[obm-l] Desafio
Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.
Re: [obm-l] PROBLEMA DE GEOMETRIA PLANA - S61
Mensagem Original: Data: 15:03:54 25/05/2006 De: ricardo.bioni [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] PROBLEMA DE GEOMETRIA PLANA - S61 Os triângulos ABE e BED são congruentes de tal forma que o ângulo AEB é igual ao ângulo BED, pois AB = BD e o ângulo ABE é igual ao ângulo EBD, além de terem o lado BE em comum. Sabendo que os ângulos BAE e ABC tem a mesma medida, e sendo o ângulo ABE alfa, o ângulo BEA é 180° - 3alfa e o ângulo BED é 2alfa, então alfa é igual a 36°, portanto o ângulo AEB é 72°. Obrigado, Estou com uma coleção de exercícios de mat, com aproximadamente 100 exercícios cada livrinho (são dez ou onze) o autor é o prof Chistiano Sena de BHE, estou tentando resolve-los (como exercício mental) e as vezes agarro em alguns estou no, 80 (aproximadamente) do primeiro de GEO PLANO e existe alguns (8 aproximadamente) que agarrei esse erá um. at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio
Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par. Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar) N = NP + 1 sendo que NP é par então MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 par MP + NP + 2 (soma de três números par é par). at Sarmento Aqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis com qualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suporte grátis e muito mais. Baixe grátis o Discador em http://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna, assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique em http://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Desafio
Olá!Complementando a resposta do Sarmento.Pelo algoritmo da divisão de Euclides, todo número inteiro x pode se escrever como x = 2q + r, com 0 = r 2 (q e r inteiros). Portanto um número inteiro x que não é par (que não é divisível por 2) tem de se escrever como x = 2q + 1. Falou!DudaEm 26/05/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] escreveu: Mensagem Original: Data: 07:02:47 26/05/2006 De: Alamir Rodrigues [EMAIL PROTECTED] Assunto: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.Seja M impar e N impar M = MP + 1 sendo que MP é par ( todo numero par + 1 é impar)N = NP+ 1 sendo que NP é parentão MP + NP + 1 + 1 - MP é par, NP é par, 1 + 1 = 2 parMP + NP + 2 (soma de três números par é par). atSarmentoAqui na Oi Internet você ganha ou ganha. Além de acesso grátis comqualidade, ganha contas ilimitadas de email com 1 giga cada uma. Ganha espaço ilimitado para hospedar sua página pessoal. Ganha flog, suportegrátis e muito mais. Baixe grátis o Discador emhttp://www.oi.com.br/discador e comece a ganhar. Agora, se o seu negócio é voar na internet sem pagar uma fortuna,assine Oi Internet banda larga a partir de R$ 9,90. Clique emhttp://www.oi.com.br/bandalarga e aproveite essa moleza! =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=-- --Exercite-se, alimente-se bem, seja introspectivo, amoroso e humilde, sirva e perdoe, realize-se e viva feliz! [EMAIL PROTECTED]http://paginas.terra.com.br/arte/dudastabel/
RES: [obm-l] sobrejetividade e abertos
Qual topologia estah definida em L? para falarmos em conjuntos abertos de L,
temos necessariamente que estabelecer uma topologia, que possivelmente se
origina de uma norma definida em L.
Se F eh o conjunto das funcoes definidas em um conjunto X e com valores em
R, uma forma usual de se normar F e definir a norma ||.|| de cada um de seus
elemntos f por ||f|| = supremo{|f(x| | x estah em X}. Se f tiver valores em
R^m, a mesma definicao se aplica, bastando considerar |f(x)| como a norma
euclidiana do vetor f(x). Mas para que estah definicao atenda aas
propriedades de uma norma (um mumero real =0), eh necessario que F seja
composto por funcoes limitadas, a menos que se admita que a norma possa ser
infinita.
No caso bem simples em que m= n =1 e as funcoes sao continuas, L eh a
familia da funcoes f:R-R dadas por f(x) = k*x, k em R. Todas sao bijetoras.
Mas se normarmos L conforme acima definido, todas a funcoes terao norma
infinita e a distancia ||f1 - f2|| entre 2 funcoes distintas de L eh sempre
infinita. Se, entretanto, restringirmos as f de L a um compacto de R, um
intervalo fechado e limitado, por exemplo, entao a definicao fica bem clara
e L torna-se um espaco metrico.
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Felipe Nobili
Enviada em: terça-feira, 23 de maio de 2006 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] sobrejetividade e abertos
Seja L(R^n,R^m) o conjunto das transformações lineares
de R^n - R^m. como provar que as transformações
lineares sobrejetivas formam um conjunto aberto em
L(R^n,R^m)?
Como provar que as transformações lineares injetivas
também forma conjunto aberto?
obrigado.
__
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Re: [obm-l] sobrejetividade e abertos
A norma que geralmente se usa é||L|| = sup { |L(x)| : |x| = 1 }Em 26/05/06, Artur Costa Steiner [EMAIL PROTECTED]
escreveu:Qual topologia estah definida em L? para falarmos em conjuntos abertos de L,
temos necessariamente que estabelecer uma topologia, que possivelmente seorigina de uma norma definida em L.Se F eh o conjunto das funcoes definidas em um conjunto X e com valores emR, uma forma usual de se normar F e definir a norma ||.|| de cada um de seus
elemntos f por ||f|| = supremo{|f(x|| x estah em X}. Se f tiver valores emR^m, a mesma definicao se aplica, bastando considerar |f(x)| como a normaeuclidiana do vetor f(x). Mas para que estah definicao atenda aas
propriedades de uma norma (um mumero real =0), eh necessario que F sejacomposto por funcoes limitadas, a menos que se admita que a norma possa serinfinita.No caso bem simples em que m= n =1 e as funcoes sao continuas, L eh a
familia da funcoes f:R-R dadas por f(x) = k*x, k em R. Todas sao bijetoras.Mas se normarmos L conforme acima definido, todas a funcoes terao normainfinita e a distancia ||f1 - f2|| entre 2 funcoes distintas de L eh sempre
infinita. Se, entretanto, restringirmos as f de L a um compacto de R, umintervalo fechado e limitado, por exemplo, entao a definicao fica bem clarae L torna-se um espaco metrico.Artur-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]]Emnome de Felipe NobiliEnviada em: terça-feira, 23 de maio de 2006 17:19
Para: obm-l@mat.puc-rio.brAssunto: [obm-l] sobrejetividade e abertosSeja L(R^n,R^m) o conjunto das transformações linearesde R^n - R^m. como provar que as transformações
lineares sobrejetivas formam um conjunto aberto emL(R^n,R^m)?Como provar que as transformações lineares injetivastambém forma conjunto aberto?obrigado.__
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Re: [obm-l] Integral
Ola' Daniel, seja F(t) a integral indefinida de f(t). Entao, como F(xy) - F(x) e' independente de x, a derivada dessa diferenca em relacao a x e' nula. Logo, y*f(xy)-f(x)=0 para qualquer x,y. Fazendo t=2y e x=2, podemos escrever (t/2)*f(t) - f(2) = 0 , ou seja, f(t)=4/t , que nos leva a F(t) = 4*ln(t). Portanto, a integral de f(t)dt entre 1 e x , vale 4*ln(x) - 4*ln(1) = 4*ln(x). []'s Rogerio Ponce --- Daniel Regufe [EMAIL PROTECTED] escreveu: Uma funcao f eh continua em todo eixo real positivo e tem a propriedade q para toda a escolha de x0 e y0 a integral de x ate xy de f(t)dt eh independente de x(ou seja, somente de y). Se f(2) = 2 calcular o valor da integral de 1 ate x de f(t)dt. para todo x 0. []'s Daniel Regufe ___ Abra sua conta no Yahoo! Mail: 1GB de espaço, alertas de e-mail no celular e anti-spam realmente eficaz. http://br.info.mail.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
On Thu, May 25, 2006 at 11:55:06AM -0300, Júnior wrote: Como calcular cos7º ? Eu imagino que você esteja interessado no valor exato pois é muito fácil calcular o valor aproximado com vários programas de computador. Por exemplo, com o maple, evalf(cos(7*Pi/180)); 0.9925461516413220349800615893305841090437 Eu suponho que você saiba que cos(36 graus) = c36 := (1+sqrt(5))/4; sen(36 graus) = s36 := sqrt(5-sqrt(5))/(2*sqrt(2)); cos(15 graus) = c15 := sqrt(2+sqrt(3))/2; sen(15 graus) = s15 := sqrt(2-sqrt(3))/2; Assim cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15; Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) é uma das raízes de 4*x^3 - 3*x - c21 = 0; O maple confirma que as três raízes são cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256, cos(247 graus) = -0.390731128489273755062084590942676180, cos( 7 graus) = 0.9925461516413220349800615893305841090437. Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio. Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Cos 7º
-Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Nicolau C. Saldanha Enviada em: sexta-feira, 26 de maio de 2006 13:28 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: Re: [obm-l] Cos 7º Esta conclusao eh tambem decorencia da Teoria de Galois? Artur Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. [ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7�
On Fri, Maio 26, 2006, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] said: Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Magnífico. Onde será que eu posso achar algo que explique como construir esse polinômio ... Acredito que não deva ser nada simples. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]
Sauda,c~oes, Guardei esta msg pois estava esperando um momento oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi este momento. Tenho dúvidas e comentários sobre o título do assunto. === Ache as 4 raizes da equação z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4 em fatores quadraticos com coeficientes reais. === Se você sabe que todo polinômio pode ser fatorado (nos Reais) em produtos de primeiro e segundo grau, entao tá quase pronto: Isso eu sabia mas tinha dúvidas. A msg do N. reforçou a dúvida. Nesse caso é fácil pois conhecemos as raízes: 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i z^4+4 = (z^2 + 2z + 2) (z^2 - 2z + 2) Seja agora p(x) um polinômio com coeficientes nos reais, em particular do 3o. grau. Sabe-se que se as três raízes forem reais e diferentes, este pol. é irredutível nos reais. Pegamos o polinômio da msg do N. cos(21 graus) = c21 := c36*c15+s36*s15; Como cos(3t) = 4 cos^3(t) - 3 cos(t), cos(7 graus) é uma das raízes de 4*x^3 - 3*x - c21 = 0; O maple confirma que as três raízes são cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256, cos(247 graus) = -0.390731128489273755062084590942676180, cos( 7 graus) = 0.9925461516413220349800615893305841090437. Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio. === Observe que as três raízes são reais e diferentes (solução trigonométrica e aproximada). Então este polinômio NÃO pode ser fatorado (nos Reais) em produtos de primeiro e segundo grau, não é verdade??? Mas pode ser fatorado nos complexos, não? (Com radicais complexos). No caso de polinômios em Z[x] e do 3o. grau conheço livros e os casos onde isto acontece (discussão do discriminante e das raízes). Não estou lembrado se há a mesma discussão para Z[x] e pol. de grau 4. Gostaria de comentários sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que são redutíveis e irredutíveis nos R/C. Obrigado. []'s Luis From: Bernardo Freitas Paulo da Costa [EMAIL PROTECTED] Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: Re: [obm-l] Achar as raizes z^4+4 Date: Fri, 28 Apr 2006 22:47:43 +0200 Se você sabe que todo polinômio pode ser fatorado (nos Reais) em produtos de primeiro e segundo grau, entao tá quase pronto: 1) as raízes sao todas complexas, logo é impossível que haja fatores de primeiro grau com coeficientes reais 2) você entao pegas as raízes conjugadas (exercício : mostre que de um polinômio real saem apenas raízes complexas em pares conjugados (a + bi e a - bi) e de mesma multiplicidade) e faz o produto dos monômios x - raiz e x - conjugado(raiz), que você sabe (prove!) que vai dar um polinômio do segundo grau com coeficientes reais. Você obtem aqui: Primeiro, vamos calcular raiz(2i) = número de módulo raiz(2) e ângulo 1/2 pi = 1 + i (meio força bruta essa) e portanto deduzimos as 4 raízes na forma dada pelo Aldo: 1 + i, 1 - i, -1 + i, -1 - i Os pares conjugados dao entao: (x - (1 + i))(x - (1 - i)) = x^2 - 2i x + 2 (x - (-1 + i))(x - (-1 - i)) = x^2 + 2i x + 2 Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 4/28/06, Iuri [EMAIL PROTECTED] wrote: z^4 +4 = 0 +-sqrt(2i) e +-sqrt(2i)i sao as raizes. Mas nao consegui fatorar em termos com coeficientes reais. On 4/28/06, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Favor como achar as raizes Ache as 4 raizes da equação z^4+4 = 0: Use-as para fatorar z^4+4 em fatores quadraticos com coeficientes reais. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Galois e polin ômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]
On Fri, May 26, 2006 at 08:09:36PM +, Luís Lopes wrote: Sauda,c~oes, Guardei esta msg pois estava esperando um momento oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi este momento. ... (cortando um monte de coisa aqui) ... 4*x^3 - 3*x - c21 = 0; O maple confirma que as três raízes são cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256, cos(247 graus) = -0.390731128489273755062084590942676180, cos( 7 graus) = 0.9925461516413220349800615893305841090437. Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio. === Observe que as três raízes são reais e diferentes (solução trigonométrica e aproximada). Então este polinômio NÃO pode ser fatorado (nos Reais) em produtos de primeiro e segundo grau, não é verdade??? Claro que pode! A fatoração dele é 4(x - c7)(x - c127)(x - c247) onde c7 = cos(7 graus), c127 = cos(127 graus), c247 = cos(247 graus). Não sei se entendi muito bem o que você quer dizer com solução trigonométrica e aproximada. As raízes são *exatamente* c7, c127 e c247. É claro que as expansões decimais acima são apenas aproximações. Mas pode ser fatorado nos complexos, não? (Com radicais complexos). A expressão radicais reais na minha mensagem talvez tenha sido a fonte da sua confusão. Existe uma fórmula para encontrar as raízes de um polinômio de grau 3: pq não usar este método acima? A razão é que a resposta seria insatisfatória por ser um pouco tautológica: encontraríamos c7 = (z21^(1/3) + z339^(1/3))/2 onde z21 = cos(21 graus) + i sen(21 graus) e z339 = cos(21 graus) - i sen(21 graus). A maneira óbvia de calcular z21^(1/3) é usar a forma polar e chegaríamos à conclusão nem um pouco surpreendente que c7 = cos(7 graus). A pergunta que fica no ar é se não podemos fazer esta álgebra final (a de resolver a equação de grau 3) de alguma outra forma para termos uma formula para c7 onde permitiríamos expressões da forma a^(1/3) (ou até a^(1/n)) para a *real*. A resposta é não. No caso de polinômios em Z[x] e do 3o. grau conheço livros e os casos onde isto acontece (discussão do discriminante e das raízes). Não estou lembrado se há a mesma discussão para Z[x] e pol. de grau 4. Gostaria de comentários sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que são redutíveis e irredutíveis nos R/C. p = z^4 + 2 é irredutível em Z como pode ser verificado pelo critério de Eisenstein. Ou, de forma mais elementar, podemos observar que as raízes são aw, aw^(-1), aw^3, aw^(-3) onde a = 2^(1/4) e w = exp(pi i/4) = (1+i)/sqrt(2). A única forma de fatorar p em R é ((z - aw)(z - aw^(-1)) ((z - aw^3)(z - aw^(-3)) = (z^2 - a^3 z + 1)(z^2 + a^3 z + 1). Como a^3 não é inteiro, p é irredutível em Z. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7�
On Fri, May 26, 2006 at 07:00:22PM -, [EMAIL PROTECTED] wrote: On Fri, Maio 26, 2006, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] said: Talvez voc� goste de saber que cos(7 graus) � a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 2018 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As ra�zes s�o +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Magn�fico. Onde ser� que eu posso achar algo que explique como construir esse polin�mio ... Acredito que n�o deva ser nada simples. Se a pergunta � como eu fiz para obter estes coeficientes todos, eu usei o maple: Digits := 40: ppc := 1: for i to 89 do if ( igcd(i,180) = 1 ) \ then ppc := ppc * ( x^2 - evalf(2*cos(Pi*i/180))^2 ) : fi: od: At� aqui eu montei o polin�mio com as ra�zes +-2cos(k graus) e +-2sen(k graus). Note que estou fazendo contas aproximadas, ent�o os coeficientes tamb�m estar�o aproximados. Mas eu sei que eles deveriam ser inteiros ent�o um arredondamento deve obter os coeficientes corretos. ppcs := sort(expand(ppc)): ppct := sort(add(round(coeff(ppcs,x,i))*x^i,i=0..48)); 48 46 44 42 4038 ppct := x - 48 x + 1080 x - 15136 x + 148092 x - 1074528 x 36 34 32 30 + 5995185 x - 26320356 x + 92286216 x - 260824576 x 28 26 24 22 + 597177831 x - 1109376324 x + 1669616130 x - 2026629360 x 20 18 16 14 + 1969138215 x - 1514843020 x + 908975295 x - 417023856 x 12 108 6 4 + 142445393 x - 34943820 x + 5851386 x - 619152 x + 36216 x 2 - 864 x + 1 Eu quero verificar se os arredondamentos foram confi�veis, ent�o eu fa�o: sort(ppcs-ppct); -37 46 -35 44 -34 42 -33 40 -32 38 -0.1 10x + 0.1 10x - 0.1 10x + 0.1 10x - 0.1 10x -32 36 -31 34 -30 32 -30 30 + 0.7 10x - 0.2 10x + 0.14 10x - 0.5 10x -29 28 -29 26 -29 24 -29 22 + 0.13 10x - 0.2 10x + 0.6 10x - 0.9 10x -29 20 -29 18 -29 16 -29 14 + 0.9 10x - 0.8 10x + 0.51 10x - 0.26 10x -30 12 -30 10 -31 8 -32 6 + 0.9 10x - 0.27 10x + 0.53 10x - 0.66 10x -33 4 -34 2 -37 + 0.46 10x - 0.143 10x + 0.34 10 Os maiores erros s�o da ordem de 10^(-29), ent�o parece estar tudo bem. Mais um teste: vamos achar algumas ra�zes: fsolve(ppct,x=1.9..2.0); 1.912609511926070962677301633236837924019, 1.948740129570470457079388960176537666010, 1.963254366895327906993009799636281638637, 1.985092303282644069960123178661168218087, 1.999695390312782478314023117627829703385 A maior de todas (a �ltima) deve ser 2*cos(1 grau), a anterior deve ser 2*cos(7 graus). Vamos verificar. evalf(2*cos(7*Pi/180)); 1.985092303282644069960123178661168218087 Tudo bem. Agora para termos um polin�mio com ra�zes iguais aos pr�prios cos e sen, basta substituir x por 2z: sort(subs(x=2*z,ppct)); 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30
[obm-l] Re: [obm-l] Galois e polinômio irredutível [era: Achar as raizes z^4+4]
Sauda,c~oes,
Oi N.,
O que quero dizer seria mais fáxil com um exemplo.
Mas seja p(x) = x^3 + px + q = 0. (*) Z[x]
Para achar as raízes , calcule D = q^2/4 + p^3/27 e
suponha D0. (3 raízes reais distintas e não racionais por hipótese).
Calculamos phi = Arccos\frac{q\sqrt{27}}{2p\sqrt{-p}}
e as raízes de (*) são:
x_1 = 2\sqrt{-p/3}cos(phi/3) = A cos(phi/3)
x_2 = A cos(phi/3 + 2\pi/3)
x_3 = A cos(phi/3 + 4\pi/3)
Infelizmente não me ocorre um exemplo numérico mas acho que
o exemplo clássico de cos20 serve.
No caso dos x_i não serem números algébricos posso dizer que
o polinômio se fatora em (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) ?
Pela sua resposta Claro que pode! A fatoração dele é
4(x - c7)(x - c127)(x - c247)
acho que posso.
Mas li que no caso acima onde D0 o polinômio é irredutível
(sem raiz racional, é claro).
[]'s
Luis
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
[obm-l] diferencial ajuda
1- resolva a seguinte equação diferencial dy/dx=(x 2+ 3 y2)/2xy com y(1)=2
[obm-l] N. binomial
Prove que [(2+sqrt(3))^n] é impar para todo n natural. [] detona a parte inteira. Yahoo! Messenger com voz - Instale agora e faça ligações de graça.
[obm-l] somatorio
Calcule : sum(k=0-n)k^2*C(n,k)*5^kgab: 5n(5n+1)6^(n-2). Yahoo! doce lar. Faça do Yahoo! sua homepage.
Re: [obm-l] Desafio
Olá, todo numero impar pode ser escrito como 2k+1.. assim: x = 2r + 1 y = 2s + 1 x+y = 2r+2s+2 = 2(r+s+1) que é par.. abraços, Salhab - Original Message - From: Alamir Rodrigues To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 26, 2006 7:02 AM Subject: [obm-l] Desafio Provar que a soma de dois números ímpares sempre dará um númer par.
Re: [obm-l] diferencial ajuda
olá marcos, faca assim: seja u = y/x ... y = ux ... dy = u + xdu sabemos tbem que: (x^2 + 3y^2)/2xy = (1 + 3(y/x)^2)/2(y/x) .. assim: u + xdu = (1 + 3u^2)/2u ok.. agora ficou tranquilo né? xdu = (1 + u^2)/2u 2u/(1+u^2) du = 1/x assim: ln(1+u^2) = ln(x) + C 1+u^2 = kx mas u = y/x.. assim: 1 + y^2/x^2 = kx y^2 + x^2 = kx^3 abraços, Salhab - Original Message - From: Marcus Aurélio To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, May 26, 2006 11:27 PM Subject: [obm-l] diferencial ajuda 1- resolva a seguinte equação diferencial dy/dx=(x 2+ 3 y2)/2xy com y(1)=2
