Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
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um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
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este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto Z
na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0, alguns
destes
Bi poderao ser
Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Ola Frederico e demais
colegas desta lista ... OBM-L,
O Teorema de Bolzano a que me referi e o seguinte :
TEOREMA DE BOLZANO : Se Y=P(X) e um polinomio real de coeficientes reais
definido no intervalo
]a,b[ entao :
1) Se o sinal de P(a) e igual ao sinal de P(b) ha um numero par de raizes no
intervalo ]a,b[
( podendo ser 0 raizes )
2) Se o sinal de P(a) e diferente do sinal de P(b) entao ha um numero impar
de raizes
Existem muitas coisas interessantes para serem vistas aqui, muitas das quais
dependentes de algum conhecimento mais aprofundado. Por exemplo. A equacao :
Z^7 + 5bar(Z)^4 + Z = 0
tem 17 solucoes... E verdade ! 17 solucoes ! E a abordagem disso segue as
pegadas do Gauss, ao abordar os sistemas R(a,b) e C(a,b) aos me referi. Mas
e dificil falar sobre isso sem pressupor algum conhecimento alem do nivel da
graduacao.
Nao sei ate onde voce estudou, mas talvez voce consiga ler o trabalho :
http://www.arxiv.org/abs/math.na/0209097
Muito provavelmente, dentre todos os Matematicos do Mundo, o Prof Nicolau
Saldanha, nosso moderador, e o cara que melhor entende destas coisas e de
suas implicacoes. Para nos Brasileiros e, em particular, nos aqui desta
lista, isso e motivo de muito orgulho.
Um Abraco
Paulo Santa Rita
3,1129,220703
From: Frederico Reis Marques de Brito [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Tue, 22 Jul 2003 10:14:37 -0300
Olá Paulo, bom ter reenviado a prova de Cauchy. Acaso o Teorema de Bolzano
a que se refere é o tb conhecido como Teorema do Valor Intermediário ( ou
em realidade algo equivalente a ele ) ? Se não, qual o enunciado?
Obrigado,
FRederico.
From: Paulo Santa Rita [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] TFA - Teorema Fundamental da Algebra
Date: Mon, 21 Jul 2003 18:15:03 +
Ola Pessoal,
Revendo a mensagem na qual aprresento a PROVA DE CAUCHY para o Teorema
Fundamental da Algebra achei-a um tanto confusa, pois eu estava escrevendo
com
pressa. Como este Teorema e importante, dificilmente encontrado em livros
do
ensino medio e sendo a prova de Cauchy simples, facilmente acompanhavel
por
um estudante dedicado, resolvi re-escrever a prova, colocando detalhes de
forma que
qualquer pessoa possa entender.
Esse Teorema tem provas mais longas e mais curvas. Usando Analise complexa
a
prova e trivial e curtissima, mas nao acho que seja adeguado apresentar
aqui, por
obvias razoes.
A IDEIA FUNDAMENTAL : A ideia subjacente a esta prova e a seguinte. Se
everdade
que todo polinomio no plano de Argand tem raiz, entao esta raiz minimiza o
seu modulo
e a suposicao de um minimo positivo deve conduzir a um absurdo. Como fazer
este
absurdo surgir ? Considerando um circulo em torno do ponto que minimiza o
modulo do
polinomio e tratando retas passando por este ponto. Em uma destas retas
evidenciara
o absurdo. O resto e detalhe.
Segue a Prova de Cauchy :
Seja P(X) = A0*(X^n) + A1*(X^n-1) + ... + An-1*X + An um polinomio no
qual os
coeficientes A0, A1, ..., An-1, An sao numeros complexos quaisquer e X e
uma
variavel complexa. Queremos mostrar que existe Z complexo tal que :
P(Z) = A0*(Z^n) + A1*(Z^n-1) + ... + An-1*Z + An = 0.
Para tanto, seja M = MIN { MODULO( P(X) ), X variando em C }.
Como, por definicao, modulo( P(X) ) = 0. Segue que M = 0. Portanto, M
pode
ser
PRIMEIRO CASO : M = 0.
Neste caso, existe um complexo Z0 tal que MODULO( P(Z0) ) = 0. Segue que
P(Z0) = 0 e portanto Z0 e uma raiz de P(X) e a demonstracao esta
concluida.
SEGUNDO CASO : M 0.
Neste caso, seja Z0 o complexo tal que MODULO( P(Z0) ) = M. IMAGINANDO no
plano complexo um circulo de centro Z0 e raio R, segue que qualquer ponto
Z na
circunferencia deste circulo pode ser imaginado como a extremidade de um
vetor,
soma dos vetores :
Z0 : origem em (0,0) e extremidade no ponto Z0
Z1 : origem no ponto Z0, extremidade no ponto Z e modulo R
Assim, para qualquer Z na circunferencia do circulo, teremos :
Z = Z0 + Z1
Calculando agora P(Z), teremos :
P(Z)=P(Z0 + Z1)=A0*((Z0 + Z1)^n ) + A1*((Z0+Z1)^n-1 ) + ... + An-1*(Z0+Z1)
+ An
Na expressao acima, ao expandirmos (Z0+Z)^p - p = 0,1,2, ..., n - usando o
Binomio
de Newton, iremos obter as parcelas A0*(Z0^n), A1*(Z0^n-1), ..., An-1*Z0,
An nas
quais nao aparece Z1 e diversas outras parcelas, nas quais sempre constara
Z1 :
1) Sozinho, sem que apareca Z0. Exemplos :
A0*(Z1^n), A1*(Z1^n-1), ..., An-1*Z1
2) Acompanhado de Z1. Exemplos :
BINOM(N,1)*A0*(Z0^n-1)*(Z1), BINOM(N,N-1)*A0*(Z0)*(Z1^n-1), ...
onde BINOM(N,P) = N! / ( P!*(N-P)! )
Esta observacao deixa claro que P(Z0+Z1) tera o seguinte aspecto :
P(Z0+Z1) = P(Z0) + B0*(Z1^n) + B1*(Z1^n-1) + ... + Bn*Z1
onde cada Bi e uma constante ou um polinomio em Z0.
Claramente que dependendo dos Ai originais, de n e do valor de Z0,
alguns destes
Bi poderao ser nulos. Se, alem de eliminar os Bi nulos, ordenarmos o
polinomio em Z1
resultante segundo as
=?iso-8859-1?q?Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_[obm-l]_Re:_ [obm-l]_Prova_por_i=
ndu=E7=E3o_finita?=
MIME-Version: 1.0
X-Mailer: CentroIn Internet Provider WebMail v. 1.4C1
(http://www.centroin.com.br/)
Content-Type: text/plain; charset=iso-8859-1
Content-Transfer-Encoding: quoted-printable
Ha uma passagem injustificada (e injustificavel) na sua solu=E7ao. Assina=
lei-a.
Em Tue, 22 Jul 2003 02:40:52 -0300, Henrique_Patr=EDcio_Sant'Anna_Branco =
[EMAIL PROTECTED] disse:
Desta vez fui eu que n=E3o entendi sua d=FAvida. De qq forma pela exp=
eri=EAncia
que tenho em sala de aula imaginoque o seguinte te ajude:
supomos que k! 2^k . Portanto, desde que k+1 =E9 positivo, podem=
os
multiplicar essa desigualdade dos dois lados por (k+1) =3D (k+=
1). k!
(k+1). 2^k =3D (k+1)! (k+1) . 2^k 2 . 2^k , pois k+1 =
2 .
Segue
que (k+1)! 2^{k+1} .
Ajudou? Se n=E3o, pode escrever novamente, mas explique-me melhor sua=
d=FAvida.
=20
Ah, certo, voc=EA multiplicou os dois lados por (k+1).
O que eu tinha pensado =E9 o seguinte:
Sabemos que k! 2^k nas condi=E7=F5es do enunciado. Ent=E3o, temos que=
(k+1)! 2^(k+1) (POR QU=CA?)
, (k+1)! =3D k!*(k+1) e 2^(k+1) =3D 2*2^k (de acordo?).
Portanto, a igualdade fica k!(k+1) 2(2^k). Como temos que k! 2^k e =
(k+1)
2 (pelo enunciado), ent=E3o, est=E1 demonstrado.
Isso estaria certo? (N=C3O)
=20
Abra=E7os,
Henrique.
=20
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
Instru=E7=F5es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=
=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D=3D
=20
=20
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] A Equacao de Pell e o Gugu
Ola Pessoal, _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Curvas
Caro Fábio, você conhece algum site que demonstre essa relação R/r ? Um abraço. Davidson Estanislau -Mensagem Original- De: Fabio Henrique [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Enviada em: Terça-feira, 22 de Julho de 2003 09:27 Assunto: Re: [obm-l] Curvas O primeiro hipociclóide é formado por uma circunferência que gira internamente a uma outra maior. Se não estou enganado, o raio da interna é a terça parte do raio da maior. O número de vértices é igual a relação R/r, onde R é o raio da maior (externa) e r o da menor (interna). Em 21 Jul 2003, [EMAIL PROTECTED] escreveu: -- Caros amigos, as curvas abaixo possuem algum nome especial? Como elas são feitas? Desde já agradeço! Davidson Estanislau = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] ENIGMA CONTÁBIL
qual seria a resposta do problema, tentei faze-lo quero ver. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 22, 2003 10:19 AM Subject: [obm-l] ENIGMA CONTÁBIL Olá! Campeões, Mais uma vez, nossa lista está de parabéns, pois vale salientar que o probleminha dos elevadores estava em aberto desde sua publicação na RPM-32 em 1996. Só nos resta comemorar esta vitória deliciando-se com o belo enigma contábil, que apesar de pueril, trata-se de um forte candidato ao GUINNESS BOOK! Uma mulher compra um colar de US$ 78 numa joalheria. Ela dá ao joalheiro um cheque de US$ 100. Este, como não dispõe do troco de US$ 22, recorre ao comerciante ao lado. Lá ele troca o cheque da mulher por US$ 100 em dinheiro. Ele volta e dá à mulher o colar e seu troco. Mais tarde, o cheque é devolvido e ele precisa ressarcir o outro comerciante. Ele pagou originalmente, US$ 39 pelo colar. Qual foi o seu prejuízo total? Divirtam-se! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] curvas
Quanto as curvas, vao ao endereço www.mathworld.wolfram.com/topics/Roullettes.html Divirtam-se. Eh muito bom. Morgado = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] ITA
Olá amigos, Creio que dentre os muitos ilustres integrantes desta lista, alguns trabalham com a preparação de alunos para a prova do ITA. Vou começar a fazer esse trabalho na minha cidade com um grupo bem pequeno de alunos, mas admito que me falta experiência, principalmente sobre quais conteúdos devem ter mas enfoque, o que mais têm caído, etc. Quem estiver disposto a fazer a imensa gentileza de me ajudar, favor entrar em contato comigo no meu próprio e-mail. Um abraço, Jorge ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questoes envolvendo idades
Por favor, faca uma tabela como a minha na primeira questao para ser mais claro. Qto ao segundo problema espero que alguem na lista resolva! Em uma mensagem de 21/7/2003 08:19:08 Hora padrão leste da Am. Sul, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Acho que alguém já resolveu a 1º. Caso vc não tenha, diga que eu envio. A segunda não consegui, se vc tiver me envie por favor. A solução da terceira é: Pai = P Wilson = W Irmã = I Vou considerar as idades em meses! P+I+W = 1200 (1) I+P-W = 2 (2) P+P-I = 2(W+P-I) (3) De (2), temos que I = P-W e de (3) temos que I = 2 Dessas duas tira-se que que P = 3 Substituindo essas em (1), teremos: 3+2+W = 1200 .: W=200 meses I = 2 .: I = 400 meses P = 3 .: P = 600 meses Se eu estiver certo, as suas respostas não efetua boas! Espero ter ajudado. Um abraço. - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Monday, July 14, 2003 9:21 PM Subject: [obm-l] questoes envolvendo idades Ola pessoal, Como resolver estes: 1) Julio falou: Se eu tivesse 5/6 da idade que tenho e se Antonio, meu irmao, tivesse 1/4 da que tem, juntos teriamos 3 anos mais do que eu tenho. Mas se eu tivesse 4/9 da idade que tenho e Antonio tivesse 7/12 da idade que tem, juntos teriamos 2 anos menos do que eu tenho. Que idade tem Julio? Qual a idade de Antonio? r: Juliano tem 54 anos, e Antonio, 48 2) A soma das idades de Julio e Roberto eh igual a 64 anos. Julio tem o dobro da idade que Roberto tinha quando Julio tinha a metade da idade que Roberto tera quando seus anos forem o triplo dos de Julio quando este tinha tres vezes a idade de Roberto. Do exposto, pergunta-se: a) Qual a idade de Julio? b) Qual a idade de Roberto? c) Que idade tinha Julio quando Roberto nasceu? d) Que idade terá Roberto quando Julio tiver 50 anos? r: a) 40 anos b) 24 anos c) 16 anos d) 34 anos 3) Quando Wilson tiver a idade que o pai tem hoje, sua irma sera duas vezes mais velha do que eh atualmente e a idade do pai sera o dobro da que tera Wilson quando a irma tiver a idade atual do pai. A soma das idades dos tres da exatamente um seculo. Qual a idade de cada um? r: Wilson tem 20 anos; a irma, 30 e o pai, 50
Re: [obm-l] Problema de matrizes
Oi Alexandre. Vou resolver com a mesma idéia que resolvi o outro. Assuma que A é uma matriz quadrada que satisfaz A^3 = kA onde k 1. Agora suponha, por hipótese de absurdo, que A + I não é uma matriz inversível. Portanto deve existir um vetor não-nulo real v tal que (A + I)v = 0, daí Av = -v. Vamos então calcular A^3v e kAv e compará-los. Temos A^3v = A^2(-v)=Av=-v. E temos kAv = -kv. Sabemos que A^3 = kA, o que implica A^3u = kAu para todo vetor u, em particular para o nosso amigo v. Portanto A^3v = -v = -kv = kAv. Ora se vale v = kv, uma das duas coisas tem de ser verdade: (1) k tem de valer 1, o que contraria a hipótese do enunciado; (2) v tem de ser nulo, o que contraria nossa hipótese de que v é não-nulo. Conclusão: A + I tem de ser inversível. Abraço, Duda. From: Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] Fábio, Olha, eu não sou o Morgado não, mas vou te dar a opinião minha sobre a pergunta 3. Eu estou tentando vestibular para o ITA pela segunda vez e acho q esta resolução tah meio difícil comparando com a imensa maioria das questões do ITA pelo menos (pra falar verdade eu naum entendi direito, hehehe). :) Lembram daquela quetão do IME do ano passado, a número 10? deixa eu soh por o enunciado dela aki: Considere uma matriz A, n x n, de coeficientes reais, e k um número real diferente de 1. Sabendo-se que A^3=kA, prove que a matriz A+I é invertível, onde I é a matriz identidade n x n Eu lembro de ter visto uma solução deste problema por sistemas lineares homogêneos. Alguém tem alguma solução deste problema do IME por este caminho?? talvez ajudasse em algo... Fábio Dias Moreira escreveu: -- Cabeçalho inicial --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [EMAIL PROTECTED] Cópia: Data: Mon, 21 Jul 2003 19:16:47 -0300 (EST) Assunto: Re: [obm-l] Problema de matrizes Nao eh dificil dar uma soluçao usando autovalores. Veja a soluçao enviada pelo Stabel, que eh otima, e que consegue usar autovalores de forma compreensivel a (bons) alunos do ensino medio. Mas, sei la, continuo desconfiado que deve haver uma soluçao que nao va alem de determinantes e sistemas de equaçoes lineares. Algo que provasse diretamente que A anti-simetrica real implicaria det(A+I) diferente de 0. [...] Eu acho que tenho uma solução elementar parcial para o problema: Seja nxn o tamanho da matriz A. Seja P o conjunto das permutações de comprimento n). Seja p uma permutação de P. Se p não for uma involução, tome sua inversa q. Olhe para os termos associados a p e q no determinante da matriz A+I. Como pq = i, onde i é a identidade de P, p e q têm a mesma paridade, logo os termos associados têm, a priori, o mesmo sinal. Mas se x aparece num dos termos, então -x aparece no termo oposto; logo um dos termos é (-1)^k o outro, onde k é o número de pontos não-fixos, i.e. x tais que p(x) != x. Caso pp = i, eu afirmo que o termo associado é certamente não-negativo. Note que então que os ciclos de p têm comprimento no máximo 2. Logo o termo pode ser construído do termo associado à identidade (que vale 1) se fizermos inversões disjuntas. Cada inversão troca um 1*1 por um -x*x = -x^2, mas também multiplica por -1 por causa da inversão da paridade. Logo o termo é multiplicado por x^2, certamente não-negativos. Se uma permutação p não-involutiva tem um número ímpar de pontos não-fixos, então sua inversa q gera um termo que é igual em módulo ao termo gerado por p, mas tem sinal oposto, logo os dois termos se cancelam. Agora considere todas as permutações com k pontos não fixos, k par. Então os termos gerados por essas permutações são da forma 2*(-1)^m*P, onde m é 0 ou 1 e P é um produtório de um núme s associados à permutação que não são 1 e que estão na metade superior da matriz -- escolher os termos daqui é sempre possível se mexermos no m apropriadamente). Eu acho que não sei passsar muito daqui. A minha idéia era agrupar esses últimos termos com os termos quadrados perfeitos de mesmo grau para formar novos quadrados perfeitos maiores, assim retirando os termos que podem ser negativos de circulação. Pergunta 1: É sempre possível agrupar os termos dessa forma? Pergunta 2: m depende só de k (ou melhor ainda, não depende de nada)? Se sim, a resposta à pergunta 1 parece ser bem mais fácil. Pergunta 3 (ao Morgado): Na sua opinião, isso está no nível do ITA? Se eu tiver alguma idéia interessante sobre as perguntas 1 e 2, eu mando para a lista. []s, = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re:_[obm-l]_ENIGMA_CONTÁBIL
Oi pessoal, Bom, creio que a resposta seja 22 + 39 = 61. A mulher levou o colar de 39 mais 22 em dinheiro. Pro outro comerciante nada aconteceu. Por Lavoisier... (claro que nesse cálculo de prejuízo não está a expectativa de lucrode 39 que ojoalheirotinha). O que eu não entendi foi a história do Livro dos Recordes.O que ele tem a ver com esse problema? um abraço, Camilo ROBERTO-GARCIA [EMAIL PROTECTED] wrote: qual seria a resposta do problema, tentei faze-lo quero ver.- Original Message -From: <[EMAIL PROTECTED]>To: <[EMAIL PROTECTED]>Sent: Tuesday, July 22, 2003 10:19 AMSubject: [obm-l] ENIGMA CONTÁBIL Olá! Campeões, Mais uma vez, nossa lista está de parabéns, pois vale salientar que o probleminha dos elevadores estava em aberto desde sua publicação na RPM-32em 1996. Só nos resta comemorar esta vitória deliciando-se com o belo enigma contábil, que apesar de pueril, trata-se de um forte candidato ao GUINNESSBOOK! Uma mulher compra um colar de US$ 78 numa joalheria. Ela dá ao joalheiroum cheque de US$ 100. Este, como não dispõe do troco de US$ 22, recorre ao comerciante ao lado. Lá ele troca o cheque da mulher por US$ 100 emdinheiro. Ele volta e dá à mulher o colar e seu troco. Mais tarde, o cheque édevolvido e ele precisa ressarcir o outro comerciante. Ele pagou originalmente, US$ 39pelo colar. Qual foi o seu prejuízo total? Divirtam-se! WebMail UNIFOR - http://www.unifor.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Prova por indução finita
Henrique, você fez exatamente o que eu temia que houvesse feito. No processo de indução , nós assumimos que o resultado é válido para um vcerto número natural, k, e devemos PROVAR que esse resultado também é válido para o próximo número natural (k+1). Assim, quando assumimos que k! 2^k , estamos supondo que isto ocorra para um valor de k , o famoso fixo porém arbitrário e não podemos trocar k por k+1. Este foi seu 1o erro. O segundo é que não podemos demonstrar uma igualdade ou uma desigualdade , mechendo nos dois membros e chegando ao final numa igualdade obviamente verdadeira, tipo 0=0 ou 1 0, por exemplo. Para se convencer disso, veja este exemplo simplório: Frederico, Obrigado pela atenção, entendi problema. Meu erro estava exatamente no conceito da indução finita: achei que esta funcionasse de modo que, trocando k por k+1, chegamos a algo também verdadeiro, mas acho que agora esse problema foi sanado... É o que eu espero :) Grato, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] questoes envolvendo idades
[EMAIL PROTECTED] wrote: Qto ao segundo problema espero que alguem na lista resolva! 2) A soma das idades de Julio e Roberto eh igual a 64 anos. Julio tem o dobro da idade que Roberto tinha quando Julio tinha a metade da idade que Roberto tera quando seus anos forem o triplo dos de Julio quando este tinha tres vezes a idade de Roberto. Do exposto, pergunta-se: a) Qual a idade de Julio? b) Qual a idade de Roberto? c) Que idade tinha Julio quando Roberto nasceu? d) Que idade terá Roberto quando Julio tiver 50 anos? r: a) 40 anos b) 24 anos c) 16 anos d) 34 anos Vamos chamar de (j,r), (j(1),r(1)),..., (j(3),r(3)) as idades de Júlio e Roberto num determinado momento, ou seja, se j(k) representa a idade de Júlio num dado momento, então, nesse momento, Roberto tem a idade de r(k). A soma das idades de Julio e Roberto eh igual a 64 anos j+r=64 (i) Julio tem o dobro da idade que Roberto tinha quando... j = 2r(1) (ii) quando Julio tinha a metade da idade que Roberto tera... j(1) = r(2)/2 (iii) quando seus anos forem o triplo dos de Julio quando ... r(2) = 3j(3) (iv) quando este tinha tres vezes a idade de Roberto j(3) = 3r(3) (v) Notando que a diferença entre as idades é a mesma em qualquer tempo, ou seja, j - r = j(1) - r(1) = j(2) - r(2) = j(3) - r(3) e fazendo umas contas, dá pra achar que j = 40 e r = 24 . Abraço Eduardo = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l]:Re:[obm-l] questoes envolvendo idades
Ola pessoal da lista, Faelccmm, uma estrategia simples que vc pode usar nessas questoes consiste em 2 procedimentos: 1-)fazer uma analize retograda do enunciado, ou seja, analizar a questao,do final para o inicio. 2-)Dividir a questao em planos temporais, organizando suas conclusoes em uma tabela. Veja como fiz a 2 questao que vc mandou: Podemos dividir o enunciado em4 planos temporais distintos: futuro1,hoje,passado1,passado 2. JulioRoberto hoje5z 3z -5z +3z =64 z=55z=403z=24. Futuro1 11z 9z Passado1 3z z Passado24,5z2,5z Obs : A diferença de idades entre 2 pessoas no decorrer do tempo , permanece constante. Um abraço Felipe Mendonça Vitória-ES MSN Messenger: converse com os seus amigos online. Instale grátis. Clique aqui. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sistema
Se isso eh questao de vestibular paulista, relaxe. Eles sentem um prazer morbido em pegadinhas do tipo: sao dados 4 pontos... e, depois de voce achar que a situaçao descrita eh completamente impossivel , aparece a soluçao: os quatro pontos sao somente 3, porque o enunciado nao dizia que eram quatro pontos distintos. O sistema realmente so possui uma soluçao. Morgado Rafael wrote: Pessoal, já tentei resolver esse exercício de diversas maneiras, mas só encontro uma solução e não duas: Se (x1, y1, z1) e ( x2, y2, z2) são as soluções do sistema: sqrt(x + y) + sqrt(x - y) = 5.sqrt(x^2 - y^2) x + y - 2z = -8 y - z = -7 o valor de x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 é... Resposta: 50. Como x + y = 2z - 8 e x - y = 6 podemos substituir isso na primeira equação e achamos um valor de z, mas não dois! Será que alguém tem uma maneira melhor de fazer isso??? Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] sistema
Pessoal, já tentei resolver esse exercício de diversas maneiras, mas só encontro uma solução e não duas: Se (x1, y1, z1) e ( x2, y2, z2) são as soluções do sistema: sqrt(x + y) + sqrt(x - y) = 5.sqrt(x^2 - y^2) x + y - 2z = -8 y - z = -7 o valor de x1.x2 + y1.y2 + z1.z2 é... Resposta: 50. Como x + y = 2z - 8 e x - y = 6 podemos substituir isso na primeira equação e achamos um valor de z, mas não dois! Será que alguém tem uma maneira melhor de fazer isso??? Abraços, Rafael. ___ Yahoo! Mail Mais espaço, mais segurança e gratuito: caixa postal de 6MB, antivírus, proteção contra spam. http://br.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda - Cálculo
Caros companheiros, não estou conseguindo resolver o sequinte problema: A equação da posição de um móvel num instante t(em s)é dadapor: x(t)= cos^2(e^(t - pi/4)).sent(t) + cot^2(t), com t maior ouigual a zero. O valor da aceleração do móvel no instante t=0s é? As opções apresentam somente raizes de números inteiros. []´s Igor Castro
