[obm-l] uma ótima questão_EsSA_2003
José se deslocou entre as cidades A e B três vezes pelo mesmo caminho, utilizando, em cada uma das vezes, um meio de transporte diferente. Na primeira vez foi de carro, com uma velocidade média de 60 km/h. na segunda vez dói de bicicleta, com velocidade de 30km/h, e na terceira vez foi de moto, com velocidade média de 40 km/h, sabendo que a soma dos tempos gastos nos três deslocamentos foi igual a 45 h, o tempo gasto em cada um dos deslocamentos foi, respectivamente: a) 11h; 22h e 12h b) 12,5h; 25h e 7,5h c) 10h; 20h e 15h d) 12h; 24h e 9h e) 10,5h; 21h e 13,5 h __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Diga-me se isso é correto.
Diante desse exercicio, ao qual mencionarei abaixo, queria saber se a maneira a qual eu resolvi é correta? Resolva o seguinte sistema: 2^x - 2^y = 24 ( I ) x + y = 8 ( II ) - Resolvi dessa maneira: Peguei a primeira equação... 2^x - 2^y = 2^3.3 2^(x-3)- 2^(y-3) = 3 Eu analisando essa equação deduzi, que a subtração de nºs par com nºs par sempre sera par. Logo tenho uma subtração na qual o resultado é 3 entao eu teria que ter um nº par menos um nº ímpar: Como 2^x tal que x0 sempre sera par. Logo a unica maneira de eu obter um numero impar é fazendo 2^0 = 1 logo... deduzir que 4 - 1 = 3 entao: 2^(x-3) = 4 e 2^(y-3) = 1 logo x = 5, e y = 3 Essa maneira é correta de se resolver?? -- Qual outra maneira na qual eu possa estar resolvendo? Desde já agradeço a todos. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
Re: [obm-l] uma ótima questão_EsSA_2003
Considerar x como a trajeto percorrido em KM. Carro: x/60 = y1 Bicicleta: x/30 = y2 Moto: x/40 = y3 temos que. y1 + y2 + y3 = 45, logo x/60 + x/30 + x/40 = 45 entao... x = 600 km Carro: 600/60 = 10 Bicicleta: 600/30 = 20 Moto: 600/40 = 15 Alternativa, c) 10h; 20h e 15helton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: José se deslocou entre as cidades A e B três vezespelo mesmo caminho, utilizando, em cada uma das vezes,um meio de transporte diferente. Na primeira vez foide carro, com uma velocidade média de 60 km/h. nasegunda vez dói de bicicleta, com velocidade de30km/h, e na terceira vez foi de moto, com velocidademédia de 40 km/h, sabendo que a soma dos tempos gastosnos três deslocamentos foi igual a 45 h, o tempo gastoem cada um dos deslocamentos foi, respectivamente:a) 11h; 22h e 12hb) 12,5h; 25h e 7,5hc) 10h; 20h e 15hd) 12h; 24h e 9he) 10,5h; 21h e 13,5 h__Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!http://br.geocities.yahoo.com/=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora!
RE: [obm-l] Metrica
Isto pode acontecer em espacos metricos discretos. Por exemplo, considere o
conjunto {0, 1/2, 3,4,5} com a metrica Euclidiana. As bolas abertas
B(0,1) e B(1/2,2) sao ambas o conjunto {0, 1/2}. Pode tambem acontecer em
espacos metricos limitados. Se E e um espaco metrico de diametro 1, entao
toda bola aberta de E de raio =1 eh o proprio E.
Mas nao pode acontecer que B(y,2) seja um subconjunto proprio de B(x,1). Se
w pertence a B(x,1) e nao pertence a B(y,2) entao d(w,x) 1 e d(w,y)=2. A
desigualdade triangular implica entao que d(x,y) = |d(w,y) - d(w,x)| 2-1
= 1, o que mostra que y nao esta em B0(x,1) e que B(y,2) nao pode portanto
ser um subconjunto de B(x,1). A xistencia de algum elemento de B(x,1) que
nao pertenca a b(y,2) impede assim que esta ultima seja subconjunto da
primeira.
Estah me parecendo que se r2 r1 entao B(y, r2) nao pode ser subconjunto
proprio de B(x, r1). Se r2 =r1, entao a proposicao eh certamente
verdadeira.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Tertuliano Carneiro
Sent: Wednesday, January 28, 2004 4:22 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Metrica
Olá a todos! Alguém tem idéia?
Dê um exemplo ou mostre q eh impossivel: uma metrica em q dados dois pontos
x e y, tenhamos: B(x,2) contida em B(y,1).
Grato!
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[obm-l] equação do terceiro grau
Seja a equação:
x^3 + ( 3.a - 3.b).x^2 + ( 3.(a^2) - 3.(b^2) ).x + a^3 - b^3 =0, com a e b inteiros positivos. Poderá haver alguma solução em Z-{0}?
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RE: [obm-l] Metrica
Na realidade, podemos ter r2r1 e B(x2,r2)
propriamente contida em B(x1, r1). Com a metrica
Euclidiana consideremos o espaco [0,1] U {2}. Entao,
B(2, 1,2) eh um subconjunto proprio de B(1, 1,1). A
primeira eh o conjunto (0,8 , 1] U {2} e a segunda e
todo o espaco.
--- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] wrote:
Isto pode acontecer em espacos metricos discretos.
Por exemplo, considere o
conjunto {0, 1/2, 3,4,5} com a metrica
Euclidiana. As bolas abertas
B(0,1) e B(1/2,2) sao ambas o conjunto {0, 1/2}.
Pode tambem acontecer em
espacos metricos limitados. Se E e um espaco metrico
de diametro 1, entao
toda bola aberta de E de raio =1 eh o proprio E.
Mas nao pode acontecer que B(y,2) seja um
subconjunto proprio de B(x,1). Se
w pertence a B(x,1) e nao pertence a B(y,2) entao
d(w,x) 1 e d(w,y)=2. A
desigualdade triangular implica entao que d(x,y) =
|d(w,y) - d(w,x)| 2-1
= 1, o que mostra que y nao esta em B0(x,1) e que
B(y,2) nao pode portanto
ser um subconjunto de B(x,1). A xistencia de algum
elemento de B(x,1) que
nao pertenca a b(y,2) impede assim que esta ultima
seja subconjunto da
primeira.
Estah me parecendo que se r2 r1 entao B(y, r2) nao
pode ser subconjunto
proprio de B(x, r1). Se r2 =r1, entao a proposicao
eh certamente
verdadeira.
Artur
-Original Message-
From: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED] On
Behalf Of Tertuliano Carneiro
Sent: Wednesday, January 28, 2004 4:22 PM
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: [obm-l] Metrica
Olá a todos! Alguém tem idéia?
Dê um exemplo ou mostre q eh impossivel: uma metrica
em q dados dois pontos
x e y, tenhamos: B(x,2) contida em B(y,1).
Grato!
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RE: [obm-l] Teorema das raizes racionais.
A reciproca neste caso,nao é verdadeira, mas o que se faz é pegar o p e q devidos e testar se é raiz.Mas vc sabe a probabilidade de ser raiz???Aproveitando, como é que é aquela historia da probabilidade da reciproca do pequeno teorema de Fermat?? Melhor ainda ,alguem tem alguma referencia(de preferencia na internet) sobre probabilidades e Teoria dos Numeros???Ou referencias da probabilidade de caminhadas em grafos??? --- Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED] escreveu: Naum sei se este eh o teorema ao qual vc se refere, mas o que eu conheco por este nome diz o seguinte: Seja P um polinomio de coeficientes inteiros dado por P(x) = a_0 + a_1x.+a_n x^n (a_n0). Se a fracao irredutivel p/q, p e q inteiros, q0, for raiz de P, entao p divide a_0 e q divide a_n. Uma forma de vermos isto comeca observando o fato de que, se r eh raiz de P, entao, para todo real x, P(x) = (x-r)* Q(x), onde Q eh um polinomio de grau n-1. Para facilitar, consideremos inicialmente o caso particular em que q=1 e p, consequentemente, eh raiz de P. Como os coeficientes de P sao inteiros e os do binomio x-p sao 1 e -1, o algoritmo da divisao de polinomios acarreta que os coeficientes de Q sejam inteiros. Temos entao que P(x) = (x-p)* Q(x) e, portanto, P(0) = a_0 = -p * Q(0). Como Q(0), o termo independente de Q, eh inteiro, segue-se que p divide a_0. E como q=1 eh divisor de a_n, concluimos que o teorema vale neste caso particular. No caso geral, observamos que, se p/q eh raiz de P, entao a_0 + a_1 *(p/q)...+ a_n*(p/q)^n = 0. Logo, a_0*q^n + a_1*p*q^(n-1) + a_n*p^n =0. Temos portanto que p eh raiz do polinomio P1 de coeficientes (do termo independente para o do termo de grau n) a_0*q^n, a_1*q^(n-1),...a_n e q eh raiz do polinomio P2 de coeficientes (mesma convencao) a_n*p^n, a_(n-1)*p^(n-1),...a_0. Eh imediato que os coeficientes de P1 e de P2 sao inteiros. Aplicando-se o caso particular do teorema, jah demonstrado, a P1, concluimos que p divide a_0*q^n. Mas como p/q eh uma fracao irredutivel, segue-se necessariamente que p divide a_0. De modo similar, aplicando-se o caso particular do teorema a P2 concluimos que q divide a_n*p^n e que, portanto, q divide a_n. Isto completa a demonstracao do teorema. Exemplo simples: os racionais 3/2 e 1/2 sao raizes do polinomio do 2o grau, de coeficientes inteiros, P(x) = 4x^2 - 8x + 3. Verificamos facilmente que as condicoes especificadas no teorema sao validas. Outra aplicacao: podemos afirmar que P(x) = x^579 - 785*x^273 + 4297*x^198 + 1 nao admite raizes racionais. Segundo o teorema, se a fracao irredutivel p/q for raiz de P, entao p divide 1 e q divide 1. Para que isto seja possivel, temos que p=q =1 e p/q =1, o que faz de 1 o unico racional candidato a raiz de P. Mas 1, decididamente, naum eh raiz de P. Finalmente, eh interessante observar que a reciproca do teorema nao eh verdadeira. Abracos Artur -Original Message- From: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] On Behalf Of Victor Machado Sent: Tuesday, January 27, 2004 7:15 PM To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Teorema das raizes racionais. Olá pessoal. Gostaria de saber como é o Teorema das Raízes Racionais, como prová-la e um exemplo de aplicação. Muita coisa ? :) Obrigado. Víctor. _ ---Get your free email @godisdead.com Made possible by Fade to Black Comedy Magazine = Instru es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Metrica
Nesta linha de espacos metricos que o colega abordou, hah dois pontos interessantesa demosntrar: 1) Em todo espaco metrico, o fecho de uma bola aberta estah contido na bola fechada de mesmos centro e raio. Eh, entretanto, possivel que o primeiro seja um subconjunto proprio da segunda. 2) Se p eh um elemento de um espaco metrico E, entao uma condicao necessaria e suficiente para que o fecho de toda bola aberta centrada em p seja a bola fechada de mesmos centro e raio eh que a funcao f:E - R definida por f(x) = d(x,p) tenha em p o seu unico minimo relativo. d eh a funcao distancia definida em E^2 e com valores em [0, inf) Serah que eciste outra condicao necessaria e suficiente? Artur --- Tertuliano Carneiro [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá a todos! Alguém tem idéia? Dê um exemplo ou mostre q eh impossivel: uma metrica em q dados dois pontos x e y, tenhamos: B(x,2) contida em B(y,1). Grato! - Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! __ Do you Yahoo!? Yahoo! SiteBuilder - Free web site building tool. Try it! http://webhosting.yahoo.com/ps/sb/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
RE: [obm-l] Eureka ??
dO QUE vCS eSTÃO fALANDO From: Gustavo [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: Olímpiada [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Eureka ?? Date: Wed, 28 Jan 2004 19:45:42 -0200 A ultima q recebi foi a de número 17( out' 2003).Alguem confirma se esta realmente foi a ultima ou ja foi destribuida a de numero 18 ? quando saira ? e renovação ja foi enviada? Antecipadamente agradeço _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Diga-me se isso é correto.
Logo tenho uma subtração na qual o resultado é 3 entao eu teria que ter um nº par menos um nº ímpar: Voce poderia ter um irracional menos outro irracional... Nao ha motivo para supor que 2^(x-3) seja inteiro. == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331 Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 29 Jan 2004 08:31:07 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Diga-me se isso é correto. Diante desse exercicio, ao qual mencionarei abaixo, queria saber se a maneira a qual eu resolvi é correta? Resolva o seguinte sistema: 2^x - 2^y = 24 ( I ) x + y = 8 ( II ) - Resolvi dessa maneira: Peguei a primeira equação... 2^x - 2^y = 2^3.3 2^(x-3) - 2^(y-3) = 3 Eu analisando essa equação deduzi, que a subtração de nºs par com nºs par sempre sera par. Logo tenho uma subtração na qual o resultado é 3 entao eu teria que ter um nº par menos um nº ímpar: Como 2^x tal que x0 sempre sera par. Logo a unica maneira de eu obter um numero impar é fazendo 2^0 = 1 logo... deduzir que 4 - 1 = 3 entao: 2^(x-3) = 4 e 2^(y-3) = 1 logo x = 5, e y = 3 Essa maneira é correta de se resolver?? -- Qual outra maneira na qual eu possa estar resolvendo? Desde já agradeço a todos. Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! --- End of Original Message ---
[obm-l] Duvida - Matriz
Nicolau, obrigado pela ajuda no problema do homem e do cão. Tenho outra duvida. Alguem sabe como se resolve: - Seja A uma matriz n X n qualquer e X uma matriz com todos os elementos iguais. Mostre que: det (A+ X) . det (A- X)é menor que ou igual a det (A^2) obs: det A é o determinante da matriz A.Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] uma ótima questão_EsSA_2003
Corretissimo, mas em concurso e sempre bom economizar tempo quando possivel. Nao era necessario descobrir x pra responder a questao: a) 11h; 22h e 12h b) 12,5h; 25h e 7,5h c) 10h; 20h e 15h d) 12h; 24h e 9h e) 10,5h; 21h e 13,5 h vc = 60km/h vb = 30km/h vm = 40km/h de cara da pra descartar as opcoes b e d ja que o tempo de moto e obviamente maior do que o de carro. a razao entre o tempo de carro e de bicicleta e 1/2, oke nao ajuda a eliminar nenhuma opcao a razao tc/tm = 2/3 e tb/tm = 4/3, fica facil ver ki a resposta tem ki ser (c) From: Carlos Alberto [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: Re: [obm-l] uma ótima questão_EsSA_2003 Date: Thu, 29 Jan 2004 09:04:28 -0300 (ART) Considerar x como a trajeto percorrido em KM. Carro: x/60 = y1 Bicicleta: x/30 = y2 Moto: x/40 = y3 temos que. y1 + y2 + y3 = 45, logo x/60 + x/30 + x/40 = 45 entao... x = 600 km Carro: 600/60 = 10 Bicicleta: 600/30 = 20 Moto: 600/40 = 15 Alternativa, c) 10h; 20h e 15h elton francisco ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: José se deslocou entre as cidades A e B três vezes pelo mesmo caminho, utilizando, em cada uma das vezes, um meio de transporte diferente. Na primeira vez foi de carro, com uma velocidade média de 60 km/h. na segunda vez dói de bicicleta, com velocidade de 30km/h, e na terceira vez foi de moto, com velocidade média de 40 km/h, sabendo que a soma dos tempos gastos nos três deslocamentos foi igual a 45 h, o tempo gasto em cada um dos deslocamentos foi, respectivamente: a) 11h; 22h e 12h b) 12,5h; 25h e 7,5h c) 10h; 20h e 15h d) 12h; 24h e 9h e) 10,5h; 21h e 13,5 h __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = - Yahoo! Mail - 6MB, anti-spam e antivírus gratuito. Crie sua conta agora! _ Check out the new MSN 9 Dial-up fast reliable Internet access with prime features! http://join.msn.com/?pgmarket=en-uspage=dialup/homeST=1 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Duvida - Matriz
On Thu, Jan 29, 2004 at 12:34:40PM -0300, João Silva wrote: - Seja A uma matriz n X n qualquer e X uma matriz com todos os elementos iguais. Mostre que: det (A + X) . det (A - X) é menor que ou igual a det (A ^2) Isto vale pq det(A + tX) = at + b para todo t, onde a e b são números que só dependem de A e X e não de t. Isto vale não só para a matriz X que você sugeriu mas para qq matriz X de posto 1. Lembro que o posto de uma matriz é a dimensão do espaço gerado pelas linhas ou colunas. Você pode ver isso expandindo det(A + tX) e observando que todos os termos com t^k, k = 2, cancelam-se de forma mais ou menos óbvia. Ou você pode mudar a base do domínio e imagem para que a matriz X passe a ter uma única entrada não nula na posição (1,1). []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Parâmetros curriculares nacionais
Estive olhando, muito rapidamente mesmo, o documento de parâmetros curriculares nacionais do MEC para o ensino de Matemática, especificamente o destinado ao nível fundamental. O documento entra em detalhamentos, apoiado por exemplos, de conteúdos e abordagens e tem como suporte uma extensa bibliografia. Gostaria de saber, principalmente dos professores presentes nesta lista, se há alguma crítica (em seu amplo sentido) a esse documento no que tange à Matemática propriamente e ao seu ensino. Imagino que os documentos tenham resultado de amplo debate; gostaria de saber como foi esse processo e quanto apoio possui. Os documentos encontram-se disponíves na internet: http://www.mec.gov.br/sef/sef/pcn.shtm http://www.mec.gov.br/semtec/ensmed/pcn.shtm Abraços, David __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Parâmetros curriculares nacionais
De minha parte, declaro achar uma bobagem achar frações ordinárias uma bobagem. Morgado == Mensagem enviada pelo CIP WebMAIL - Nova Geração - v. 2.1 CentroIn Internet Provider http://www.centroin.com.br Tel: (21) 2542-4849, (21) 2295-3331Fax: (21) 2295-2978 Empresa 100% Brasileira - Desde 1992 prestando servicos online -- Original Message --- From: David Souza [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thu, 29 Jan 2004 17:25:27 -0300 (ART) Subject: [obm-l] Parâmetros curriculares nacionais Estive olhando, muito rapidamente mesmo, o documento de parâmetros curriculares nacionais do MEC para o ensino de Matemática, especificamente o destinado ao nível fundamental. O documento entra em detalhamentos, apoiado por exemplos, de conteúdos e abordagens e tem como suporte uma extensa bibliografia. Gostaria de saber, principalmente dos professores presentes nesta lista, se há alguma crítica (em seu amplo sentido) a esse documento no que tange à Matemática propriamente e ao seu ensino. Imagino que os documentos tenham resultado de amplo debate; gostaria de saber como foi esse processo e quanto apoio possui. Os documentos encontram-se disponíves na internet: http://www.mec.gov.br/sef/sef/pcn.shtm http://www.mec.gov.br/semtec/ensmed/pcn.shtm Abraços, David __ Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis! http://br.geocities.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = --- End of Original Message --- = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Um problema de probabilidade
Recentemente eu estava
folheando a revista Eureka! nº 14 quando encontrei, na página 58, uma
curiosidade que transcrevo logo abaixo:
"Considere um bilhão de
números distintos escritos cada um em um de um bilhão de papeizinhos (haja
papel!) em um chapéu. Você deve retirar um papel de cada vez. Você deve
dizer que você encontrou o maior de todos os números, logo após retirá-lo.
Não vale dizer que um outro número que você já tinha retirado antes é o
maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número que
for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima de
1/e de acertar!"
Devo confessar que sinto
uma grande dificuldade em resolver problemas de probabilidade mas fiquei tentado
a dar umaresposta para este problema. Peço desculpas se minha solução
estiver incorreta ou se este problema já foi discutido nesta lista. A
solução é para um caso particular.
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro
menor ou igual a n/e, I_{n}= {1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi
corretamente o enunciado, estamos supondo que dentre os s (aproximadamente n/e)
elementos descartados não se encontra o número n pois pelo problema devemos
"escolher o próximo número que for maior que todos os anteriores."
Considere os eventosA:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que
não contêm n;B:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que contêm
n-1.Para que a estratégia acima de um resultado positivo é necessário que
entre os s elementos descartados esteja o elemento n-1.A probabilidade de
obtermos o número n é então dada por P(B/A)= binomial(n- 2, s- 1)/binomial(n- 1,
s)= s/(n- 1).Note que s= 367879441 e assim s/(n- 1) é aproximadamente igual
a 0.367879441 que por sua vez é aproximadamente igual a 1/e.
O que não entendi é o porque da
escolha do número e. Parece que ele foi escolhido arbitrariamente. Podem me
dizer se a solução é correta. Agradeço antecipadamente qualquer
ajuda.
Wellington
Re: [obm-l] Conjectura Borsuk
Alguem ai sabe qual o titulo/autor do paper de 2000 no qual foi provado que é falsa a conjectura de Borsuk para altas dimensoes. a conjectura é tipo o seguinte: no plano (d=2) tome um circulo (tanto faz a figura) de diametro 1, entao é possivel dividi-lo em3 (d+1) figuras com diametro menores que 1. o pior é que parece que o contra exemplo é pra algo do tipo d=9000 valeu, abraço.Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Dúvida
A afirmação abaixo é verdadeira? Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que phi(m)=n. Onde phi(x) é a função phi de Euler. Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par. Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n2 e pi expoentes, então phi(n) é par. Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1. phi(1)=1. Logo, phi(n) é par , para todo n2, donde ,N* não é imagem de phi(n) - Original Message - From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM Subject: [obm-l] Dúvida A afirmação abaixo é verdadeira? Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que phi(m)=n. Onde phi(x) é a função phi de Euler. Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjectura Borsuk
No livro Proofs from The Book aparece a demonstração de que a conjectura de Borsuk é falsa e a dimensãoé 560... (o record colocado no livro é d=298, obtido em 2002) O interessante é que esse problema foi resolvido como um problema de combinatória. Os caras querefutaram a conjectura são Jeff Kahn e Gil Kalai, e isso foi em 1993. Sugiro que vc dê uma olhada no proofs from the book, é um excelente livro! ah, o título do paper é: "A counterexample to Borsuk's conjecture", Bulletin Amer. Math Soc. [ ]'s Alguem ai sabe qual o titulo/autor do paper de 2000 no qual foi provado que é falsa a conjectura de Borsuk para altas dimensoes. a conjectura é tipo o seguinte: no plano (d=2) tome um circulo (tanto faz a figura) de diametro 1, entao é possivel dividi-lo em3 (d+1) figuras com diametro menores que 1. o pior é que parece que o contra exemplo é pra algo do tipo d=9000 valeu, abraço. Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Lógica+Conjuntos
Olá a todos, Gostaria de saber se é correta a igualdade: [A C B e B C C = A C C] = [(A = B ^ B = C) = (A = C)] obs: ^ =e e também: (A = B) = (A = B) Desde já, agradeço. NelsonYahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
Re: [obm-l] Um problema de probabilidade
On Thu, Jan 29, 2004 at 07:11:45PM -0200, Ogama wrote:
Considere um bilhão de números distintos escritos cada um em um de um
bilhão de papeizinhos (haja papel!) em um chapéu. Você deve retirar um
papel de cada vez. Você deve dizer que você encontrou o maior de todos
os números, logo após retirá-lo. Não vale dizer que um outro número que você
já tinha retirado antes é o maior! A probabilidade de você acertar sua
afirmativa parece muito pequena, não? Você sabia que você pode adotar uma
estratégia de modo que a probabilidade de acertar seja maior que 1/3? Você
deve descartar os primeiros s números, onde s é aproximadamente n/e (e=
2,71828... é a constante de Euler), e em seguida, escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores. Você tem probabilidade muito próxima
de 1/e de acertar!
...
SOLUÇÃO: Sejam n= 10, s= maior inteiro menor ou igual a n/e, I_{n}=
{1, 2,..., n}, binomial(p, q)= p!/(q!*(p- q)!).
Em primeiro lugar, se entendi corretamente o enunciado, estamos supondo
que dentre os s (aproximadamente n/e) elementos descartados não se
encontra o número n pois pelo problema devemos escolher o próximo número
que for maior que todos os anteriores.
Isto não é bem assim. Se entre os s primeiros papéis aparecer o número n
então com esta estratégia você perde. Você tem 1/e de probabilidade de
perder por este motivo.
Considere os eventos
A:= subconjuntos de I_{n} com s elementos que não contêm n; B:= subconjuntos
de I_{n} com s elementos que contêm n-1. Para que a estratégia acima de um
resultado positivo é necessário que entre os s elementos descartados esteja
o elemento n-1.
Também não é bem assim. Se você tirar o n-1 entre os s primeiros e não tirar
o n, isto garante que você ganha. Mas mesmo sem tirar o n-1 entre os s
primeiros ainda é possível ganhar. Suponha que o maior número que você
tirou entre os s primeiros foi o n-3: você vai anunciar como o maior
o primeiro que aparecer dentre n-2, n-1 e n, ou seja, você ainda tem 1/3
de probabilidade de ganhar.
[]s, N.
=
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Parâmetros curriculares nacionais
On Thu, Jan 29, 2004 at 07:58:04PM -0200, Augusto Cesar de Oliveira Morgado wrote: De minha parte, declaro achar uma bobagem achar frações ordinárias uma bobagem. Oi Morgado, você pode contar um pouco melhor para a gente que tem preguiça de ler o documento do MEC como é esta coisa das frações ordinárias serem ou não serem bobagem? Desculpe, eu sei que estou sendo bem folgado... []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Conjectura Borsuk
Olá! Se bem lembro, no Colóquio Brasileiro de Matemática de 2001, o Gugu apresentou este resultado num curso de Combinatória Contemporânea, junto com o orientador do Bruno Leite, agora não lembro o nome. Se você não encontrar este livro numa biblioteca, avise-me que eu dou uma olhada. Abração, Duda. - Original Message - From: Domingos Jr. To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 29, 2004 9:37 PM Subject: Re: [obm-l] Conjectura Borsuk No livro Proofs from The Book aparece a demonstração de que a conjectura de Borsuk é falsa e a dimensãoé 560... (o record colocado no livro é d=298, obtido em 2002) O interessante é que esse problema foi resolvido como um problema de combinatória. Os caras querefutaram a conjectura são Jeff Kahn e Gil Kalai, e isso foi em 1993. Sugiro que vc dê uma olhada no proofs from the book, é um excelente livro! ah, o título do paper é: "A counterexample to Borsuk's conjecture", Bulletin Amer. Math Soc. [ ]'s Alguem ai sabe qual o titulo/autor do paper de 2000 no qual foi provado que é falsa a conjectura de Borsuk para altas dimensoes. a conjectura é tipo o seguinte: no plano (d=2) tome um circulo (tanto faz a figura) de diametro 1, entao é possivel dividi-lo em3 (d+1) figuras com diametro menores que 1. o pior é que parece que o contra exemplo é pra algo do tipo d=9000 valeu, abraço. Yahoo! GeoCities: a maneira mais fácil de criar seu web site grátis!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida
Oi Platão e demais. Não querendo corrigir, mas já enriquecendo a mensagem do Platão. Se n é primo (com exceção a n=2) então Phi(n) = n-1 é par. Se n é potência de primo n = p^i (com i=2) então Phi(n) = p^i - p^(i-1) também é par. Já que a função Phi é multiplicatica, isto é, se mdc(m,n)=1 então Phi(mn) = Phi(m) Phi(n), então segue a conclusão de que, a menos para n = 2, Phi(n) é um número par. Para quem não conhece (a maioria), o Platão é amigo meu, de Novo Hamburgo, e portanto também gaúcho. Saudações ao mais novo membro da lista, todos esperamos boas contribuições como essa! Seja bem-vindo! Abração, Duda. From: Platão Gonçalves Terra Neto [EMAIL PROTECTED] Basta ver que se p é primo, ímpar, então phi(p)=p-1, par. Para n=b^c, b primo, phi(b^c)=b^c-b^(c-1), que é par, ou seja, se n=a1^p2*a2^p2*...an^pn, sendo ai, todos primos , distintos , n2 e pi expoentes, então phi(n) é par. Se n=2^k, phi(n)=2^k-2^(k-1), que é par, exceção, para phi(2)=1. phi(1)=1. Logo, phi(n) é par , para todo n2, donde ,N* não é imagem de phi(n) - Original Message - From: André Martin Timpanaro [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Sent: Thursday, January 29, 2004 8:38 PM Subject: [obm-l] Dúvida A afirmação abaixo é verdadeira? Dado um número natural n não nulo existe algum natural m tal que phi(m)=n. Onde phi(x) é a função phi de Euler. Em outras palavras, a imagem de phi(x) é N* ? André T. _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Lógica+Conjuntos
Em 29 Jan 2004, [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá a todos, Gostaria de saber se é correta a igualdade: [A C B e B C C = A C C] = [(A = B ^ B = C) = (A = C)] obs: ^ = e Apesar de saber um pouco das duas coisas e ter estudado eng. de computação, gostaria que humildemente alguém me corrigisse se eu disser alguma besteira. Logo farei aqui uma *tentativa* de demonstração: -- Pelo que entendo, do ponto de vista lógico, as operações com conjuntos e a álgebra booleana são homomorfas: O operador interseção pode ser identificado com o operador e lógico e o operador união pode ser identificado com o operador ou lógico.O valor lógico falso é identificado com o conjunto vazio e o valor true é identificado com o conjunto universo. Assim, dá pra provar que as operações são equivalentes procedendo da seguinte forma: Primeiro provamos que a implicação lógica é equivalente à inclusão de conjuntos: (como sou computeiro, para mim 0==F e 1==T): A tabela verdade de p = q é: p q p=qbooleanamente p q p=q T T T falando 1 1 1 T F F 1 0 0 F T T 0 1 1 F F T 0 0 1 Na álgebra booleana, isto pode ser escrito como: p=q == p.q + p'.q + p'.q' , note que estou trabalhando com mintermos, logo escolhendo os valores em que o resultado dá 1 e montando a expressão com + (ou lógico)). Minimizando a expressão acima (há duas formas, mas escolhi somente uma), temos: p=q == p.q + p'q + p'q' == p.q + p'(q+q') == p.q + p' Sejam agora, P e Q conjuntos. Queremos saber se a operação de conjuntos está contido pode ser identificada com a operação lógica implica. Para isso devemos ter uma tautologia, isto é (P inter Q) uniao P' deve ser o conjunto universo se e somente se P cont Q. (==) Se P está contido em Q então: (P inter Q) uniao compl(P) = P uniao compl (P) = universo. (==) Por outro lado, se (P inter Q) uniao compl(P) = universo então para qualquer x: (i) x está em (P inter Q) ou (ii) x está em compl (P) Se (i) for verdadeiro então x pert P e x pert Q, logo x npert compl(P). Logo não existe nenhum x pert a comp(P) que esteja em P e P está inteiramente em Q. Se, por outro lado, (ii) é verdadeiro então (i) é falso, pois x não pode estar em P. Se x está em Q mas não está em P a única possibilidade é x pert compl(P) inter (Q) ou seja P está inteiramente em Q. Logo a afirmação está contido em conjuntos é equivalente à implicação lógica em álgebra booleana. -- Se a demonstração acima estiver certa, então fica fácil ver que as operações são equivalentes. e também: (A = B) = (A = B) Desde já, agradeço. -- _ Voce quer um iGMail protegido contra vírus e spams? Clique aqui: http://www.igmailseguro.ig.com.br Ofertas imperdíveis! Link: http://www.americanas.com.br/ig/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função? Date: Wed, 28 Jan 2004 12:21:22 -0200 On Wed, Jan 28, 2004 at 08:56:59AM -0200, Artur Costa Steiner wrote: Eh, de fato eu so resolvi a primeira parte do problema. A outra parece ser bem mais dificil. Eu nao conhecia este termo periodo fundamental. Eh o mesmo que periodo minimo? O período fundamental de uma função f é o menor inteiro positivo p tal que para todo x temos f(x+p) = f(x). É o menor inteiro positivo p ou o menor REAL positivo p? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função?
From: Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] Reply-To: [EMAIL PROTECTED] To: [EMAIL PROTECTED] Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Qual O perí odo de uma função? Date: Tue, 27 Jan 2004 21:17:06 -0200 Tudo o que você disse é verdade mas você não resolveu o problema de forma completa. O fato de 6 ser um período só garante que o período fundamental, se existir, é da forma 6/n para algum inteiro positivo n. Você não esclareceu se existem funções nesta classe com períodos fundamentais 3, 2, 3/2, 6/5, 1, 6/7, ... O período fundamental pode não existir se o conjunto dos períodos não tiver mínimo; para funções contínuas isto só ocorre se f for constante mas a função característica de Q, f(x) = 1 se x é racional e f(x) = 0 se x é irracional, tem qualquer número racional como período. É bem óbvio que a função constante igual a 0 está na nossa classe. Não conheço esse teorema, qual seja: Uma função contínua não tem período mínimo somente se for cnostante. Onde posso encontrar alguma explanação dele? Perdão pela insistência, mas como se resolve o problema de forma completa? É possível? _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[no subject]
P.S.: Ao Nicolau, ainda estou providenciando o original da questão da prova da minha última mensagem (UFPA). Em tempo, a notação utilizada nas alternativas da prova não era A(300;3), mas a clássica em que os números estão indexados e separados por vírgula. Huh? Você acha que fazer estes números virarem um subscrito faz isso virar uma notação clássica? Para mim não. Para mim uma é tão pouco clássica quanto a outra e eu mantenho o que eu falei na outra mensagem, estejam o 300 e o 3 acima, abaixo, de um lado ou do outro. []s, N. Concordo com a posição adotada por vestibulares de intituições como o ITA, em que todas as notações e simbologias adotadas são expostas de forma clara no início da prova, de modo que não se tenha de adivinhar o que o elaborador quer dizer com essa ou aquela notação. Daí o fato de eu ter utilizado as aspas sobressaltando o termo clássica, uma vez que é, sem dúvida, a mais utilizada em livros de ensino médio, os quais são a principal (ou única) fonte de estudo da maioria dos alunos de tal nível de ensino. Desculpo-me se não deixei isso claro na mensagem. Obrigado, Márcio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = _ MSN Hotmail, o maior webmail do Brasil. http://www.hotmail.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
