[obm-l] Curiosidades Matemáticas
Olá Pessoal! Faz algum tempo atrás q eu descobri coisas interessantes e gostaria de repassar para vcs. Lembram-se daqueles assuntos de desenvonvimento binomial e números binomiais? Pois é , quem diria sua relação sutil com 'séries de potências'?... Veja soh: 0² 1² 2² 3² 4² 5² 6² 7² ... 0 1 4 9 16 25 36 49 ... 13 5 7 9 11 13 ... 22 2 2 2 2 ... Observe q a soma dos n primeiros números é uma Progressão Aritmética. O q tem a ver isto com números binomiais? Simples: Observe q após efetuarmos subtrações sucessivas chegamos a uma razão constante, q é, no caso acima igual a 2. Essa constante eh dada por N! , sendo N o expoente da série de potências. Veja uma série com expoente 3: 0³ 1³ 2³ 3³ 4³ 5³ 6³ 7³ ... 0 1 82764125 216 343 ... 1 7 19 34 61 91127 ... 6 12 18 24 30 36 ... 6 6 6 6 6 ... A constante no final de todas as subtrações é 3!= 3* 2 *1 = 6. Testem com outros valores para o expoente! Talvez não tenha , aparentemente, utilidade agora; mas algum dia talvez o tenha... Cordialmente, Valdery Sousa. __Do You Yahoo!?Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com
Re: [obm-l] Medias e Divisores
Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n tenha m divisorese seja P o produto destes divisores. Se m for par, podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) = n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d* = d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso, P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G = P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n. Se d_1, ..d_m sao os divisores de n, entao n eh o mmc destes divisores. Da definicao de media harmonica, temos que que m/H = 1/d_1 +...1/d_m = [n/d_1+n/d_m]/n. No numerador temos a soma dos m divisores de n, de modo quem m/H = (m*A)/n, o que nos leva a que A*H = n = G^2, completando a prova. Artur --- Claudio Buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares da lista: Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores positivos do inteiro positivo n. Prove que A*H = G^2 = n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do you Yahoo!? Yahoo! Mail Address AutoComplete - You start. We finish. http://promotions.yahoo.com/new_mail = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] UM PROBLEMA CLÁSSICO!
Olá Jorge e colegas da lista! Consideremos gotas de água e vinho com o volume V. Portanto, temos 1/V gotas em cada vaso. A cada gota de água que sai e cada gota de vinho que entra, a quantidade de água no vaso inferior é diminuída (multiplicada) pelo fator (1-V). Portanto, ao final do escoamento do vinho, a quantidade de água remanescente será igual a Agua= (1-V) ^ (1/V) , ou seja, Agua= e^[ln(1-V) / V ] E por l´Hopital, quando V- 0 , Agua -1/e . Abraços a todos, Rogério. --- from: jorgeluis - Meus Amigos! Experimentem solucioná-lo sem usar equações diferenciais. Ok! Um vaso contendo 1 litro de vinho está suspenso sobre outro de igual capacidade cheio de água. Por um orifício no fundo de cada, o vinho escorre sobre o vaso de água e a mistura se esvai na mesma velocidade. Quando o vaso de vinho estiver vazio, qual é o volume de água no vaso inferior? _ MSN Messenger: converse com os seus amigos online. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Medias e Divisores
Eu achei esse problema legal porque a chave, na minha opiniao, eh a observacao bastante elementar que se os divisores de n sao d1, d2, ..., dk, entao estes divisores tambem podem ser expressos como n/d1, n/d2, ..., n/dk. Um outro resultado que pode ser provado com base nisso eh o seguinte: Se os divisores positivos de n sao d1, d2, ..., dk, entao: Phi(d1) + Phi(d2) + ... + Phi(dk) = n, onde: Phi(m) = no. de inteiros positivos = m e primos com m. []s, Claudio. on 29.10.04 16:08, Artur Costa Steiner at [EMAIL PROTECTED] wrote: Se d eh divisor de n, entao n/d tambem eh e d * n/d = n. Suponhamos que n tenha m divisorese seja P o produto destes divisores. Se m for par, podemos entao expressar P como um produto de m/2 fatores do tipo d*(n/d) = n. Logo P = n^(m/2). Se m for impar, entao n tem um divisor d* tal que n/d* = d* (ou n teria necessariamente um numero par de divisores). Entao, n eh quadrado perfeito e d* = n^(1/2). Podemos entao expressar P como um produto de (m-1)/2 fatores do tipo d*(n/d) = n e de 1 fator igual a d*. Neste caso, P = n^[(m-1)/2]* n^(1/2) = n^(m/2). Em qualquer gaso,temos entao que G = P^(1/m) = n^(1/2) e que, portanto, G^2 = n. - Mensagem Original De: obm-l@mat.puc-rio.br Para: Lista OBM obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Medias e Divisores Data: 28/10/04 12:24 E aqui vai um nao muito dificil envolvendo dois dos conceitos mais populares da lista: Sejam A, G e H as medias aritmetica, geometrica e harmonica dos divisores positivos do inteiro positivo n. Prove que A*H = G^2 = n. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Soma de números primos
Title: Re: [obm-l] Soma de números primos Um primo maior que 3 eh da forma 6m-1 ou 6m+1. Assim, a soma eh limitada superiormente por: 2 + 3 + (6*1-1) + (6*1+1) + (6*2-1) + (6*2+1) + ... + (6*334 - 1) = 2 + 3 + 12*(1 + 2 + ... + 333) + 6*334 - 1 = 5 + 12*333*334/2 + 6*334 - 1 = 669340. Agora, retiramos os numeros da forma 6m + 1 que sao multiplos de 5: 6m + 1 == 0 (mod 5) == m == 4 (mod 5) Logo, podemos subtrair: (6*4 + 1) + (6*9 + 1) + (6*14 + 1) + ... + (6*329 + 1) = 6*(4 + 9 + 14 + ... + 329) + 66 = 6*(66*(4+329)/2) + 66 = 66000. Ou seja, achamos a cota superior de 669340 - 66000 = 603340. Ainda dah pra melhorar a cota, se retirarmos os multiplos de 5 da forma 6m - 1: 6m - 1 == 0 (mod 5) == m == 1 (mod 5) == podemos subtrair: (6*6 - 1) + (6*11 - 1) + (6*16 - 1) + ... + (6*331 - 1) = 6*(6 + 11 + 16 + ... + 331) - 66 = 6*(66*(6+331)/2) - 66 = 0. Cota superior = 603340 - 0 = 536680. []s, Claudio. on 13.10.04 15:08, Marcio M Rocha at [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde a todos. Gostaria da ajuda de vocês com o seguinte problema: Demonstre que a soma de todos os números primos entre 1 e 2004 é menor que 667222. Tentei um caminho destrutivo, eliminado alguns números que não são primos: a) Da seqüência 1, 2, 3, ..., 2004, retirei o 1 e os números pares maiores que 2. b) Calculei a soma S dos termos da seqüência restante S = 2 + 3 + 5 + 7 + 9 +...+ 2003 obtendo S = 1 004 005. c) Da seqüência anterior, eliminei os múltiplos de 3 maiores que 3. Como a soma desses múltiplos é 334 665, a soma S1 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + ... + 2003 vale S1 = S 334 665 = 669 340. Como a seqüência 2, 3, 5, 7, 11, ..., 2003 é formada ainda por números compostos, basta que eu retire alguns deles, lembrando apenas de não retirar nenhum múltiplo de 3. Retiro, então, 1963 = 13 x 151 e 155 = 5 x 31, e a soma dos números restantes fica igual a 667 222. Como ainda há números compostos, está claro que a soma dos primos entre 1 e 2004 deve ser menor que 667 222. Está tudo OK? Alguém poderia dar um caminho melhor? Abraços, Márcio Rocha. P.S. Embora reconheça que muitos participantes da lista não necessitem, gostaria de pedir em meu nome ( e talvez no de outros), que as soluções, sempre que possível, viessem acompanhadas das motivações, para que aqueles que lêem não fiquem com a sensação de coelho tirado da cartola. Peço isso porque li um artigo de Miguel de Guzmán onde ele diz que Euler, em sua obra, colocava-se inicialmente na ignorância do tema e dos métodos que iria empregar, para começar en condicões de igualdade con aquele a quem trata de conduzir pelo caminho, ajudando-o a ver as dificuldades que ele mesmo encontrou, levando-o, às vezes, por caminhos equivocados que ele mesmo havia percorrido antes, a fim de que aprenda também dos equívocos. (O artigo completo em espanhol está em www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm http://www.campus-oei.org/oim/saladelectura.htm , sob o título O papel do matemático en la educación matemática Se não estiver fora do tema, poder-se-ia discutir também estratégias de solução, como as apresentadas no Problem Solving Strategies. Desculpem se escrevi demais.
Re: [obm-l] Inversa de uma Matriz
On Fri, Oct 08, 2004 at 11:05:22AM -0200, Claudio Buffara wrote: O problema a seguir eh trivial? Sejam A e B matrizes quadradas tais que AB = I. Prove que BA = I. (I = matriz identidade) Problema adicional: Se A for mxn, B nxm com m n e AB = I (identidade mxm), o que poderemos dizer sobre BA? Começando pelo segundo problema, podemos dizer que (BA)^2 = B(AB)A = BA donde BA é uma projeção de posto m, ou seja, uma projeção de R^n sobre um subespaço de dimensão m. Quanto ao primeiro, eu diria que ele *não* é trivial. Encarando A e B como transformações lineares, é bem claro que A é sobre e B é injetora. O que fica faltando é provar o seguinte lema: Seja T uma transformação linear de um espaço vetorial de dimensão finita V nele mesmo. Então as seguintes condições são equivalentes: (a) T é injetora; (b) T é sobrejetora; (c) T é inversível. Este é uma espécie de versão linear do princípio das casas de pombos e requer demonstração. A demonstração pode ser encontrada em qualquer livro de álgebra linear, claro, mas não é de todo trivial. Note que todas as seguintes hipóteses são necessárias: Dimensão finita: o lema é falso em espaços vetoriais de dimensão infinita. Espaço vetorial: o lema é falso para módulos sobre quase qualquer anel. A necessidade destas duas hipóteses torna a meu ver o princípio das casas de pombos lineares algo não trivial. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] produto vetorial
Olá pessoal, Estava estudando alguns conceitos de Álgebra Vetorial e estou com uma dúvida com relação ao produto vetorial de dois vetores em R^3.É com relação a uma interpretação sobre o sentido do vetor produto. Em vários livros de Álgebra Vetorial e Linear afirma-se que "pode-se mostrar que o sentido do vetor produtoédeterminado a partir da regrada mão direita". Eu entendi como é este procedimento. Mas, como se pode justificar isto? Até agora não encontrei justificativa alguma nos livros que pesquisei. Vocês conhecem algum livro que justifique esta afirmação? Atenciosamente, Jesualdo__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] produto vetorial
É questao de definicao...qual a definicao de produto vetorial q vc viu? É uma usando determinante, se for , observe o que acontece quando mudamos o sentido o produto...ocorre mudanca no sinal do determinante.Jesualdo [EMAIL PROTECTED] wrote: Olá pessoal, Estava estudando alguns conceitos de Álgebra Vetorial e estou com uma dúvida com relação ao produto vetorial de dois vetores em R^3.É com relação a uma interpretação sobre o sentido do vetor produto. Em vários livros de Álgebra Vetorial e Linear afirma-se que "pode-se mostrar que o sentido do vetor produtoédeterminado a partir da regrada mão direita". Eu entendi como é este procedimento. Mas, como se pode justificar isto? Até agora não encontrei justificativa alguma nos livros que pesquisei. Vocês conhecem algum livro que justifique esta afirmação? Atenciosamente, Jesualdo __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ __Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
