Re: [obm-l] Problema de matrizes
Obrigado pelas explicações ao Morgado e ao Paulo. Foram bem esclarecedoras. Espero não cometer novamente um erro destes :-) Paulo Santa Rita escreveu: Ola Prof Morgado, Daibert e demais colegas desta lista ... OBM-L, Vou tentaracrescentar mais detalhes a resposta do Prof Morgado. Conforme o Prof assinalou, o erro na sua demonstracao esta na passagem : fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! Ao acrescentar a nova linha e a nova coluna, PRESSUPONDO QUE O DETERMINANTE DA MATRIZ A+I DE ORDEM N-1 E DIFERENTE DE ZERO, tudo que voce pode concluir e que A CARACTERISTICA DA NOVA MATRIZ A+I e pelo menos N-1, isto e, que se o determinante da nova matriz A+I for igual a zero entao, necessariamente, com base no teorema de Rouche-Capelli, ao atribuir um valor arbitrario ( digamos : ALFA ) a nova varialvel Xn e transformando a coluna N nos termos independentes, teremos um sistema de N-1 incognitas e N equacoes, possivel e determinado. E interessante perceber que se A e anti-simetrica de ordem maior que 2, entao, em A+I, se suprirmos a primeira linha e a primeira coluna, a matriz resultante e ainda da forma A+I, com A anti-simetrica; igualmente, se suprirmos a ultima linha e a ultima coluna, a matriz resultante e da forma A+I, com A anti-simetrica. O que estou tentanto lhe dizer e que o raciocinio do paragrafo anterior podera ser aplicado duas vezes ... Existe um teorema ( de Jacobi ou Cauchy, nao me lembro ao certo ) que os livros de ensino medio abordam, que e o seguinte : TEOREMA : Se acrescentarmos a uma fila de uma matriz quadrada uma combinacao linear das demais filas paralelas, o determinante desta matriz nao se altera COROLARIO : Se uma fila de uma matriz quadrada e uma combinacao linear das demais filas paralelas entao o determinante desta matriz e igual a zero OBS : Estou usando fila como sinonimo de linha ou de coluna. Um Abraco Paulo Santa Rita 2,1110,280703 From: A. C. Morgado [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Problema de matrizes Date: Mon, 28 Jul 2003 08:46:15 -0300 ASSINALEI O ERRO. Veja: o sistema x+y=1, x-y=1 tem soluçao (1,0). O sistema x+y +z =1, x-y+z=1, x+2y +3z=3 tem soluçao (0,0,1). O seu processo levaria a conclusao que este sistema eh impossivel. Alexandre Daibert wrote: Olha, eu fiz uma demonstração mas acho q está errada, gostaria que alguém achasse o erro na minha demonstração para mim. A resolução usa a idéia da resolução da questão do IME q eu tinha enviado aos senhores por meio de sistemas lineares homogêneos. (dúvidas olhe no fim deste e-mail q também está postado) resumindo a idéia principal da questão anterior: no sistema linear homogêneo (onde X eh matriz-coluna das incógnitas) (A + I)X=(0) , X = (0) implica q A é inversível (está provado na questão anterior) provemos por indução finita q X=(0) para todo A anti-simétrico: X=(0) denota a matriz coluna de ordem qualquer com todos os elementos iguais a zero provando para matriz 1x1: A (1x1) = matriz unidade [0] X = matriz unidade [x] AX = -X [0]*[x] = -[x] [0] = -[x] x = 0 implica X = (0), logo a propriedade eh verdadeira para n=1 provamos q se é valida para matriz (n-1)x(n-1) é válida também para matriz nxn o sistema linear homogêneo determinado para ordem (n-1) fica da seguinte forma (valendo-se da igualdade (A + I)X = (0)) : x1 + ax2 + bx3 + ... = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... = 0 .. -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... = 0 por hipótese x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 , pois X=(0) para A nxn temos: x1 + ax2 + bx3 + ... + kx(n) = 0 -ax1 + x2 + dx3 + ... + lx(n) = 0 -bx1 + -dx2 + x3 + ... + mx(n) = 0 ... -gx1 + -hx2 + -ix3 + ... + zx(n) = 0 -kx1 + -lx2 + -mx3 + ... + x(n) = 0 fazendo para este novo sistema x1, x2, x3, ..., x(n - 1) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + kx(n) = 0 0 + 0 + 0 + ... + 0 + lx(n) = 0 . 0 + 0 + 0 + ... + 0 + x(n) = 0 (Eu posso realmente fazer isso?? Se não posso, pq não posso?)NAO PODE! da última equação, constatamos q x(n)=0 x(n)=0 = X=(0) = det (A + I) diferente de zero = (A + I) é inversível para todo n segundo o que acabamos de constatar, a propriedade seria válida não soh para matrizes antisimétricas, mas para toda matriz com a diagonal principal com todos os elementos iguais a zero, o que é estranho, pois não é válida para a seguinte matriz A: || 0 1 || || 1 0 || cujo det (A + I) = 0 Aguardo ansiosamente respostas Alexandre Daibert Alexandre Daibert escreveu: Hehehe, vou ser sincero, naum entendi tudo, mas deu pra entender bastante coisa sim, vou dar mais uma relida pra ver se entendo tudo,
Re: FW: [obm-l] Demonstração da trigonometria
Desculpe pela pressa ao escrever este problema. Na primeira resoluo voc no teria tambm que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos) A segunda resoluo realmente bem mais interessante. :-P Claudio Buffara escreveu: Oi, Alexandre: Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o conjunto dos naturais: A minha ideia eh provar que se n 2, entao existira um valor de x para o qual a identidade falha. Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x. 1) n eh impar: Nesse caso, tome x = 5pi/4 == cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) == cos^n(x) + sen^n(x) 0 1 2) n eh par e 2: Nesse caso, tome x = Pi/4 == cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) == cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) 1/2 == cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) 1/2 + 1/2 = 1 Logo, n soh pode ser igual a 2. * O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais. Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x). Derivando em relacao a n: f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x) 0 sen(x) 1 e 0 cos(x) 1 == ln(sen(x)) 0 e ln(cos(x)) 0 == f'(n) 0 para todo n == f eh monotona decrescente == f eh injetiva == existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2). Um abraco, Claudio. -- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Demonstrao da trigonometria Oi, Morgado: Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que a questao eh demonstrar que: Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2. Um abraco, Claudio. on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: ??? Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] disse: Gostaria de uma demonstrao formal para o seguinte (a nvel de segundo grau por favor), procurei e no achei em nenhum lugar: sen^x + cos^x = 1 provar que n=2 Alexandre Daibert = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Informação sobre listas de discussão
Eu sei que esta lista não é nem um pouco adequada para este tipo de informação, mas como sei q alguns dos senhores podem me ajudar, gostaria de saber aonde encontro listas de discussão como essa nas áreas de física e química. Peço desculpas desde já aos que se sentiram incomodados com meu e-mail, mas é q eu procurei na internet e não achei nenhuma. :-) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: FW: [obm-l] Demonstração da trigonometria
Na primeira resolução você não teria também que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos) Mas para n = 0, temos (cos(x))^0 + (sen(x))^0 = 2 1. Abraços, Henrique. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria
Title: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria on 29.07.03 03:43, Alexandre Daibert at [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe pela pressa ao escrever este problema. Na primeira resolução você não teria também que provar para n=0 ?? (ou, naturalmente restringir para naturais positivos) *** Tudo bem. Como voce nao tinha especificadao um universo para n, eu assumi que era o conjunto dos inteiros positivos. De qualquer jeito, o caso n = 0 eh trivial: basta tomar x tal que cos(x) 0 e sen(x) 0, e teremos cos^0(x) + sen^0(x) = 1 + 1 = 2. A segunda resolução é realmente bem mais interessante. :-P *** Tambem acho, mas talvez nao seja de nivel secundario Um abraco, Claudio. Claudio Buffara escreveu: Oi, Alexandre: Inicialmente, vou resolver este problema supondo que o universo de n eh o conjunto dos naturais: A minha ideia eh provar que se n 2, entao existira um valor de x para o qual a identidade falha. Naturalmente, vale cos^2(x) + sen^2(x) = 1 para todo x. 1) n eh impar: Nesse caso, tome x = 5pi/4 == cos(x) = sen(x) = - 1/raiz(2) == cos^n(x) + sen^n(x) 0 1 2) n eh par e 2: Nesse caso, tome x = Pi/4 == cos(pi/4) = sen(pi/4) = 1/raiz(2) == cos^n(pi/4) = sen^n(Pi/4) = 1/2^(n/2) 1/2 == cos^n(pi/4) + sen^n(pi/4) 1/2 + 1/2 = 1 Logo, n soh pode ser igual a 2. * O problema talvez fique mais interessante se restringirmos x ao intervalo (0,pi/2) e tomarmos o universo de n como sendo o conjunto dos reais. Para um x fixo (em (0,pi/2)) facamos f(n) = cos^n(x) + sen^n(x). Derivando em relacao a n: f'(n) = ln(cos(x))*cos^n(x) + ln(sen(x))*sen^n(x) 0 sen(x) 1 e 0 cos(x) 1 == ln(sen(x)) 0 e ln(cos(x)) 0 == f'(n) 0 para todo n == f eh monotona decrescente == f eh injetiva == existe um unico valor real de n para o qual f(n) = 1 (justamente n = 2). Um abraco, Claudio. -- From: Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Date: Mon, 28 Jul 2003 08:31:46 -0300 To: [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] Demonstração da trigonometria Oi, Morgado: Eu sei que voce desaprova tentativas de interpretar enunciados, mas acho que a questao eh demonstrar que: Se cos^n(x) + sen^n(x) = 1 para todo x entao n = 2. Um abraco, Claudio. on 28.07.03 08:26, Augusto Cesar de Oliveira Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: ??? Em Mon, 28 Jul 2003 05:55:06 -0300, Alexandre Daibert [EMAIL PROTECTED] mailto:[EMAIL PROTECTED] disse: Gostaria de uma demonstração formal para o seguinte (a nível de segundo grau por favor), procurei e não achei em nenhum lugar: sen^x + cos^x = 1 provar que n=2 Alexandre Daibert = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] novamente
Será que alguém poderia me ajudar com esses problemas ou me indicar uma saída. *Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis. #Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema razão quando AB/AC=AC/BC. Prove que a divisão em média e extrema razão é hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em média e extrema razão.
Re: [obm-l] IMC dia 2
como este:sao dados 21 pontos numa circunferencia.Mostre que pelo menos 100 arcos determinados por estes pontos medem menos de 2/3*pi.Quer tentar? --- x --- Não faltaria dizer que a circ. tem raio 1? Se tomarmos uma circunferência de raio arbitrariamente grande e colocarmos um polígono regular de 21 lados todos os lados do polígono podem ser maiores que 2/3 pi, sendo assim os arcos formados seriam necessariamente maiores que 2/3 pi. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Divisibilidade
Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Muito obrigado. Um abraço. Amurpe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
On Tue, Jul 29, 2003 at 03:10:15PM -0300, amurpe wrote: Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Usando congruências é bem fácil. Como 97 = 1 (mod 4) por Fermat x^97 = x (mod 5) para todo inteiro x. Assim o seu número é congruo a 1+2+3+4+5 = 15 = 0 (mod 5). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
para qualquer x inteiro 0 1^x = 1 2^(4x+1) = ???2, 2^(4x+2) = ???4, 2^(4x+3) = ???8, 2^(4x) = ???6 3^(4x+1) = ???3, 3^(4x+2) = ???9, 3^(4x+3) = ???7, 3^(4x) = ???1 4^(2x+1) = ???4, 4^(2x) = ???6 5^x = ???5 1^97 = 1 2^97 = ???2 3^97 = ???3 4^97 = ???4 5^97 = ???5 logo 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 = ???5 e portanto divisivel pro 5 -Auggy - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 29, 2003 2:10 PM Subject: [obm-l] Divisibilidade Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Muito obrigado. Um abraço. Amurpe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Maximos e Minimos / Expansao Racional
Caros colegas: Pra dar uma folga pros neuronios dos problemas da IMC, aqui vao dois problemas bonitinhos (e, espero, mais faceis). O primeiro foi proposto por George Polya em 1950 (American Mathematical Monthly - vol. 57) PROBLEMA 1: Sejam os numeros reais a e b tais que 0 a b. Considere as funcoes f e g: R -- R, dadas por: f(p) = MAX(a = x = b) |p - x| e g(p) = MAX(a = x = b) |p - x|/x Calcule os valores minimos de f e g e os valores correspondentes de p. ** PROBLEMA 2: Seja x um numero real do intervalo (0,1). Seja a(1) o menor inteiro positivo tal que: x(1) = x - 1/a(1) = 0; Para k = 2, seja a(k) o menor inteiro positivo tal que: x(k) = x(k-1) - 1/a(k) = 0; Prove que x(n+1) = 0 para algum n se e somente se x for racional. ( neste caso, teremos x = 1/a(1) + 1/a(2) + ... + 1/a(n) ) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Muito obrigado. Um abraço. Amurpe Oi, Amurpe: Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5): Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5). (para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado na mao, sem usar o PTF) Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5). Obviamente 5^97 == 0 (mod 5). Assim: 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5) * Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar: Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1. Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] IMC dia 2
on 29.07.03 14:46, Domingos Jr. at [EMAIL PROTECTED] wrote: como este:sao dados 21 pontos numa circunferencia.Mostre que pelo menos 100 arcos determinados por estes pontos medem menos de 2/3*pi.Quer tentar? --- x --- Não faltaria dizer que a circ. tem raio 1? Se tomarmos uma circunferência de raio arbitrariamente grande e colocarmos um polígono regular de 21 lados todos os lados do polígono podem ser maiores que 2/3 pi, sendo assim os arcos formados seriam necessariamente maiores que 2/3 pi. [ ]'s = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Acho que ele fala da medida dos arcos em radianos. []'s. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
Caro Amurpe, você consegue sair por congruência. 5 = 0 (mod 5) = 5^97 = 0 (mod 5) l 4 = -1 (mod 5) = 4^97 = -1^97 (mod 5) = 4^97 + 1^97 = 0 ( mod 5) ll 3 = -2 (mod 5) = 3^97 = -2^97 (mod 5) = 3^97 + 2^97 = 0 (mod 5) lll Somando l, ll e lll temos: 1^97+2^97+3^97+4^97+5^97 = 0 (mod 5) ou seja é divisível por 5. Abraços, Ricardo - Original Message - From: amurpe [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Tuesday, July 29, 2003 3:10 PM Subject: [obm-l] Divisibilidade Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Muito obrigado. Um abraço. Amurpe __ Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela. AntiPop-up UOL - É grátis! http://antipopup.uol.com.br/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
Poderia tambem ter sido resolvido usando a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1) - b*a^(m-2) +...-b^(m-2) *a +b^(m-1)) se m eh impar, o que mostra que se a e b sao inteiros e m eh impar, a^m + b^m eh divisivel por a+b. (1^97 + 4^97) + (2^97 + 3^97) + 5^97 eh uma soma de tres multiplos de 5. Claudio Buffara wrote: on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questo. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 divisivel por 5. Muito obrigado. Um abrao. Amurpe Oi, Amurpe: Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5): Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5). (para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado "na mao", sem usar o PTF) Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5). Obviamente 5^97 == 0 (mod 5). Assim: 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5) * Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar: Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1. Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c) Um abraco, Claudio. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] arcos de 2pi/3 delimitados por 21 pontos
Sao dados 21 pontos numa circunferencia. Mostre que pelo menos 100 arcos determinados por estes pontos medem menos de 2/3*pi. Vamos dividir a circunferencia em 6 arcos iguais, adjacentes e disjuntos 2 a 2, cada um medindo pi/3 (de forma que a uniao dos 6 arcos seja a circunferencia toda). Chamemo-los de C1, C2, C3, C4, C5 e C6. Seja Ni (1 = i = 6) o numero de pontos no arco Ci. Naturalmente, cada Ni = 0 e N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21. - Em seguida, vamos contar o numero de arcos de medida inferior a 2pi/3. Inicialmente, para cada i (1=i=6), cada arco determinado por um par de pontos de Ci mede menos de 2pi/3. Este numero eh C(Ni,2). Alem disso, arcos delimitados por um ponto de Ci e um de C(i+1) (ou C1, se i = 6) tambem medem menos de 2pi/3. O numero de tais arcos eh Ni*N(i+1) Assim, o numero total de arcos medindo menos de 2pi/3 eh: N = C(N1,2) + C(N2,2) + ... + C(N6,2) + N1*N2 + N2*N3 + ... + N5*N6 + N6*N1. - Agora, basta provar que N eh sempre = 100, desde que: N1 + N2 + N3 + N4 + N5 + N6 = 21 e que Ni = 0 para 1 = i = 6. Como N eh convexa e simetrica em cada uma das 6 variaveis N1, ..., N6, o valor minimo de N irah ocorrer justamente quando os Ni forem tao proximos uns dos outros quanto possivel. No caso, tres dos Ni devem ser iguais a 3 e os outros tres iguais a 4. Assim, N = 3*C(3,2) + 3*C(4,2) + 2*(3*3) + 2*(3*4) + 2*(4*4) = 101 100. Qualquer outra distribuicao dos Ni que nao seja uma prmutacao de (3,3,3,4,4,4) irah produzir um valor maior para N. Por exemplo: (2,3,3,4,4,5) == N = 102; (3,3,3,3,4,5) == N = 102; (1,2,3,4,5,6) == N = 111; etc... Em suma, havera sempre 101 ou mais arcos de medida inferior a 2pi/3. Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Divisibilidade
Title: Re: [obm-l] Divisibilidade Interessante! Essa demonstracao do Morgado mais os seguintes fatos: 1^(4n) + 2^(4n) + 3^(4n) + 4^(4n) == 1 + 1 + 1 = 1 == 4 (mod 5) e 1^(4n+2) + 2^(4n+2) + 3^(4n+2) + 4^(4n+2) == 1 + 4 + 9 + 16 = 30 == 0 (mod 5) provam a seguinte generalizacao: 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n eh divisivel por 5 se e somente se n NAO for divisivel por 4. Um abraco, Claudio. on 29.07.03 17:23, A. C. Morgado at [EMAIL PROTECTED] wrote: Poderia tambem ter sido resolvido usando a^m + b^m = (a+b) (a^(m-1) - b*a^(m-2) +...-b^(m-2) *a +b^(m-1)) se m eh impar, o que mostra que se a e b sao inteiros e m eh impar, a^m + b^m eh divisivel por a+b. (1^97 + 4^97) + (2^97 + 3^97) + 5^97 eh uma soma de tres multiplos de 5. Claudio Buffara wrote: on 29.07.03 15:10, amurpe at [EMAIL PROTECTED] wrote: Oi Pessoal , me ajudem a resolver a questão. mostre que 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 é divisivel por 5. Muito obrigado. Um abraço. Amurpe Oi, Amurpe: Este eh um caso tipico onde congruencias ajudam (no caso, mod 5): Para n = 1, 2, 3 e 4, o Pequeno Teorema de Fermat diz que n^4 == 1 (mod 5). (para estes valores de n e para mod 5, isso pode ser verificado na mao, sem usar o PTF) Logo: n^97 = n^96*n = (n^4)^24*n == 1^24*n == 1*n == n (mod 5). Obviamente 5^97 == 0 (mod 5). Assim: 1^97 + 2^97 + 3^97 + 4^97+ 5^97 == 1 + 2 + 3 + 4 + 0 = 10 == 0 (mod 5) * Ja que o assunto eh divisibilidade, aqui tem um sobre mdc pra voce tentar: Sejam a, b, c inteiros tais que mdc(b,c) = 1. Prove que: mdc(a,b*c) = mdc(a,b)*mdc(a,c) Um abraco, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] trigonometria e funcoes
Ola pessoal,
Como resolver estes:
1) Os valores de (alpha), 0 = (alpha) 2(pi), queSatisfazem a desigualdade x^2+(1/2) sen(alpha), para todo
x real, pertencem ao intervalo:
a)0 (alpha) (pi)/2
b)0 (alpha) (pi)/6
c)5(pi)/6 (alpha) (pi)
d)(pi)/6 (alpha) 5(pi)/6
gabarito: d
2) Os valores de x que satisfazem a equacao
x(xcotg(alpha) - cos(alpha))=-x+sen(alpha),
0 (alpha) (pi)/2,
sao:
a)sen(alpha)e -tg(alpha)
b)sen(alpha)e cos(alpha)
c)tg(alpha) e -cotg(alpha)
d)sec(alpha) e -cossec(alpha)
gabarito: a
3) Seja f uma funcao real que satisfaz a equacao[f(x)+3/f(x)-3]=2x.
Eh correto afirmar que:
01)Dom f={x E R | x#3}
02)f(2)=10
04)f(0)=-3
08)se f(a)=0, entao a=-1/2
16)(fof)(-1)=1
32)a funo f nao esta definida em x=1/2
64)a funo f eh inversivel e sua inversa f^-1 eh dada
por f^-1(x)=x+3/2x-3
Re: [obm-l] correcao de equacao trigonometrica
-BEGIN PGP SIGNED MESSAGE- Hash: SHA1 Em Tuesday 29 July 2003 20:07, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ola pessoal, Tentei resolver a equacao abaixo, mas acho que errei em alguma coisa no final, poderiam me corrigir ? [...] (1 + cos^2(x)) = 0 cos^2(x) = -1 cos(x) = +/- sqrt(-1) x= i (unidade imaginaria) ou x= -i (unidade imaginara) [...] verdade que faz sentido estender sen(x) e cos(x) para x complexo, mas cos(i) certamente no vale +/- i (acho que cos(i) = [e + e^(-1)]/2). Alm disso, i certamente no est no intervalo [0;2pi) =). [...] Nao sei qual a resposta, mas acho que errei em alguma coisa no final, pois de acordo com o teorema fundamental da algebra, se a equacao algebrica possui 7 raizes, logo um dos membros da equacao pode ser descrito como um polinomio de grau 7. Nao consigo imaginar este polinomio na equacao acima. [...] O TFA vale somente para polinmios em uma varivel. Outras funes no tem restries no nmero de zeros por causa do TFA. Em particular, expresses trigonomtricas no so to bem comportadas como polinmios. []s, - -- Fbio ctg \pi Dias Moreira -BEGIN PGP SIGNATURE- Version: GnuPG v1.2.2 (GNU/Linux) iD8DBQE/JxfAalOQFrvzGQoRAlTqAJ0bKfwkmTY3ZhAKog+pXbo+4V+KbQCeIZ28 1PxurYVKh3Xh7XK9Koz+g0k= =c4Mf -END PGP SIGNATURE- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] de novo
Será que alguém da lista pode me ajudar? Por que ignoram meus problemas será que são muito fáceis para vcs se preocuparem com eles? aí vão eles novamente. *Sejam dados dois segmentos de reta desiguais. Se, subtraindo sucessivamente o menor do maior; o resto de cada subtração nunca é um submúltiplo do resto anterior (isto é, o processo nunca termina), então os segmentos são incomensuráveis.Prove essa afirmação acima. #Diz-se que o ponto C, sobre o segmento AB, divide AB em média e extrema razão quando AB/AC=AC/BC. Prove que a divisão em média e extrema razão é hereditária, no seguinte sentido: se o ponto C divide o segmento AB em média e extrema razão então, tomando D tal que AD=CB, o ponto D divide o segmento AC em média e extrema razão.
