[obm-l] RES: [obm-l] Representação decimal de um irracional
Eu nao vi o artigo, mas acho que uma possivel prova eh a seguinte: Seja aum irracional positivo. Entao, uma possivel representacao decimal dea eh a = I1(a) + f1(a), onde I1(a) eh a parte inteira de a e f1(a) a parte fracionaria, dada por uma expansao decimal infinita e nao periodica. Suponhamos que I2(a) + f2(a) seja outra representacao decimal de a. Entao, I1(a) + f1(a) =I2(a) + f2(a).Se I1(a) I2(a), entao, supondo-se sem perda de generalidade que I1(a) I2(a), temos, contrariamente aa hipoteseque,I1(a) + f1(a) I2(a) + f2(a), pois as partes fracionarias encontram-se em (0,1).Logo, I1(a) = I2(a), do que concluimos que basta mostrar o desejado para irracionais em (0,1). Se a estah em (0,1), suponhamos que a tenha 2 representacoes decimais 0, x1 x2_x_n.. e 0, y1 y2.y_n. Entao 10a = x1 , x2...x_n = y1, y2y_n Agora, 10a eh um irracional com 2 expansoes decimais cujas partes inteiras sao, respectivamente, x1 e y1. Em virtude da conclusao anterior, temos necessariamente que x1 = y1. Proseguindo de forma indutiva, concluimos que, para todo n, x_n = y_n. Logo, a representacao decimal de a eh unica. Se a0, podemos utilizar argumento similar ou, simplesmente, aplicar a conclusao anterior ao irracional positivo -a,o que implica a mesma conclusao para a. Abracos Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Daniel S. BrazEnviada em: quarta-feira, 11 de janeiro de 2006 18:14Para: OBM-LAssunto: [obm-l] Representação decimal de um irracional Pessoal, Alguémconheçe (e sabe onde eu encontro)uma prova de que a representação decimal de um irracional é única? Li o artigo "Os números irracionais" do Hermano Frid na Eureka, porém não entendi a prova dada por elepara essefato, alguém conhece alguma outra ou consegue me explicar um pouquinho melhor a apresentada no artigo? obrigado. []s daniel
RES: [obm-l] MAIS DOIS EXERCICIOS DA OBM
No caso do exercicio 2, eu jah vi uma outra prova baseada em teoria de medidas, especificamente na medida de Hausdorff. A exemplo da prova que o colega apresentou na Eureka, tambem nao eh muito simples e eh um tanto extensa, embora menos do que a apresentada pelo colega. Na primeira vez que vi, foi grego. Na segunda, jah foi ingles (estava em ingles), mas ainda nao entedi tudo. Aproveitando a sua lembranca, vou olhar pela terceira vez. Nao sei se vou entender tudo.. Os conceitos de rotacao e de espelhamento, ou reflexao, sao simples e correspondem ao que os nomes sugerem. Dar uma rotacao em um ponto eh facil de entender em coordenadas polares. Se dermos uma rotacao do angulobno ponto expresso em coord. polares por ( r, a), obtemos o ponto (r, a+b). Refletir eh obter um ponto simetrico com relacao a um eixo, plano etc. Por exemplo, refletindo-se o ponto (1,0)com relacao ao eixo vertical atraves de uma perpendicular,obtemos (-1,0). Rotacionar ou refletir um conjunto, eh rotacionar ou refletir, segundo o mesmo criterio, cada um de seus pontos. Artur -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Joÿe3o SilvaEnviada em: terça-feira, 10 de janeiro de 2006 21:23Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] MAIS DOIS EXERCICIOS DA OBM 1- (OBM 1996)Seja p(x)o polinomio x^3 + 14x^2 - 2x + 1.Definap^n(x)como p(p^(n -1)(x)). Mostre que existe um inteiro Ntal que p^N(x) - xé divisivel por 101paratodos os inteiros x. 2- (OBM 2001 - Nivel U) Seja D o conjunto de pontos de R^2 com |p| menor que ou igual a 1. Seja f :D = D uma função sobrejetora tal que |f(p) - f(q)| é menor que ou igual a |p -q| para quaisquer p, q de D. Prove que |f(p) - f(q)| = |p - q|. ( |(x,y)| = sqrt(x^2 + y^2) ) - obs: Uma solução para o problema 2 encontra-se na Eureka 13. No entanto, ela envolve "composição de rotação com espelhamento". Qual a definação deste conceito?Existe uma solução alternativa que não utilize tal conceito? Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
RES: [obm-l] PROBABILIDADE
Outra maneira de ver: Temos 6^4 possibilidades para a sequencia obtida (arranjo completo de 6 , 4 a 4) e 6 X 5 X 4 X3 (arranjo simples de 6, 4 a 4) possibilidades para sequencias com numerosdiferentes 2 a 2. Assim, p = (6 X 5 x 4 X3)/(6^4) = 5/1'8 Artur. [Artur Costa Steiner] -Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de Bruno França dos ReisEnviada em: quarta-feira, 11 de janeiro de 2006 18:04Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: Re: [obm-l] PROBABILIDADE Na primeira vez podemos retirar qualquer uma das 6 bolas, Na segunda, podemos retirar apenas 5 das 6, na terceira 4 das 6 e na quarta 3 das 6. Logo, P = 6/6 * 5/6 * 4/6 * 3/6 = 5/6 * 2/3 * 1/2 = 5/18Abraço,Bruno On 1/11/06, Klaus Ferraz [EMAIL PROTECTED] wrote: Uma urna contém seis bolinhas numeradas de 1 a 6. Quatro bolinhas são extraídas ao acaso sucessivamente, com reposicao. Qual a probabilidade de que todas assinalem numeros diferentes ? gab:5/18 Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage. -- Bruno França dos Reisemail: bfreis - gmail.comgpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.keyicq: 12626000e^(pi*i)+1=0
Re: [obm-l] Sistemas Polinomiais não Lineares com 3 variáveis.
Ronaldo, Procure por nonlinear constraint solving no Google. Voce vai achar varias referencias e programas que resolvem esse tipo de sistema. Eu ja usei um programa chamado realpaver (http://www.sciences.univ- nantes.fr/info/perso/permanents/granvil/realpaver/main.html). O link contem o programa e documentacao descrevendo o algoritmo usado. Nesse programa, a solucao do sistema eh formada por um conjunto de caixas. A uniao de todas as caixas contem todas as solucoes do sistema. Por exemplo, para o sistema que voce usou como exemplo, o programa gerou a seguinte solucao: x in [4.405406779702348 , 4.405406779702353] y in [0.2290364042653328 , 0.2290364042653339] z in [1.372260436654686 , 1.372260436654688] x in [0.4927698584518879 , 0.4927698584519146] y in [3.807036747350683 , 3.807036747350732] z in [5.209089779417125 , 5.209089779417138] Leonardo Alguém conhece algum algoritmo para resolver sistemas não lineares de equações polinomiais, cujos polinômios tem 3 variáveis e grau arbitrário ? Exemplo de um tal sistema: 3x^3.y^2.z + 2x^2.z^3 + 6.z = 127 8.x^3*y.z + 4x^2.y^4 + 2.x = 224 8.x.y.z + x^3 + y^2 + z = 98 PS: Sabemos que no problema específico em questão x, y, z são positivos e a solução é única. Requerimento: O algoritmo deve convergir para a solução em tempo finito. Existe um problema em cristalografia chamado problema das fases (ainda está em aberto) cuja solução depende da solução sistemas desse tipo -- Claro que não podemos resolver esse tipo de problema de forma analítica, mas qualquer solução aproximada é bem vinda (e deve ser inclusive publicada em revista internacional). []s Ronaldo L. Alonso = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
