Re: [obm-l] Cos 7º
Talvez valha a pena comentar que o argumento da mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um número racional (ou expresso em radianos por um racional multiplicado por Pi) tem números algébricos como seno e cosseno. Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com o teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei demonstrar). Por último, resta responder se senos e cossenos de ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho que está em aberto. Além poderia confirmar? []´s Demétrio --- Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se obter cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem querer dar pitaco na discussão mais avançada que se seguiu depois!!!) 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4 raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma delas, digamos x180) 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = (x180)^7 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente. []´s Demétrio No maple = restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0): 180 f := x+ 1 r180:=0: for r in z do if ( evalf(Re(r180)) evalf(Re(r)) ) then r180:=r: end if: end do: evalf((r180)); 0.9998476955 + 0.01745240644 I evalf[50](Re(r180^7)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678 evalf[50](cos(2*Pi*7/360)); 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683 --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: On Fri, Maio 26, 2006, Nicolau C. Saldanha [EMAIL PROTECTED] said: Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a segunda mair raiz de 48 46 44 281474976710656 z - 3377699720527872 z + 18999560927969280 z 42 40 38 - 66568831992070144 z + 162828875980603392 z - 295364007592722432 z 36 34 + 411985976135516160 z - 452180272956309504 z 32 30 + 396366279591591936 z - 280058255978266624 z 28 26 24 + 160303703377575936 z - 74448984852135936 z + 28011510450094080 z 22 20 18 - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z - 397107008634880 z 16 14 12 + 59570604933120 z - 6832518856704 z + 583456329728 z 10 8 6 4 2 - 35782471680 z + 1497954816 z - 39625728 z + 579456 z - 3456 z + 1 As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) para k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43. Magnífico. Onde será que eu posso achar algo que explique como construir esse polinômio ... Acredito que não deva ser nada simples. Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Cos 7º
Em 30/05/06, Demetrio Freitas [EMAIL PROTECTED] escreveu: Talvez valha a pena comentar que o argumento damensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por umnúmero racional (ou expresso em radianos por umracional multiplicado por Pi) tem números algébricoscomo seno e cosseno.Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com oteorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não seidemonstrar).Por último, resta responder se senos e cossenos deângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último achoque está em aberto. Além poderia confirmar?[]´s DemétrioNa verdade bastaria demonstrar que cos Nx é um polinomio em cos x, para provar o seu intento. Aliás tem uma demo disto no Proofs from THE BOOK. O que voce querioa saber, se por exemplo cos(e) em que (e) e o numero de Euler, é transcedente ou nao?Podemos ver algo como sen(X)=(e^(ix \pi)-e^(-ix \pi))/2i. Talvez haja uma luz sobre tais conjecturas... E creio que seja um problema em aberto mesmo, pois nada diz que ele seja fácil (saber se e^e é transcedente já nào dá...)
Re: [obm-l] Cos 7º
On Tue, May 30, 2006 at 01:49:53PM +, Demetrio Freitas wrote: Talvez valha a pena comentar que o argumento da mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um número racional (ou expresso em radianos por um racional multiplicado por Pi) tem números algébricos como seno e cosseno. Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com o teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei demonstrar). Por último, resta responder se senos e cossenos de ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho que está em aberto. Além poderia confirmar? Isto é falso (se eu entendi corretamente a pergunta). Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então 2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que se t é algébrico e diferente de 0 então cos t é transcendente. Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é transcendente mas não é múltiplo racional de pi. Por outro laso, cos t é recional. []s, N. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] off (imprimir arq ps)
Title: POP Internet Boa noite, Estou com dificuladade de imprimir arquivos no formato ps em uma lx300. Alguém saberia me ajudar? Obrigado [EMAIL PROTECTED]
Re: [obm-l] off (imprimir arq ps)
Gostaria de detalhes do que está passando, qual o problema?Em 30/05/06, Tio Cabri st [EMAIL PROTECTED] escreveu: Boa noite, Estou com dificuladade de imprimir arquivos no formato ps em uma lx300. Alguém saberia me ajudar? Obrigado [EMAIL PROTECTED]
[obm-l] Provas da OBMEP 2005
Olá amigos, procurei sem sucesso as provas da OBMEP 2005 no site oficial. Alguém poderia me passar um link com essas provas. Agradeço a atenção, Fernando Villar = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
