Talvez valha a pena comentar que o argumento da mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um número racional (ou expresso em radianos por um racional multiplicado por Pi) tem números algébricos como seno e cosseno.
Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um número algébrico são transcedentais é possível com o teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei demonstrar). Por último, resta responder se senos e cossenos de ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho que está em aberto. Além poderia confirmar? []´s Demétrio --- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Só pra dar um dos possíveis exemplos de como se > obter > cos(7 graus) a partir de equações algébricas (e sem > querer dar pitaco na discussão mais avançada que se > seguiu depois!!!) > > 1- Tome p(x) = x^180 + 1 e calcule suas raízes. > 2- Tome uma das raízes com parte real máxima(são 4 > raízes com parte real máxima em módulo, tomemos uma > delas, digamos x180) > 3- Eleve este numero complexo à sétima: c7 = > (x180)^7 > 4- A parte real de c7 vale cos(7 graus), exatamente. > > []´s Demétrio > > No maple => > > restart;f:=x^180+1;z:=solve(f=0): > 180 > f := x + 1 > > r180:=0: for r in z do > > if ( evalf(Re(r180)) < evalf(Re(r)) ) then > r180:=r: end if: > > end do: > > > > > > evalf((r180)); > 0.9998476955 + 0.01745240644 I > > evalf[50](Re(r180^7)); > 0.99254615164132203498006158933058410904365287740678 > > evalf[50](cos(2*Pi*7/360)); > 0.99254615164132203498006158933058410904365287740683 > > > > > --- [EMAIL PROTECTED] escreveu: > > > On Fri, Maio 26, 2006, "Nicolau C. Saldanha" > > <[EMAIL PROTECTED]> > > said: > > > > > Talvez você goste de saber que cos(7 graus) é a > > segunda mair raiz de > > > > > > 48 46 > > > 44 > > > 281474976710656 z - 3377699720527872 z + > > 18999560927969280 z > > > > > > 42 > > > 40 38 > > > - 66568831992070144 z + > 162828875980603392 > > z - 295364007592722432 z > > > > > > 36 > > > 34 > > > + 411985976135516160 z - > 452180272956309504 > > z > > > > > > 32 > > > 30 > > > + 396366279591591936 z - > 280058255978266624 > > z > > > > > > 28 > > > 26 24 > > > + 160303703377575936 z - > 74448984852135936 > > z + 28011510450094080 z > > > > > > 22 > 20 > > 18 > > > - 8500299631165440 z + 2064791072931840 z > > > - 397107008634880 z > > > > > > 16 14 > > > 12 > > > + 59570604933120 z - 6832518856704 z + > > 583456329728 z > > > > > > 10 8 > > > 6 4 2 > > > - 35782471680 z + 1497954816 z - > 39625728 > > z + 579456 z - 3456 z + 1 > > > > > > > > > As raízes são +-cos(k graus) e +-sen(k graus) > para > > > k = 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, > 43. > > > > > > Magnífico. Onde será que eu posso achar algo > > que explique como > > construir esse polinômio ... Acredito que não deva > > ser nada simples. > > > > Ronaldo. > > > > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > > > __________________________________________________ > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! > Messenger > http://br.messenger.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
