Re: [obm-l] angulos dos triangulos pitagoricos

[Nicolau C. Saldanha]

On Sun, Oct 24, 2004 at 01:00:06PM -0200, Claudio Buffara wrote:
 Uma generalizacao: Prove que os angulos agudos de um triangulo pitagorico
 sao irracionais quando expressos em graus.

Uma prova mais avançada e bem sucinta é a seguinte. 

Seja I o conjunto dos inteiros algébricos e seja Q[i] o conjunto dos números
complexos com parte real e parte imaginária racionais.
Para quem não sabe, um número complexo z é um inteiro algébrico
se e somente se existe um polinômio p, mônico e de coeficientes inteiros,
para o qual p(z) = 0. Assim, por exemplo, w = cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q)
é inteiro algébrico pois w^q - 1 = 0. Sabemos (esta é a parte difícil)
que a interseção entre I e Q[i] é Z[i], o conjunto dos complexos de parte real
e parte imaginária inteiras.

Voltando ao problema, se os catetos do triângulo são a e b e a hipotenusa
é c então tome z = (a/c) + (b/c)i. Claramente z pertence a Q[i]
e não pertence a Z[i], donde não pertence a I. Pelo exemplo acima,
z não pode ser da forma cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q), que é o que queríamos.

[]s, N.
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[obm-l] Sequencia densa em f(I)

[Ana Evans]

Oi pessoal,
Ha algum tempo circulou na lista uma mensagem em que
se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa
em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou
algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que
isto eh um caso particular de um teorema geral que diz
que, se f for continua e periodica em R e seu periodo
fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n)
eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo
que dizer que f eh densa em f(R)).
Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma
ajuda.
Obrigada.
Ana




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Re: [obm-l] Sequencia densa em f(I)

[Artur Costa Steiner]

Eu nao sou o Claudio e muito menos profundo conhecedor de MatMas acho
que eu fiz algum comentario deste tipo em alguma mensagem antiga.

Uma possivel prova eh a seguinte. Para esta prova, precisamos saber que, se
p0 eh irracional, entao o conjunto A = {m*p + n | m eh inteiro, n eh
inteiro positivo}, eh denso em [0, oo). Isto foi discutido aqui na lista hah
pouco mais de de um ano atras, sob o titulo de conjunto denso em R, se nao
me engano. Foram discutidas provas baseadas no principio da casa dos pombos
e em fracoes continuas. 

Para organizar as ideias, vamos antes demonstrar o seguinte lema:

Se p0 for irracional e A tiver a definicao dada anteriormente, entao, para
todo x pertencente a I, existe em A uma sequencia {x_i} = {m_i*p + n_i}, com
m_i e n_i0 inteiros, que converge para x e eh tal que a sequencia {n_i} eh
monotonicamente crescente.

Demonstracao: Todo x de I eh ponto de acumulacao de I. Como A eh denso em R,
temos que todo x de I eh ponto de acumulacao de A. Logo, existe em A uma
sequencia {x_i} que converge para x e tem seus termos distintos dois a dois.
Afirmamos que {n_i} contem uma infinidade de termos distintos. De fato, se
{n_i} contivesse um numero finito de termos distintos, entao para algum
inteiro positivo n a igualdade n_i = n teria  necessariamente que vigorar
para uma infinidade de indices i. Escolhendo convenientemente tais indices,
obteriamos uma subseq. de {x_i} da forma {x_i_j} = {m_i_j*p + n}. Como os
termos desta subseq. sao distintos 2 a 2, temos que os m_i_j tem tambem que
ser  distintos 2 a 2. Para todos indices distintos j e k, teriamos entao que
|x_i_j - x_i_k| = |m_i_j - m_i_k|*p = p0, pois p0 e |m_i_j - m_i_k| =1,
visto que m_i_j e m_i_k sao inteiros positivos distintos. Disto concluimos
que {x_i_j} nao eh uma seq. de Cauchy e que, desta forma, nao eh
convergente. Mas isto contraria o fato de que (x_i_j}, por ser subseq. de
{x_i}, que converge para x, tem tambem que convergir para x. 
Como existem entao uma infinidade de inteiros positivos distintos n_i,
podemos escolher convenientemente os idices i, em ordem crescente, de modo a
obter uma subseq. {x_i_j) de {x_i} tal que {n_i_j} seja monotonicamente
crescente. Como esta subseq eh uma seq. de A que converge para x, o lema
fica demonstrado. 

Se y pertence a f(I), entao y = f(x) para algum x de I. Segundo o lema que
demonstramos, existe em A uma  seq. {x_i} = {m_i*p + n_i} com {n_i}
monotonicamente crescente. A continuidade de f implica que f(x_i) - f(x) =
y. Para cada i, f(x_i) = f(m_i*p + n_i) = f(n_i), em virtude de p ser
periodo de f. Como {n_i} eh uma seq. crescente de inteiros postivos,
segue-se que f(n_i) eh uma subseq. de f(n) que converge para y. E como isto
vale para todo y de f(I), concluimos que f(n) eh densa em f(I). E f(I) =
f(R), conforme vc disse.
Interessante observar que a hipotese de que p seja irracional eh de fato
essencial. Se p for racional, o conjunto A nao tem que ser denso em R e os
argumentos apresentados nao mais valem. A seq. {sen(pi*n), cujo periodo
fundamental eh 2, nao eh densa em [-1, 1]. 

Artur 



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Re: [obm-l] ex-LOGICA (ANDR ÓIDES e HOMENS MECÂNICOS)

[ricardo hodara]

Muito bem, você fez mesmo raciocínio eu faço. Alpha e Epsilon indeterminados, Gama verdadeiro, Beta e Delta falsos. Mas Dr Turing não poder saber quais, exceto um. Portanto só sabe de um, não de dois!Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:
on 24.10.04 11:36, ricardo hodara at [EMAIL PROTECTED] wrote:
Sou professor de russo e fiz essa prova no Brasil.Mas o seu comentário não auxilia à solução, pois repare que o conetivo do antecedente foi maliciosamente trocado de ou para e no item. Prova formulada pela ESAF, MPU.Enviei a (minha...) solução anteriormente. Gostaria que você a revisasse.Não é tão simples como você pensou. Releeia.Mando agora outro da mesma ESAF que penso estar errado o gabarito. Você analisar primeiro antes deu mostrar meus argumento.Aqui vai questão com gabarito:35- Uma empresa produz andróides de dois tipos: os de tipo V, que sempre dizem a verdade, e os de tipo M, que sempre mentem. Dr. Turing, um especialista em Inteligência Artifi-cial, está examinando um grupo de cinco andróides - rotulados de Alfa, Beta, Gama, Delta e Épsilon -, fabrica-dos por essa empresa, para determinar quantos entre os cinco são do tipo V. Ele pergunta a Alfa: "Você é do tipo M?" Alfa
 responde mas Dr. Turing, distraído, não ouve a resposta. Os andróides restantes fazem, então, as seguintes declarações: Beta: "Alfa respondeu que sim". Gama: "Beta está mentindo". Delta: "Gama está mentindo". Épsilon: "Alfa é do tipo M". Mesmo sem ter prestado atenção à resposta de Alfa, Dr. Turing pôde, então, concluir corretamente que o número de andróides do tipo V, naquele grupo, era igual a a) 1. b) 2. (certo) c) 3. d) 4. e) 5.O Dr. Turing deve saber que a resposta a sua pergunta serah sempre NAO, pois se o androide for do tipo V, entao irah responder a verdade: NAO, e se for do tipo M irah mentir, dizendo tambem que NAO. Ou seja, a resposta de Alfa foi NAO.Logo, Beta mentiu, Gama disse a verdade e Delta mentiu ==Beta e Delta sao tipo M e Gama e tipo V.Epsilon nao pode ser determinado pois:Se ele for tipo V, entao Alfa serah tipo M;Se e!
le for
 tipo M, entao Alfa serah tipo V.De qualquer forma, no conjunto {Alfa,Epsilon} existe exatamente um androide tipo V.Assim, existem exatamente 2 androides tipo V: Gama e um dentre Alfa e Epsilon.Resposta: 2 (b)."Jamais te tornes uma pessimista, Ira; um pessimista frequentemente está mais certo que um otimista, mas o otimista tem mais alegrias - e nada pode deter a marcha dos eventos. - Robert A. Heinlein Time Enough For Love";Ricardo Holmer Hodara - http://psicologia.web1000.com
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Re: [obm-l] ex-LOGICA (ANDR ÓIDES e HOMENS MECÂNICOS)

[Qwert Smith]

Dr Turing nao tem ki dizer quem eh quem, so precisa dizer quantos Vs tem no 
grupo.
Releia a resposta do Claudio.  Alpha eh indeterminado, Epsilon eh 
indeterminado mas o conjunto {Alpha,Epsilon} eh determinado e igual a {V,F}.
A resposta de Epsilon exclui as outra possibilidades {V,V} e {F,F}.

From: ricardo hodara [EMAIL PROTECTED]
Reply-To: [EMAIL PROTECTED]
To: [EMAIL PROTECTED]
Subject: Re: [obm-l] ex-LOGICA (ANDR ÓIDES e HOMENS MECÂNICOS)
Date: Mon, 25 Oct 2004 11:52:17 -0300 (ART)
Muito bem, você fez mesmo raciocínio eu faço. Alpha e Epsilon 
indeterminados, Gama verdadeiro, Beta e Delta falsos. Mas Dr Turing não 
poder saber quais, exceto um. Portanto só sabe de um, não de dois!

Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote:on 24.10.04 11:36, 
ricardo hodara at [EMAIL PROTECTED] wrote:

Epsilon nao pode ser determinado pois:
Se ele for tipo V, entao Alfa serah tipo M;
Se ele for tipo M, entao Alfa serah tipo V.
De qualquer forma, no conjunto {Alfa,Epsilon} existe exatamente um androide 
tipo V.

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Re: [obm-l] problemas envolvendo e

[Artur Costa Steiner]

Com relacao ao segundo, eh facil mostrar (inducao finita, Lagrange) que,
para um dado inteiro r=1, o produto eh maximo quando x_1 = ...x_r = A/r.
Neste caso, o produto maximo eh p(r) = A(/r)^r.
Consideremos a funcao p definida em (0, oo) por p(x) = (A/x)^x.
Diferenciando e fazendo algumas simplificacoes chegamos a que p'(x) =
(A/x)*[Ln(A/x) - 1]. Entao, constamos que p eh crescente em (0, A/e) e
decrescente m (A/e, oo),tendo portanto um maximo global em x_m = A/e. Mas
como o r ideal, r_m, procurado tem que ser inteiro, teremos, dependendo de
A, que r_m = piso(A/e) ou piso(A/e)) +1, sendo piso(A/e) o maior inteiro =
A/e. 
Um problema que parece interessante é achar até que valor de A temos r_m =
piso(A/e), passando-se entao a r_m = piso(A/e)+1. Parece que este valor
existe e estah em torno de 10, mas observei isto empiricamente fazendo uns
rapidos calculos
Artur.   


- Mensagem Original 
De: [EMAIL PROTECTED]
Para: [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED]
Assunto: [obm-l] problemas envolvendo e
Data: 22/10/04 19:30

Esse problema de determinar se e^pi eh maior ou menor do que pi^e me fez
lembrar de alguns outros que ateh jah apareceram na lista ha tempos, mas
como recordar eh viver, aqui vao:

1) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y 
y^x.

2) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
x_1 + x_2 + ... + x_r = A
de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
(ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)

3) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
a(1) = x  0
a(n+1) = x^a(n) para n = 1.
Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.

[]s,
Claudio.


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Re: [obm-l] angulos dos triangulos pitagoricos

[claudio.buffara]

Eu tinha pensado numa demonstração mais braçal do seguinte fato:
Se a, b são inteiros não nulos, então (a + bi)^n = (a - bi)^n == n = 0.

Mas vamos lá...
Pra completar a demonstração do Nicolau, precisamos mostrar que:
Z[i] = I inter Q[i].

A inclusão de Z[i] em I inter Q[i] é fácil de provar.

Assim, seja w pertencente a I inter Q[i].

Seja irr(w,Q) o polinômio minimal de w sobre o corpo dos racionais.
w pertence a I == irr(w,Q) tem coeficientes inteiros.
w pertence a Q[i] == irr(w,Q) tem grau = 2.


Podemos escrever w = (a + bi)/c, onde a, b, c são inteiros, c  0 e mdc(a,b,c) = 1.

A idéia é provar que c = 1.

Se grau(irr(w,Q)) = 1, então irr(w,Q) = z - (a + bi)/c ==
b = 0 e c | a ==
mdc(a,b,c) = c = 1

Se grau(irr(w,Q)) = 2, então irr(w,Q) = z^2 - (2a/c)z + (a^2+b^2)/c^2 ==.
c | 2a e c^2 | a^2+b^2.

d = mdc(a,c) ==
d^2 | a^2 e d^2 | c^2 | a^2 + b^2 == 
d^2 | b^2 ==
d | b ==
d | mdc(b,mdc(a,c)) = mdc(a,b,c) = 1 ==
d = 1 ==
c | 2 ==
c = 1 ou c = 2.

c = 2 ==
c^2 = 4 | a^2 + b^2 ==
a e b são ambos pares (pois a soma de dois quadrados ímpares é == 2 (mod 4)) ==
mdc(a,b,c) = 2 ==
contradição ==
só pode ser c = 1

Logo, em qualquer caso c = 1 e, portanto, w = a + bi pertence a Z[i].

[]s,
Claudio.





De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
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Data:
Mon, 25 Oct 2004 09:44:26 -0300




Assunto:
Re: [obm-l] angulos dos triangulos pitagoricos






 On Sun, Oct 24, 2004 at 01:00:06PM -0200, Claudio Buffara wrote:
  Uma generalizacao: Prove que os angulos agudos de um triangulo pitagorico
  sao irracionais quando expressos em graus.
 
 Uma prova mais avançada e bem sucinta é a seguinte. 
 
 Seja I o conjunto dos inteiros algébricos e seja Q[i] o conjunto dos números
 complexos com parte real e parte imaginária racionais.
 Para quem não sabe, um número complexo z é um inteiro algébrico
 se e somente se existe um polinômio p, mônico e de coeficientes inteiros,
 para o qual p(z) = 0. Assim, por exemplo, w = cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q)
 é inteiro algébrico pois w^q - 1 = 0. Sabemos (esta é a parte difícil)
 que a interseção entre I e Q[i] é Z[i], o conjunto dos complexos de parte real
 e parte imaginária inteiras.
 
 Voltando ao problema, se os catetos do triângulo são a e b e a hipotenusa
 é c então tome z = (a/c) + (b/c)i. Claramente z pertence a Q[i]
 e não pertence a Z[i], donde não pertence a I. Pelo exemplo acima,
 z não pode ser da forma cos(2 pi p/q) + i*sen(2 pi p/q), que é o que queríamos.
 
 []s, N.
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[obm-l] RECREAÇÃO!

[jorgeluis]

Ok! Valadares e demais colegas! Perfeito, pois conseguiu matar dois coelhos de
uma só cajadada. Com relação ao jogo de barganha sua resolução coincidiu com a
enviada pela alta cúpula da UFRJ. Aliás, os meninos da COPPEAD são mesmo
terríveis. (CAMPEÕES!).


Para um concurso de uma revista de modas, alguns modelos masculinos diferentes
devem ser acompanhados de modelos femininos correspondentes. Muitas remessas
estavam completamente certas, pois os pares estavam emparelhados sem nenhum
senão. Mais ou menos um quarto das respostas apresentavam somente um par certo.
Pouco menos da metade dos remetentes apresentaram dois pares corretamente e
muitos estavam falsificados. Mas já que ninguém apresentou três pares corretos
por julgar desnecessário, qual o número de modelos corretos?

A propósito, qual o fundamento teórico da transformação de dízimas periódicas em
fração?  Qual o valor numérico de PI, a menos 0,0001, por meio de uma construção
gráfica utilizando apenas régua e compasso?  Divirtam-se!



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Re: [obm-l] problemas envolvendo e

[claudio.buffara]

De:
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Data:
Mon, 25 Oct 2004 16:12:15 -0200




Assunto:
Re: [obm-l] problemas envolvendo e






 Com relacao ao segundo, eh facil mostrar (inducao finita, Lagrange) que,
 para um dado inteiro r=1, o produto eh maximo quando x_1 = ...x_r = A/r.
 Neste caso, o produto maximo eh p(r) = A(/r)^r.
 Consideremos a funcao p definida em (0, oo) por p(x) = (A/x)^x.
 Diferenciando e fazendo algumas simplificacoes chegamos a que p'(x) =
 (A/x)*[Ln(A/x) - 1]. Entao, constamos que p eh crescente em (0, A/e) e
 decrescente m (A/e, oo),tendo portanto um maximo global em x_m = A/e.
Mas como o r ideal, r_m, procurado tem que ser inteiro, teremos, dependendo de
 A, que r_m = piso(A/e) ou piso(A/e)) +1, sendo piso(A/e) o maior inteiro = A/e. 
 Um problema que parece interessante é achar até que valor de A temos r_m =
 piso(A/e), passando-se entao a r_m = piso(A/e)+1. Parece que este valor
 existe e estah em torno de 10, mas observei isto empiricamente fazendo uns
 rapidos calculos
 Artur. 
 
Oi, Artur:

Acho que não é bem isso, pois se A for um múltiplo inteiro de e, a solução acima é exata: A/e parcelas iguais a e.

Se a função f(x) = (A/x)^x fosse simétrica em torno de x = e, seria apenas uma questão de se verificar qual dos números A/piso(A/e) ou A/(1+piso(A/e))está mais próximo de e e escolher o número de parcelas correspondente.

De qualquer forma, esta parece ser uma regra razoável pois o erro que cometemos ao escolher a alternativa errada é pequeno em relação ao valor do produto.

[]s,
Claudio.

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 Data: 22/10/04 19:30
 
 Esse problema de determinar se e^pi eh maior ou menor do que pi^e me fez
 lembrar de alguns outros que ateh jah apareceram na lista ha tempos, mas
 como recordar eh viver, aqui vao:
 
 1) Determine o conjunto dos pares (x,y) de reais positivos tais que x^y 
 y^x.
 
 2) Decomponha o numero real positivo A numa soma de parcelas positivas:
 x_1 + x_2 + ... + x_r = A
 de forma que o produto x_1*x_2*...*x_r seja o maior possivel.
 (ninguem falou que as parcelas precisam ser inteiras)
 
 3) Considere a sequencia (a(n)) definida por:
 a(1) = x  0
 a(n+1) = x^a(n) para n = 1.
 Determine os valores de x para os quais (a(n)) converge.
 
 []s,
 Claudio.
 
 
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[obm-l] UM PARADOXO ECONÔMICO!

[jorgeluis]

Turma! Sòmente complementando o raciocínio do colega eritotutor quanto à
vantagem dos EUA, pois teriam as importações sem precisar pagar por elas.
Aproveitando a carona, vale salientar que a Economia é uma das matérias mais
relevantes e interessantes para quem se interessa em saber como o Mundo
funciona. Segundo Robert Solow, quando Paul Samuelson mudou da área da física
para a economia, seu Q.I subiu consideravelmente. O próprio Albert Einstein
tinha como livro de cabeceira Tratamento Matemático da Economia dos autores
G. C. ARCHIBALD e RICHARD G. LIPSEY (conferir dedicatória na orelha do livro).
John von Neumann, pai da indigesta Teoria dos Jogos foi o maior estrategista
do século XX, considerado o melhor cérebro do mundo, contribuiu com aportes
importantes nas ciencias físicas, cibernética mas, principalmente na teoria
econômica como também o não menos brilhante John F. Nash Jr., matemático
norte-americano que introduziu o conceito de equilibrio na combinação de
estratégias nos jogos econômicos. Michael Porter, engenheiro mecânico e
aeroespacial, ex-professor de George W. Bush em Harvard, sómente fez fama e
fortuna após, coincidentemente doutorar-se em economia na Harvard Business
School e atuar na área de estratégia competitiva. Larry Ellison, dono da
ORACLE, conhecido como profeta do caos e um dos homens mais ricos do planeta
faturou da noite para o dia uma montanha de 50 bilhões de dólares devido à um
minúsculo erro estratégio da Microsoft, que ao quebrar a Netscape mostrando o
poder do seu monopólio, descobriu tarde demais que havia roubado o banco
errado, segundo Bill Lewis, maior autoridade atual em economia mundial. Outro
fato curioso e talvez o melhor exemplo em estratégia virtual, ocorreu na cidade
de Kuala Lumpur, capital da Malásia como a primeira no mundo a inovar através da
Internet um próspero tipo de comércio invisível ao vender crustáceos do Japão
para os EUA sem nunca terem visto a cor do produto, algo antes sòmente visto em
filmes de ficção científica, tornando-se símbolo de prosperidade econômica
mundial num país de terceiro mundo que até bem pouco tempo sobrevivia
exclusivamente da indústria extrativa da borracha, que por sinal, foi levada do
nosso país pelos Britânicos. O paradoxal em tudo isso é que o Brasil voltou a
cultivar a seringueira em pequena escala devido à crise na borracha sintética.
Quem sabe, um dia, iremos ultrapassar os tigres asiáticos.

Afinal! A eficiência tecnológica implica em eficiência econômica ou é a
eficiência econômica que implica em eficiência tecnológica?  Abraços!




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Re:[obm-l] Sequencia densa em f(I)

[claudio.buffara]

Um esclarecimento: apesar de eu ter participado das discussões sobre esse problema e ser, de fato, um participante ativo dessa lista, não sou profundo conhecedor de coisa alguma. De matemática, então, não sou nem um conhecedorraso. Pra você ter uma idéia, não consegui nem ser aceito no mestrado do IME-USP. Mas admito que matemática é um passatempo fascinante (se você achou essa opinião esdrúxula é porque está na lista de discussão errada) e dos mais baratos, diga-se de passagem.

E pra não perder a viagem, aqui vai:
Um dospontos de partida pra se provar que sen(n) édensa em [-1,1] é provar quea sequênciafrac(n*a) = n*a - piso(n*a) coma irracional é densa em [0,1].

Mais ainda: também é verdade que esta sequência é, uniformememnte distribuída em [0,1], ou seja: 
se 0 = r = s  1, N é inteiro positivo e A(N,r,s) = número deíndices n para os quais 1 = n = N e r = frac(n*a)  s, 
então lim(N - infinito) A(N,r,s)/N = s - r.

Pergunta: Existe alguma demonstração elementar disso?

[]s,
Claudio.






De:
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Data:
Mon, 25 Oct 2004 06:13:00 -0700 (PDT)




Assunto:
[obm-l] Sequencia densa em f(I)






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 se pedia para provar que a sequencia sen(n) era densa
 em [-1, 1]. Alguem comentou (acho que foi o Claudio ou
 algum destes outros profundos conhecedores de Mat) que
 isto eh um caso particular de um teorema geral que diz
 que, se f for continua e periodica em R e seu periodo
 fundamental p for irracional, entao a sequencia f(n)
 eh densa em f(I), sendo I = [0,p] (o que eh o mesmo
 que dizer que f eh densa em f(R)).
 Eu ainda nao consegui provar isto, gostaria de alguma
 ajuda.
 Obrigada.
 Ana
 
 
 
 
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[obm-l] Como Resolver?

[ZopTiger]

Por favor, me ajude a resolver a seguinte 
questão:
Como resolver x^x=10 (10 é um exemplo, pode ser 
qualquer inteiro ou racional)
Qual é a função inversa?
Qual é a operação inversa da potenciação para este 
caso?
Agradeço a resposta.
Andrecir.


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Virus Database: 528 - Release Date: 23/10/04

Re: [obm-l] Como Resolver?

[Fabio Dias Moreira]

ZopTiger said:
 Por favor, me ajude a resolver a seguinte questão:
 Como resolver x^x=10 (10 é um exemplo, pode ser qualquer inteiro ou
 racional) Qual é a função inversa?
 Qual é a operação inversa da potenciação para este caso?
 [...]

É a função F(x) = ln x / W(ln x), onde W é a função de Lambert:

http://mathworld.wolfram.com/LambertW-Function.html

(E não, não é possível escrever W com composição de outras operações mais
simples, como log, exponencial, raízes n-ésimas, as operações elementares,
etc.)

[]s,

-- 
Fábio ctg \pi Dias Moreira


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=

Re:[obm-l] Como Resolver?

[claudio.buffara]

No domínio usual - o conjunto dos reais positivos - a função x - x^x não é injetiva. Logo, não tem inversa.

Por outro lado, podemos falar nas bijeções:
f:(0,1/e] -- [(1/e)^(1/e),1)
e
g: [1/e,+inf) -- [(1/e)^(1/e),+inf)
dadas por:
f(x) = x^x e g(x) = x^x.

Infelizmente, tanto quanto eu saiba, as respectivas inversas não podem ser expressas como uma combinação de funções elementares.

De qualquer forma, não deixa de ser interessante tentar resolver a equação:
x^x = 1/raiz(2).

[]s,
Claudio.









De:
[EMAIL PROTECTED]




Para:
[EMAIL PROTECTED]




Cópia:





Data:
Tue, 26 Oct 2004 00:16:10 -0200




Assunto:
[obm-l] Como Resolver?









 Por favor, me ajude a resolver a seguinte questão:
 Como resolver x^x=10 (10 é um exemplo, pode ser qualquer inteiro ou racional)
 Qual é a função inversa?
 Qual é a operação inversa da potenciação para este caso?
 Agradeço a resposta.
 Andrecir.
 
 
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