On Tue, May 30, 2006 at 01:49:53PM +0000, Demetrio Freitas wrote: > > Talvez valha a pena comentar que o argumento da > mensagem abaixo pode ser facilmente adaptado para > mostrar que qualquer ângulo, expresso em graus por um > número racional (ou expresso em radianos por um > racional multiplicado por Pi) tem números algébricos > como seno e cosseno. > > Por outro lado, mostrar que senos e cossenos de um > número algébrico são transcedentais é possível com o > teorema de Lindemann-Weierstrass (que eu não sei > demonstrar). > > Por último, resta responder se senos e cossenos de > ângulos transcedentais, mas que não são múltiplos > racionais de Pi, são transcedentais. Este último acho > que está em aberto. Além poderia confirmar?
Isto é falso (se eu entendi corretamente a pergunta). Sabemos que se t é um múltiplo racional de pi então 2 cos t é um inteiro algébrico. Sabemos também que se t é algébrico e diferente de 0 então cos t é transcendente. Seja t = arc cos(1/4): pelos resultados acima, t é transcendente mas não é múltiplo racional de pi. Por outro laso, cos t é recional. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
