Re: [obm-l] trigonometria
Ao inves de conjecturar voce devia partir pra porrada com a expressao. bc=2,ac=4 e ab=4 e a unica maneira possivel de esta bagaça ter alguma solucao. Se os tres valores acima fossem 3, o produto deles(quadrado perfeito) seria 27(nao quadrado perfeito). Alias, aonde esta a falha? Do que exsatamente tu estas reclamando? --- Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] escreveu: Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte: a + b + c = a.b.c = (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1 e, suponha que bc = 3, ac = 3 e ab = 3, e se tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4? Eu, sinceramente acho que esta questão não tem só uma solução como vc afirma. Valeu e abraço Antonio Eurico Dias [EMAIL PROTECTED] escreveu: E completando o raciocinio do Dirichlet: TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC a + b + c = a.b.c = abc - a = b + c = a (bc - 1) = b + c a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c = bc - 1 = bc - b = c + 1 b.(c - 1) = c + 1 = b = (c+1)/(c-1) = b = 1 + 2/(c-1) Logo, como b também é inteiro c - 1 = 2 ou c -1 = 1, que levam ao unico conjunto de solucoes inteiras positivas (1 , 2 , 3)... Eurico Sistema Elite de Ensino - Unidade Belém - Start your day with Yahoo! - make it your home page __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Voce talvez nao tenha entendido a minha colocacao... A trigonometria acaba ao se descobrir que o produto e igual a soma. Depois disso, e Teoria dos numeros. Pondo de outra forma: quantos pontos, de no maximo 10, voce daria para quem nao resolveu a parte do x+y+z=xyz mas chegou nas tangentes? Eu nao daria mais que 4.5 --- Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] escreveu: Obrigado , mas acho que vc não analisou direito esta questão e perceba que ela é sim de trigonometria!!! Valeu e um abraço Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet [EMAIL PROTECTED] escreveu: Ue, pelo menos um dos caras nao e maior que 2 ( o caso do 1 ai escrito, e do 2, que nao e maior ue 2 pois e igual...). E alias vamos fazer logo isso antes que nao de mais! Temos 1/xy+1/xz+1/yz=1. Se xy=c, xz=b, yz=a, temos 1/a+1/b+1/c=1 Suponha a=b=c. Entao se c=4, temos 1/a+1/b+1/c=3/41, absurdo! Logo c=3 Ai e so testar! *c=3 1/a+1/b=2/3 Se b=4 entao 1/a+1/b = 2/4 = 1/2 2/3, nao da! Entao b=3 Mas 3=c=b=3, o que da b=c=3 E (a,b,c)=(3,3,3) da certo. *c=2 Ai 1/a+1/b=1/2 E entao b=4 Testa de novo! **b=4 1/a=1/4 e ai a=4, (a,b,c)=(4,4,2) **b=3 1/a=1/6 (a,b,c)=(6,3,2) **b=2 1/a=0. Nao da! c=1, nao serve! Ai e so transformar cada a,b,c em x,y,z: (xy,xz,yz)=(3,3,3) (xyz)^2=27 (xy,xz,yz)=(4,4,2) (xyz)^2=32 (xy,xz,yz)=(6,3,2) (xyz)^2=36=6^2 A primeira nao serve (3 nao e quadrado perfeito). A segunda tambem nao... Ja temos entao xyz=6, e agora sem dificuldade comclui-se que a solucao apresentada anteriormente e unica (alias e exatamente a solucao que voce achou e satisfaz uma porrada de requisitos adicionais...) P.S.: Como eu ja desconfiava este problema nao tem nada de trigonometria! --- Jefferson Franca escreveu: E se tivermos, por exemplo, X = 3, Y= 2 e Z = 1 ? Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet escreveu:tg C= tg A + tg B/ 1- tg A. tgB tg C - tg A . tg B .tg C = tg A+tg B tg A . tg B .tg C = tg A+ tg B + tg C Ou seja, se acharmos X,Y,Z tais que XYZ=X+Y+Z, o problema acaba. Isto e algo facil de resolver, e prova que a solucao e mesmo unica. Como o Caio ja disse, e facil ver que pelo menos um dos caras X,Y,Z e no maximo 2. --- Jefferson Franca escreveu: Desculpe, Caio,mas desconfio que não seja. [EMAIL PROTECTED] escreveu: Suponha que 2 dessas tangentes sejam maiores que 2, ou seja, tg A = 2 + x tg B = 2 + y (x,y 0) A + B + C = 180 A + B = 180 -C tg (A + B ) = - tg C tg A + tg B/ 1- tg A. tgB = (4+x+y)/1- (4 + 2(x+y) +xy) = (4 + x + y )/ -(3 + 2(x+y) +xy) tg C = (4+x+y)/(3+ 2x + 2y +xy) Teremos que tg C 2 = 4 + x + y 6 + 4x + 4y + 2xy = 2 + 3x + 3y + 2xy0 Como por hipótese, x e y sao positivos , essa soma nunca é negativa ou seja, nunca vale que tg C 2 ou seja, é impossível ter as 3 tangentes maior que 2 (simultaneamente) Ou seja, a solução dada pelo nosso amigo é unica! ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 10 Aug 2005 12:19:32 -0700 ''From: Marcio ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: Re: [obm-l] trigonometria ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''On Wed, 10 Aug 2005 06:20:13 -0700, Jefferson Franca '' wrote: '' '' Será que alguém já viu esta questão ou tem alguma idéia de como resolver '' '' ? '' Sejam a ,b e c ângulos internos de umtriângulo e, supondo que as '' tangentes dos três ângulos sejam números inteiros e positivos, calcule '' '' essas tangentes. '' Valeu '' '' __ '' Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger '' http://br.download.yahoo.com/messenger/ '' '' '' ''-- ''Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ '' ''Oi, Jefferson. '' ''Se não errei nada, aqui vai. '' ''Ângulos: a, b e c '' ''a + b + c = 180 = tg(a + b + c)= tg 180, ou seja, tg(a + b + c) = 0 '' ''Daí, tg(a + b) + tg(c) = 0. '' ''No final das contas, chega-se a '' ''tg a + tg b + tg c = (tg a)(tg b)(tg c) '' ''Como as tangentes são números inteiros e positivos, uma opção (não sei se '' ''única) é '' ''tg a = 1, tg b = 2 e tg c = 3 '' '' ''[]s, '' ''Márcio. ''= === message truncated === ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Essa questao é identica a 12a. da prova da Unicamp de 2003... Como o objetivo é encontrar valores inteiros e positivos para as tangentes não há motivo para tantos devaneios... É pura teoria dos números... Eurico Dias Start your day with Yahoo! - make it your home page http://www.yahoo.com/r/hs = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] DESAFIO
Arnaldo e Bernardo, os melhores alunos da sua clase, fazem o seguinte jogo: cada um escreve um numero natural diferente de zero em uma folha de papel e dá essa folha ao professor. O professor escreve no quadro-negro os numeros 1994 e 2990, sendo que um deles é a soma do snumeros de Arnaldo e Bernardo. Entao ele pergunta a Arnaldo: "Vc sabe o numero de Bernardo?" Arnaldo diz "nao" e o professor pergunta a Bernardo se ele sabe o numero do outro. Bernardo tambem diz "nao" e o professor questiona novamente Arnaldo, que ainda nao sabe a resposta. Bernardo, perguntado mais uma vez, dá a resposta correta. Qual é o numero de Arnaldo?__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
[obm-l] EQUACAO
Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1__Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/
Re: [obm-l] CURSOS NO IMPA ( OFF - TOPIC)
Informações sobre cursos: [EMAIL PROTECTED] Em 16/08/05, Alan Pellejero[EMAIL PROTECTED] escreveu: Caros amigos, possuo grande interesse em participar de cursos no IMPA. Gostaria de saber como devo proceder, uma vez que ainda sou aluno do terceiro ano do curso de licenciatura. Desculpem-me o off-topic e muito obrigado àqueles que colaborarem comigo. Obs: Ficaria extremamente grato se me mandassem a resposta para o meu e-mail [EMAIL PROTECTED] Muitissimo Obrigado Alan uchoa Pellejero Yahoo! Acesso Grátis: Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! -- Matemáticos são máquinas de transformar café em teoremas. (Paul Erdos) = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Boa tarde a todos. Caro Jefferson, Vamos, em primeiro lugar, lembrar a questão original, que era mais ou menos assim: As tangentes dos três ângulos internos de um triângulo são números inteiros e positivos. Calcule seus valores. Eu propus uma solução chegando ao terno (1, 2, 3), mas havia afirmado que não sabia se a solução era única. Depois, um colega provou que não é possível que duas das tangentes sejam maiores que 2, mostrando, então, que a solução (1, 2, 3) é única. Se o problema que você está resolvendo é esse, as suas duas conjecturas são falsas. Suponhamos que bc = 3, ac = 3 e ab = 3. Das duas primeiras igualdades vem que a/b = 1, ou seja, a = b, que usado na terceira igualdade produz a = b = srqt(3), valores não inteiros. Uma situação análoga acontece na sua segunda suposição. Sendo assim, parece-me que o problema tem apenas uma solução. []s, Márcio. On Tue, 16 Aug 2005 19:13:02 -0700, Jefferson Franca [EMAIL PROTECTED] wrote: Meu caro amigo e ex aluno Eurico, vc não deve ter pensado no seguinte: a + b + c = a.b.c = (1/bc) + (1/ac) + (1/ab) = 1 e, suponha que bc = 3, ac = 3 e ab = 3, e se tivéssemos bc = 2, ac = 4 e ab = 4? Eu, sinceramente acho que esta questão não tem só uma solução como vc afirma. Valeu e abraço Antonio Eurico Dias [EMAIL PROTECTED] escreveu: E completando o raciocinio do Dirichlet: TgA + TgB + TgC = TgA. TgB. TgC a + b + c = a.b.c = abc - a = b + c = a (bc - 1) = b + c a = (b + c) / (bc - 1), como a é inteiro positivo: b + c = bc - 1 = bc - b = c + 1 b.(c - 1) = c + 1 = b = (c+1)/(c-1) = b = 1 + 2/(c-1) Logo, como b também é inteiro c - 1 = 2 ou c -1 = 1, que levam ao unico conjunto de solucoes inteiras positivas (1 , 2 , 3)... Eurico Sistema Elite de Ensino - Unidade Belém - Start your day with Yahoo! - make it your home page __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ -- Using Opera's revolutionary e-mail client: http://www.opera.com/mail/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUACAO
Vou dar uma dica matadora: sen^2(j)+cos^2(j)=1 Acho que mais que isso e praticamente resolver o problema. P.S.: DE onde voce tirou esse? --- Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] escreveu: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ ___ Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] EQUACAO
(1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 1/x^2=y y+y/(16-8raiz3+3)=1 y=(19-8raiz3)/(20-8raiz3) x=2* [(5-2raiz3)/(19-8raiz3)]^1/2 On 8/17/05, Danilo Nascimento [EMAIL PROTECTED] wrote: Resolva a equacao: (1/x^2) + 1/(4-sqrt(3)x)^2 = 1 __ Converse com seus amigos em tempo real com o Yahoo! Messenger http://br.download.yahoo.com/messenger/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RE: [obm-l] Re:[Spam] [obm-l] Rodízio de p neus
Curiosamente.. esse resultado (37500km) eh obtido pela média harmônica entre 3 e 5. Há alguma razão ou pura coincidência? Suponhamos que após o carro percorrer xkm seja feita a troca ea partir daí o carro rode mais ykm. Para que a distância seja máxima o percentual degasto deve ser de 100%. Logo x/30+y/50 = 1 Após a troca x/50+y/30 = 1 Resolvendo o sistema x = 300/16 mil km y = 300/16 mil km Distância máxima = x+y = 600/16 = 37,5mil km Suponha que os pneus novos de um automóvelduram 3km quando usados nas rodas dianteiras e 5km quando usados nas rodas traseiras. Seja N o número máximo de quilômetros que um carro pode rodar começando com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles. Qual o valor de N? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] trigonometria
Jefferson, eu acho que vc nao está aceitando pelo fato de que nao encontramos uma equação que nos dá todas as soluções e portanto prova que a solução é unica. nao seja por isso: Bom, se A, B, C sao os angulos internos de um triangulo entao tgA+tgB+tgC = tgA.tgB.tgC Seja tgB= x, entao tgA=x-1 tgC=x+1 (x inteiro e positivo) (x+1)+x+(x-1)=(x+1).x.(x-1) 3x = x(x²-1) 3x = x³- x x³ = 4x Como x0 pois x-1 deve ser positivo, entao x²=4 como x deve ser positivo, a unica solução aceita pra x = 2 entao as tangentes sao 1, 2, 3 ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 17 Aug 2005 05:47:33 -0700 (PDT) ''From: Antonio Eurico Dias [EMAIL PROTECTED] ''Subject: Re: [obm-l] trigonometria ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Essa questao é identica a 12a. da prova da Unicamp de ''2003... Como o objetivo é encontrar valores inteiros e ''positivos para as tangentes não há motivo para tantos ''devaneios... É pura teoria dos números... '' ''Eurico Dias '' '' '' '' '' '' ''Start your day with Yahoo! - make it your home page ''http://www.yahoo.com/r/hs '' ''= ''Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em ''http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ''= = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] | 11 M - 60 H| / 2
Demonstre que os ângulos formados por um ponteiro que aponta para H horas e M minutos é dado pela fórmula | 11 M - 60 H | /2 Ex 3 horas e Zero minutos | 11 x 0 - 60 x 3 | /2 = 90 graus = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] probleminha
Sejam a,b naturais nao nulos. Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab) Prove: k natural == k quadrado perfeito Abraço Bruno-- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] probleminha
a^2=x^2*(1+ab) b^2=y^2(1+ab) dividindo os dois: a/b=x/y somando os dois: =x^2+y^2 On 8/17/05, Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote: Sejam a,b naturais nao nulos. Seja k = (a^2 + b^2) / (1 + ab) Prove: k natural == k quadrado perfeito Abraço Bruno -- Bruno França dos Reis email: bfreis - gmail.com gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key icq: 12626000 e^(pi*i)+1=0 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas
Quoting claudio\\.buffara [EMAIL PROTECTED]: De:[EMAIL PROTECTED] Para:OBM-l (E-mail) obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data:Tue, 16 Aug 2005 11:36:41 -0300 Assunto:[obm-l] convergencia da sequencia das derivadas Bom dia a todos Seja f_n uma sequencia de funcoes definidas e diferenciaveis em um intervalo I de R. Suponhamos que a sequencia das derivadas f'_n convirja uniformemente em I para uma funcao g. Hah um teorema que diz que, se a sequencia de numero reais f_n(u) convergir para algum u de I, entao f_n converge uniformemente em I para uma funcao f tal que f' = g em I. Esta ultima condicao eh realmente essencial? Sim. Suponha que f_n: I - R é dada por: f_n(x) = n. Cada f_n é diferenciável e (f_n') converge uniformemente para a função constante e igual a 0. No entanto, (f_n) não converge. Repare que, qualquer que seja u em I, f_n(u) não converge. Se soubermos que f'_n converge uniformemente em I, já podemos entao fazer alguma inferencia quanto aa convergencia das primitivas? Não, conforme o exemplo acima. Se adicionarmos a hipotese de as f'_n sao continuas, temos entao alguma conclusao interessante, alem de que g eh continua? Não que eu saiba. É claro que f_n' contínua == f_n' integrável. Mas continuamos a precisar da convergência de (f_n(u)) para algum u. Eu acho que hah um teorema que se refere ao caso em que as f'_n sao Lipschitz, mas nao sei qual eh. Me parece que a condição de (f_n(u)) ser convergente para algum u permanece necessária. []s, Claudio. Angelo Barone Netto [EMAIL PROTECTED] = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
