[obm-l] Geometria
Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam x, y e z as distâncias de P aos lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/x)+(b/y)+(c/z) ocorre quando P é o incentro do triângulo. Desde já agradeço!!!
Re: [obm-l] PROBLEMA DA OBM
Eu acho que voce esta enrolando demais... Bem, a questao nao deixa claro se e para fazer variacoes do enunciado. Se ha uma regra explicita como "nao se pode retirar o mesmo numero de palitos que o adversario ja tirou na jogada imediatamente anterior", ela deve ser seguida; setal regranao aparecer, nao ha o que considerar.Como se diz na advocacia, "o que as leis nao proibem, nada mais proibe". Alias, imagine o tamanho do "enunciado mais claro possivel": EM UM JOGO DE DUAS PESSOAS OS JOGADORES TIRAM, ALTERNADAMENTE, 1, 2, 3, 4 OU 5 PALITOS (em qualquer ordem possivel, ao desejo de qualquer jogador, apenas lembraqndo que nao se pode tirar mais palitosdo que a pilha atualmente contem)DE UMA PILHA QUE INICIALMENTE TEM (exatamente)1000 PALITOS (nbem mais nem menos. A pilha tambem na o recebe mais nenhum palito a partir do inicio do jogo). (O primeiro jogador e escolhido por algum acordo entre os participantes.)GANHA O JOGADOR QUE TIRAR O ÚLTIMO PALITO DA PILHA (ou melhor, os ultimos palitos da pilha, uu quem deixar a pilha vaziaou tambem o que impedir o outro jogador de jogar a partir das regras ja estabelecidas). QUANTOS PALITOS O JOGADOR QUE COMEÇA DEVE TIRAR NA SUA JOGADA INICIAL DE MODO A ASSEGURAR A SUA VITÓRIA(nao importando quao bem ou quao inteligentemente o adversario jogue, supondo que os dois jogadores sao inteligentes e honestos e jogarao ate o fim)? Pergunta: como e possivel tirar 100 palitos de 1?E possivel ficar devendo palitos? Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: EU ACHO QUE ESTÁ FALTANDO DETALHES E INFORMAÇÕES NESTE PROBLEMA, EU NÃO SEI POIS COMO ESTA NUMA LISTA AVULSA PODE TER SIDO MAU DIGITADO.AÍ VAI:(OBM-)EM UM JOGO DE DUAS PESSOAS OS JOGADORES TIRAM, ALTERNADAMENTE, 1, 2, 3, 4 OU 5 PALITOS DE UMA PILHA QUE INICIALMENTE TEM 1000 PALITOS. GANHA O JOGADOR QUE TIRAR O ÚLTIMO PALITO DA PILHA. QUANTOS PALITOS O JOGADOR QUE COMEÇA DEVE TIRAR NA SUA JOGADA INICIAL DE MODO A ASSEGURAR A SUA VITÓRIA?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5EU ACHEI 4, LETRA D.PORÉM EU ACHEI A QUESTÃO PROBLEMÁTICA, POIS ELE NÃO ESPECIFICA SE TEM QUE SER NESTA ORDEM, SE PODE TIRAR NÚMEROS REPETIDOS OU SE NO FINAL SE ALGUM DOS DOIS TIRAR UM NÚMERO DE PALITOS MAIOR DO QUE O NECESSÁRIO ELE VENCE TAMBÉM.VALEU! AGRADEÇO!_Chegou o que faltava: MSN! Acesso Grátis. Instale Já! http://www.msn.com.br/discador=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] soma de termos
Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco
Re: [obm-l] soma de termos
Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais: Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a a! b! (a-b)! Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n. Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1) usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora é só expandir. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
eu sei demonstrar assim: (1+0)^3 = 1 + 3(0) + 3(0)^2 + (0)^3 = 1 (1+1)^3 = 1 + 3(1) + 3(1)^2 + (1)^3 = 2^3 (1+2)^3 = 1 + 3(2) + 3(2)^2 + (2)^3 = 3^3 (1+3)^3 = 1 + 3(3) + 3(3)^2 + (3)^3 = 4^3 ... (1+n-1)^3 = 1+ 3(n-1) + 3(n-1)^2 + (n-1)^3 = n^3 (1+n)^3 = 1+ 3(n) + 3(n)^2 + (n)^3 = (n+1)^3 fazendo a soma e cancelando os termos ao cubo vc chega no somatorio desejado abraços MuriloRFL - Original Message - From: Brunno To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 04, 2005 1:07 PM Subject: [obm-l] soma de termos Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco
Re: [obm-l] soma de termos
Bernardo agora não condigo comprovar o teorema da soma das colunas, poderia comprovar isto? Um abraco - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 04, 2005 1:38 PM Subject: Re: [obm-l] soma de termos Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais: Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a a! b! (a-b)! Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n. Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1) usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora é só expandir. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] soma de termos
Unico engano é nessa passagem Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo C(n, 2) deveria ser C(n+1,2+1) muito obrigado pela forca se puder me ajuda com a demonstracao da soma de colunas Um abraco Do amigo brunno - Original Message - From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, April 04, 2005 1:38 PM Subject: Re: [obm-l] soma de termos Isto tem uma resposta muito legal com números binomiais: Repare que m^2 = m(m-1) +m = 2*C(m, 2) + C(m, 1) (este C(a, b) é o número de combinações de a, escolhendo b, que é equivalente a a! b! (a-b)! Ora, o que você quer é somar tudo, de m=1 até n. Mas então temos SOMA 2*C(m, 2) + C(m,1) = 2*C(n+1, 3) + C(n, 2) (pelo teorema de soma de colunas! - Demonstre que SOMA C(m,k) = C(n+1, k+1) usando a propriedade de que C(a, b) + C(a, b+1) = C(a+1, b+1) ). Agora é só expandir. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On Apr 4, 2005 1:07 PM, Brunno [EMAIL PROTECTED] wrote: Boa tarde pessoal da lista dentro de uma exercício, cheguei a soma de soma de = 1^2 + 2^2 + 3^2 ...n^2 e vi que tinha uma formula especifica n^3/3 + n^2/2 +n/6 mas como se chega a esta formula??? Um abraco = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] PROBLEMA!
Caros Wilner e Rafael, a1=-a,a2=a,a1+a3=2, logo a3=2+a. As proximas menores somas possiveis sao a1+a4 e a2+a3, e ambas devem valer 4, logo -a+a4=4, donde a4=4+a e 2+2a=4, donde a=1. Assim, a1=-1, a2=1, a3=3, a4=5 e, como devemos ter a4+a5=15, a5=10. Os numeros sao, portanto: -1,1,3,5,10. E da' certo! Abracos, Gugu Oi Rafael. O problema, tal como formulado, não tem solução. Senão vejamos: denominando os números, na ordem crescente, a1,a2,a3,a4,a5,temos a1+a2=0 ou a1=-a2 0 ; a4+a5=15(*) ; a2+a4=a1+a5=4 ; Assim, 0a22 = -2a10 ; 2a44 ; 4a56. Mas as ultimas duas são imcompatíveis com(*)! De onde vc. tirou o problema? Deve haver algum engano. Por falar nisso, o qye vc. quer dizer com RESPECTIVAMENTE? Abraços Wilner --- Rafael Alfinito Ferreira [EMAIL PROTECTED] wrote: EU TENTEI, TENTEI E ATÉ AGORA NÃO ENTENDI AÍ VAI: DADOS 5 NÚMEROS, AS SOMA 2 A 2 SÃO: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 E 15 RESPECTIVAMENTE. DETERMINE OS NÚMEROS. DESDE JÁ AGRADEÇO. _ MSN Messenger: converse online com seus amigos . http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjuntos
01.Numa turma de 31 alunos da EPCAR, foi aplicada uma Prova de Matemática valendo 10 pontos no dia em que 2 alunos estavam ausentes. Na prova, constavam questões subjetivas: a primeira, sobre conjuntos; a segunda, sobre funções e a terceira, sobre geometria plana. Sabe-se que dos alunos presentes nenhum tirou zero; 11 acertaram a segunda e a terceira questões; 15 acertaram a questão sobre conjuntos; 1 aluno acertou somente a parte de geometria plana, e 7 alunos acertaram apenas a questão sobre funções. É correto afirmar que o número de alunos com grau máximo igual a 10 foi a) 4 b) 6 c) 5 d) 7 02.Em um grupo de n cadetes da Aeronáutica, 17 nadam, 19 jogam basquetebol, 21 jogam voleibol, 5 nadam e jogam basquetebol, 2 nadam e jogam voleibol, 5 jogam basquetebol e voleibol e 2 fazem os três esportes. Qual o valor de n, sabendo-se que todos os cadetes desse grupo praticam pelo menos um desses esportes? a) 31 b) 37 c) 47 d) 51 Voces poderiam me dar um ajudinha nestas questões. Agradeço desde de já Ary Queiroz
Re:[obm-l] Geometria
É fácil ver que, para qualquer P no interior do triângulo, vale: ax + by + cz = 2A, onde A = área do triangulo. Você quer o valor mínimo de F(x,y,z) = a/x + b/y+ c/z. 2A*F(x,y,z) = (ax + by + cz)*(a/x + b/y + c/z) = a^2 + b^2 + c^2 + ab(x/y + y/x) + ac(x/z + z/x) + bc(y/z + z/y) = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc = (a + b + c)^2. Acima eu usei a desigualdade bem conhecidaz + 1/z = 2 se z 0, com igualdade== z = 1. Logo, o valor mínimo de 2AF(x,y,z) (e, portanto, de F(x,y,z)) ocorre quando x/y = y/z = x/z = 1, ou seja, quando x = y = z == P é o incentro. Ovalor mínimo de F(x,y,z) é igual a (a + b + c)^2/(2A). []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: "Lista OBM" obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 4 Apr 2005 07:34:58 -0300 Assunto: [obm-l] Geometria Seja P um ponto no interior de um triângulo e sejam x, y e z as distâncias de P aos lados de comprimentos a, b e c, respectivamente. Mostre que o valor mínimo de (a/x)+(b/y)+(c/z) ocorre quando P é o incentro do triângulo. Desde já agradeço!!!
