Re: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA
Ok, vou melhorar o enunciado para ficar mais claro: Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita , 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa, não necessariamente nesta ordem. De quantas maneiras diferentes ele pode arrumar asrevistas? 2006/8/23, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED]: A ordem faz diferença, pois as revistas são todas diferentes entre si e o problema pergunta de quantas maneiras diferentes... Em 23/08/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: opa.. vamos tentar aqui..dps c fala se acertei.. tomemos uma banca A: ela tera 4*4*4 combinacoes de revistas. B:3*3*3 C:2*2*2 D:1*1*1 mas por outro lado podemos misturar essas 4 bancas(mult. por 4!) acho q eh isso.. dah (4!)^4 ah, to supondo q a ordem dentro de cada prateleira nao faz diferenca.. abraços Vinicius Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA
Separando em grupos de 4 revistas de nacionalidades distintas: (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3) opções. Temos 4 blocos definidos de revistas e cada um deles deve ficar em uma posição da banca, sendo todas essas posições distintas entre si, o que nos dá 4! posições para esses blocos. Alem disso, cada bloco de revistas podem se ordenar de 3! modos diferentes, o que nos dá (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3)*[4!*(3!^4)] = 4!^4*3!^4 = [36*3]^4 = 144^4. On 8/23/06, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ok, vou melhorar o enunciado para ficar mais claro: Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita , 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa, não necessariamente nesta ordem. De quantas maneiras diferentes ele pode arrumar asrevistas? 2006/8/23, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED]: A ordem faz diferença, pois as revistas são todas diferentes entre si e o problema pergunta de quantas maneiras diferentes... Em 23/08/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: opa.. vamos tentar aqui..dps c fala se acertei.. tomemos uma banca A: ela tera 4*4*4 combinacoes de revistas. B:3*3*3 C:2*2*2 D:1*1*1 mas por outro lado podemos misturar essas 4 bancas(mult. por 4!) acho q eh isso.. dah (4!)^4 ah, to supondo q a ordem dentro de cada prateleira nao faz diferenca.. abraços Vinicius Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re:RES: [obm-l] Numeros Irracionais
A solucao que eu tinha em mente era essa mesmo e, sim, basta que o coeficiente lider seja positivo. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 15:56:53 -0300 Assunto: RES: [obm-l] Numeros Irracionais Bom, peguei o bonde andando, já vi direto a dica do Cláudio. Na base k, o próprio k eh representado por 0 e 1/k = 0,1. Sendo m grau de k, temos que p(n+1) - p(n) eh um polinomio de grau m-1 no qual o coeficiente do termo lider é m. Assim, para n suficientemente grande, p(n+1)0, p(n)0 e p(n+1) - p(n) 0. Além disto p(n+1) - p(n) eh monotonicamente crescente. Issoimplica que, na base k, SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) = R + 0,1 + 0,.1, sendo que, nos termos fracionarios, a distância entre a posição do dígito 1 cresce monotonicamente. Desta forma, a representacao do limite L da subserie (que existe, pela comparacao com a serie geometrica de razao 1/k) dos termos fracionarios eh infinita e nao periodica, o que siginfica que L eh irracional. A série original converge entao para R + L, que eh irracional. Faltou formalizar um pouco melhor, mas acho que a ideia eh essa. Uma dúvida: Éh necessario que p seja monico? Nao chegaremos aa mesma conclusao se o coeficiente do termo lider for inteiro positivo? Abracos Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de claudio.buffara Enviada em: terça-feira, 22 de agosto de 2006 11:02 Para: obm-l Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais Por enquanto, aqui vai uma dica: representacao em base k. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Mon, 21 Aug 2006 21:03:18 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Numeros Irracionais Claudio, pensei pensei e nao consegui solução alguma. Você poderia compartilhar a sua ? Júnior. Em 20/08/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Aqui vai um que sai facilmente se voce tiver a ideia certa... Prove que se k eh um inteiro = 2 e p(x) um polinomio monico, de coeficientes inteiros e grau = 2, entao: SOMA(n=1...+infinito) 1/k^p(n) eh irracional. Em particular, 1/k + 1/k^4 + 1/k^9 + 1/k^16 + 1/k^25 + ... eh irracional, qualquer que seja k 1 (k inteiro). []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando... A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar mágica que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de malandragem. Eh muito facil ficar em loop... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta aqui: ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA (para baixo) ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD. Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RES: [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n
Houve um engano meu na passagem abaixo: -Mensagem original- Em virtude da irracionalidade de p e do fato de que os m_k e n_k sao inteiros, eh facil demonstrar que as sequencias m_k e n_k tambem tem seus termos distintos 2 a 2. Isso nao eh verdade nao. O que acontece eh que n_k possui um numero infinito de termos distintos. De fato, se n_k possuir um numero finito de termos distintos, entao um deles, digamos q, tem que se repetir infinitas vezes. Assim, z_k contem uma subsequencia z_k_j da forma z_k_j = m_k_j * p + q, a qual, sendo subseq. de z_k, converge para x. Mas como q eh constante, esta subseq. converge sse m_k_j convergir.Como os m_k_j sao numeros inteiros, isto soh eh possivel se m_k_j se tornar constante, o que implica que z_k_j seja constante, contrariamente aa conclusao anterior de que os termos de z_k sao distintos 2 a 2. E como n_k tem um numero infinito de termos distintos, os quais sao numeros inteiros positivos, n_k contem uma subsequencia monotonicamente crescente. OK? Artur = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Para essa eu tenho uma solução bonitinha (embora se caísse numa prova e não conhecesse eu provavelmente usaria a boa e velha lei dos senos). Vou só deixar um outline, vocês devem conseguir terminar. Seja E um ponto tal que o quadrilátero BCED (nessa ordem mesmo) seja um trapézio isósceles (faça o desenho!). Então o triângulo ACE é equilátero pois AC = BD = CE e o ângulo ACE mede 60 graus (o ângulo BCE mede 100 graus e o ângulo BCA mede 40 graus, pois ABC é isósceles com base AC). Com mais algumas continhas com ângulos vê-se que DEA é isósceles de vértice E. Isso implica que o triângulo CED é também isósceles de vértice E e o resto é calcular ângulos. []'s Shine --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando... A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar mágica que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de malandragem. Eh muito facil ficar em loop... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta aqui: ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA (para baixo) ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD. Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re: Limite da seqüênci a a_n = sen n
Poderia enunciar este lema?
Obrigado
Artur
-Mensagem original-
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de Leonardo Borges Avelino
Enviada em: quarta-feira, 23 de agosto de 2006 02:41
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: [obm-l] Re: Limite da seqüência a_n = sen n
Eh o tal do Lema de Kronecker??
Em 23/08/06, Artur Costa Steiner[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Acho que sua prova estah legal. Não mostra que a aseq.
eh densa em [-1, 1], mas mostra que eh divergente.
Alias, na realidade sen(n) eh densa em [-1, 1] e nao
apenas em [0,1] como disse antes.
A prova do teorema geral baseia -se no fato de que, se
a eh irracional, entao o conjunto {m*a + n | m e n sao
inteiros} eh denso em R. Uma possivel prova baseia-se
no princiupio da casa dos pombos.
Artur
--- Bruno França dos Reis [EMAIL PROTECTED] wrote:
Nossa! Legal, Arthur, vou procurar nos arquivos da
lista. Eu bem que
imaginei que eu pudesse pegar uma subseqüência que
levasse a qualquer número
de [0,1], só que como não tinha idéia de como provar
isso, acabei por não
usar.
Minha demonstração foi a seguinte:
sejam b_n = a_[pi/2 + 2npi], c_n = a_[3pi/2 + 2npi],
onde [x] representa o
maior inteiro menor do que ou igual a x. Aí basta
escrever algumas
desigualdades, e considerar o crescimento de seno e
mostrar que todos os
temor b_n estão no intervalo [1/2, 1], e que os
termos c_n estão em [-1,
-1/2] (a desigualdade é : x - 1 [x] = x, então
pi/2 + 2npi - 1 [pi/2 +
2npi] pi/2 + 2npi, e como -pi/3 -1, pi/2 - pi/3
+ 2npi [pi/2 + 2npi]
pi/2 + 2npi. Como seno é crescente nos intervalos da
forma [pi/6 + 2npi,
pi/2 + 2npi], tomamos o seno dos termos na
desigualdade, sem alterar o
sentido delas, obtendo: 1/2 b_n 1. Analogamente
para -1 c_n -1/2.).
Dessa forma, se b_n ou c_n forem divergentes, então
temos que a_n também o
será. Por outro lado, se ambas as seqs b_n e c_n
forem convergentes,
necessariamente convergem para limites diferentes
(b_n -- L em [1/2,1], e
c_n -- M [-1,-1/2]), e portanto a__n é divergente.
Em todo caso, a_n é
divergente.
On 8/22/06, Artur Costa Steiner
[EMAIL PROTECTED] wrote:
A sequencia eh de fato divergente, pois eh densa
em [0,1]. Isto eh, todo
elemento de [0,1] eh limite de alguma subsequencia
de sen(n). Isto eh um
caso partcular de um teorema que discutimos aqui
na lista em outubro ou
novembro de 2004.
Seja f uma funcao continua e periodica de R em R
cujo periodo fundamental
p seja irracional. Temos entao que a sequencia
(f(n)), n=1,2,3...,eh densa
no intervalo fechado f([0, p]).
No caso, f(x) = sen(x), que eh continua e cujo
periodo fundamental eh o
irracional 2*pi.
Artur
-Mensagem original-
*De:* [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]
nome de *Bruno França dos Reis
*Enviada em:* terça-feira, 22 de agosto de 2006
15:36
*Para:* OBM
*Assunto:* [obm-l] Limite da seqüência a_n = sen n
Olá.
Recentemente, me deparei com o seguinte problema:
verificar se a seqüência
definida por a_n = sen(n) é convergente ou
divergente.
A intuição nos diz que é divergente. Encontrei uma
demonstração para tal
fato, mas acredito que devam ter outras mais
bonitas. Alguem conhece ou quer
tentar?
Não vou postar a minha demo agora para deixar quem
quiser brincar. Amanhã
eu posto.
Bruno
--
Bruno França dos Reis
email: bfreis - gmail.com
gpg-key:
http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key
icq: 12626000
e^(pi*i)+1=0
--
Bruno França dos Reis
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[obm-l] Re:[obm-l] Combinatoria nível IME/ ITA
Aqui vai minha tentativa: Colocacao da Brasileiras (uma em cada lado da banca): 4! (4 escolhas para a revista que vai na frente da banca, 3 escolhas para a da lateral direita, 2 escolhas para a da lateral esquerda, e a revista da parte de tras fica determinada) Colocacao das Francesas: 4! Colocacao das Americanas: 4! Permutacao das 3 revistas em cada lado da banca: (3!)^4 Total = (4!)^3*(3!)^4 = 17.915.904 maneiras Se os lados da banca fossem indistinguiveis, teriamos que usar permutacoes circulares para a colocacao das revistas, a o numero seria: (3!)^3*(3!)^4 = (3!)^7 = 279.936 Mas o enunciado do problema deixa claro que os lados da banca sao bem detreminados e distintos um dos outros. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 23:06:03 -0300 Assunto: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA Esta eu criei para o deleite dos amantes de questões do IME. Baseei-me numa questão do próprio IME, só que esta aqui é mais difícil. Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita, 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar as 12 revistas? Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA
Ainda não foi. Por isso eu disse que era nível IME/ITA... 2006/8/23, Iuri [EMAIL PROTECTED]: Separando em grupos de 4 revistas de nacionalidades distintas: (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3) opções. Temos 4 blocos definidos de revistas e cada um deles deve ficar em uma posição da banca, sendo todas essas posições distintas entre si, o que nos dá 4! posições para esses blocos. Alem disso, cada bloco de revistas podem se ordenar de 3! modos diferentes, o que nos dá (4^3)*(3^3)*(2^3)*(1^3)*[4!*(3!^4)] = 4!^4*3!^4 = [36*3]^4 = 144^4. On 8/23/06, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED] wrote: Ok, vou melhorar o enunciado para ficar mais claro: Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita , 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa, não necessariamente nesta ordem. De quantas maneiras diferentes ele pode arrumar asrevistas? 2006/8/23, Palmerim Soares [EMAIL PROTECTED]: A ordem faz diferença, pois as revistas são todas diferentes entre si e o problema pergunta de quantas maneiras diferentes... Em 23/08/06, vinicius aleixo [EMAIL PROTECTED] escreveu: opa.. vamos tentar aqui..dps c fala se acertei.. tomemos uma banca A: ela tera 4*4*4 combinacoes de revistas. B:3*3*3 C:2*2*2 D:1*1*1 mas por outro lado podemos misturar essas 4 bancas(mult. por 4!) acho q eh isso.. dah (4!)^4 ah, to supondo q a ordem dentro de cada prateleira nao faz diferenca.. abraços Vinicius Novidade no Yahoo! Mail: receba alertas de novas mensagens no seu celular. Registre seu aparelho agora!
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Essa questão está no livro Fundamentos da Matemática Elementar, Vol 9. Já tive muita dor de cabeça por causa dela. Aqui vai uma solução apenas por geometria sintética: O problema principal é saber usar a informação de que AC = BD. Trace BE = AB = BC de modo que o ângulo ABE seja de 40º (o ângulo ABC fica dividido em duas partes, uma de 40º e uma de 60º). Agora ligue D com E. Note que o triângulo BDE é congruente ao triângulo ABC (L.A.L) e que, portanto, ED = EB. Agora ligue E com C. Perceba que o triângulo BCE é equilátero (dois lados congruentes e um ângulo de 60º). Então, temos que EC = EB = BC = ED. Como EC = ED, o triângulo CDE é isósceles, cujo ângulo do vértice vale 160º. Agora é só fazer as continhas e encontrar como resposta 10º. Esse problemas possui algumas variantes interessantes (e tão difíceis quanto!). Assim que der eu posto aqui, mas acredito que a maioria dos colegas da lista já os conhece. Um abraço PC
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Combinatoria n�vel IME/ITA
Oi Claudio, Eu só tenho uma ressalva: se os lados da banca girassem, a resposta deveria ser (3!)*(4!)^2*(3!)^4, não? Porque ao colocarmos as primeiras 4 revistas (digamos, as brasileiras), já determinamos qual lado é qual (o lado da revista brasileira 1, etc). Assim, as outras teriam que ser permutadas mesmo. Outra maneira de enxergar isso é observar que as giradas da banca geram 4 distribuições não giradas. Assim, a resposta é a do outro problema (sem girar) dividida por 4: [(4!)^3*(3!)^4]/4, que coincide com o parágrafo anterior. []'s Shine --- claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Aqui vai minha tentativa: Colocacao da Brasileiras (uma em cada lado da banca): 4! (4 escolhas para a revista que vai na frente da banca, 3 escolhas para a da lateral direita, 2 escolhas para a da lateral esquerda, e a revista da parte de tras fica determinada) Colocacao das Francesas: 4! Colocacao das Americanas: 4! Permutacao das 3 revistas em cada lado da banca: (3!)^4 Total = (4!)^3*(3!)^4 = 17.915.904 maneiras Se os lados da banca fossem indistinguiveis, teriamos que usar permutacoes circulares para a colocacao das revistas, a o numero seria: (3!)^3*(3!)^4 = (3!)^7 = 279.936 Mas o enunciado do problema deixa claro que os lados da banca sao bem detreminados e distintos um dos outros. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 23:06:03 -0300 Assunto: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA Esta eu criei para o deleite dos amantes de questões do IME. Baseei-me numa questão do próprio IME, só que esta aqui é mais difícil. Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita, 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar as 12 revistas? Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Do You Yahoo!? Tired of spam? Yahoo! Mail has the best spam protection around http://mail.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Conjectura de Poincar� Provada. Impressionante!
Há pessoas realmente insubstituíveis: http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html http://www1.folha.uol.com.br/folha/ciencia/ult306u15058.shtml Para acessar o paper: http://arxiv.org/perelman06/0211159.pdf Espero que isso faça com que o mundo reflita melhor sobre a importância das pessoas pobres e muitas vezes ignoradas. [] Ronaldo. PS:As pessoas preferem olhar para fora e não para dentro de si mesmas -- Albert Einstein. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Aí vai uma solução sem utilizar a lei dos senos! Trace DE paralela a AC de modo que DE=BA. Agora, uma vez que BD=AC e \angle(ADE)=\angle(BAC)=40º, então o triângulo ABC é congruente ao triângulo EBD. Portanto, BE=BC, \angle(DBE)=40º e assim \angle(EBC)=60º. Deste modo, o triângulo BEC é equilátero e então EC=DE. Considerando agora o triângulo CED, vemos que ele é isósceles com ângulos da base iguais a 10º e daí, os ângulos ACD e CDE são congruentes portanto, \angle(ACD) que é o ângulo procurado é igual a 10º.Um abraço do Antonio Luiz(Gandhi)"claudio.buffara" [EMAIL PROTECTED] escreveu: Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando...A lei dos senos eh
extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao "magica" no estilo grego.[]s,Claudio. -- Cabeçalho original ---De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.brCópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas... []s, Claudio. De:
[EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim, Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos... Vamos lah: Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD /
BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus. Abracos, Nehab At 16:18 21/8/2006, you wrote: UFFA! Não consegui resover esta
aqui: "ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD." Palmerim = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ==Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista
emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir!
[obm-l] Limite interessant�ssimo
Caros colegas de lista, Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na maior parte do tempo. Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei surpreso com o resultado! Deleitem-se. Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x. O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando r---0+? Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la aqui depois. Um Abraço, George B. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Por acaso você é o Nehab que dava aula de matemática na turma IME do Impacto no início dos anos 80? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de TrianguloPois é, Claudio,Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo...Abraços,Nehab
Re: [obm-l] Re:[obm-l] Combinatoria nível IME/ITA
Perfeita a solução do mestre Buffara (a melhor que já vi), como não poderia deixar de ser A questão original do IME-1971 é: 5 rapazes e 5 moças devem posar para uma fotografia, ocupando 5 degraus de uma escadaria, de forma que em cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo? Resposta: (2!)^5 * (5!)^2 = 460.800. Aliás, o problema é bem caracterizado e pode ser generalizado, de modo que a resposta é imediata: (t!)^g * (g!)^t Em 23/08/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] escreveu: Aqui vai minha tentativa:Colocacao da Brasileiras (uma em cada lado da banca): 4!(4 escolhas para a revista que vai na frente da banca, 3 escolhas para a da lateral direita, 2 escolhas para a da lateral esquerda, e a revista da parte de tras fica determinada)Colocacao das Francesas: 4!Colocacao das Americanas: 4!Permutacao das 3 revistas em cada lado da banca: (3!)^4Total = (4!)^3*(3!)^4 = 17.915.904 maneiras Se os lados da banca fossem indistinguiveis, teriamos que usar permutacoes circulares para a colocacao das revistas, a o numero seria:(3!)^3*(3!)^4 = (3!)^7 = 279.936Mas o enunciado do problema deixa claro que os lados da banca sao bem detreminados e distintos um dos outros. []s,Claudio.-- Cabeçalho original ---De: [EMAIL PROTECTED]Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia:Data: Tue, 22 Aug 2006 23:06:03 -0300Assunto: [obm-l] Combinatoria nível IME/ITA Esta eu criei para o deleite dos amantes de questões do IME. Baseei-me numa questão do próprio IME, só que esta aqui é mais difícil. Um jornaleiro separou 12 revistas, todas diferentes entre si, sendo 4 brasileiras, 4 americanas e 4 francesas. Ele deseja expor as revistas, pendurando-as em sua banca segundo a seguinte disposição: 3 revistas na lateral direita, 3 na lateral esquerda, 3 na parte de trás e 3 na parte da frente, de forma que em cada lado da banca fique 1 revista brasileira, 1 americana e 1 francesa. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar as 12 revistas? Palmerim=Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Ola' pessoal, essa solucao aqui nao satisfaz pois usa mais de "uma reta magica"...mas ja' quebra um galho! 1) Trace a bissetriz do angulo C ate' encontrar o lado AB no ponto E. 2) Marque o ponto F sobre AC de modo que AD=AF. Trace os segmentos DF e FE. Como o angulo do vertice vale 100, entao os angulos da base valem 40 (angulos expressos em graus). De (1) , podemos dizer que os angulos BCE=ECF=20. Como BD=AC, entao (2) implica em FC=AB , pois BD=AC . Portanto FC=BC, de onde os triangulos ECF e ECB sao simetricos. Logo o angulo EFC=100. Assim, os angulos FEC=CEB=60. Portanto, tambem o angulo DEF=60. Mas o triangulo DAF e' isosceles, com angulos da base 20 (pois o angulo FAE=40). Assim, o angulo DFE=20+80=100. Portanto, os triangulos EFD e EFC sao simetricos (um lado comum entre 2 angulos iguais), de onde DF=FC. Portanto o triangulo DCF e' isosceles, com angulos da base iguais a 10 (pois o angulo DFA=20). Logo, o angulo
DCA=10. Abracos, Rogerio Ponce PS: Nehab, voce pode consultar a lista na web, no endereco http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.html O unico detalhe e' que entre a entrega dos emails e a publicacao do mesmo assunto na lista online, ha' um delay de algumas horas. Abracao, Rogerio. Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...
[]s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim,Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos...Vamos
lah:Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus.Abracos, NehabAt 16:18
21/8/2006, you wrote:UFFA! Não consegui resover esta aqui:"ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD." Palmerim= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Re: [obm-l] Questao de Triangulo
On Wed, Aug 23, 2006 at 09:48:43AM -0300, claudio.buffara wrote: Tambem nao encontrei. E passei um bom tempo tentando... A lei dos senos eh extremamente util, sem duvidas, mas de alguma forma, solucoes trigonometricas (e tambem por geometria analitica) nao tem o mesmo impacto pra mim que uma bela solucao magica no estilo grego. Não tenho uma solução super elementar, mas sei que este problema é bem clássico. Ele é tratado na dissertação de mestrado da Silvana Marini, orientada pelos meus colegas Carlos Tomei e Humberto Bortolossi. A dissertação dela está na home page do Humberto, aqui: http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/complexidade/complexidade-em-geometria.pdf O problema que vem sendo discutido recentemente na lista é o problema 1 da dissertação da Silvana, enunciado na página 28 e resolvido na página 31. Problema 1. Seja ABC um triângulo isósceles de ângulo principal A = 100◦graus. Como na figura 2.1, marque o ponto D na reta AB tal que AD = BC. Encontre o valor do ângulo BCD. O problema 2 é talvez o mais clássico do gênero: Problema 2. Seja ABC um triângulo isósceles, de ângulo principal A = 20◦graus. Considere os pontos P e Q nos lados AB e AC, respectivamente, tais que BCP = 50◦graus e CBQ = 60◦graus. Encontre o valor do ângulo∠BQP. []s, N. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Ola' pessoal, essa solucao aqui nao satisfaz pois usa mais de "uma reta magica"...mas ja' quebra um galho! 1) Trace a bissetriz do angulo C ate' encontrar o lado AB no ponto E. 2) Marque o ponto F sobre AC de modo que AD=AF. Trace os segmentos DF e FE. Como o angulo do vertice vale 100, entao os angulos da base valem 40 (angulos expressos em graus). De (1) , podemos dizer que os angulos BCE=ECF=20. Como BD=AC, entao (2) implica em FC=AB , pois BD=AC . Portanto FC=BC, de onde os triangulos ECF e ECB sao simetricos. Logo o angulo EFC=100. Assim, os angulos FEC=CEB=60. Portanto, tambem o angulo DEF=60. Mas o triangulo DAF e' isosceles, com angulos da base 20 (pois o angulo FAE=40). Assim, o angulo DFE=20+80=100. Portanto, os triangulos EFD e EFC sao simetricos (um lado comum entre 2 angulos iguais). Entao, DF=FC . Portanto o triangulo DCF e' isosceles, com angulos da base iguais a 10 (pois o angulo DFA=20). Logo, o
angulo DCA=10. Abracos, Rogerio Ponce PS: Nehab, voce pode consultar a lista na web, no endereco http://www.mail-archive.com/obm-l@mat.puc-rio.br/maillist.html O unico detalhe e' que entre a entrega dos emails e a publicacao do mesmo assunto na lista online, ha' um delay de algumas horas. Abracao, Rogerio.Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu: Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab At 15:08 22/8/2006, you wrote: E a solução macetosa? Ou seja, aquela reta auxiliar "mágica" que mata o problema em 2 linhas...
[]s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 00:20:32 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Oi, Palmerim,Tipicamente, angulos multiplos de 18 ou de 10 exigem uma certa dose de "malandragem". Eh muito facil ficar em "loop"... Tente desenvolver a equacao (3) seguindo outros caminhos aparentemente tao naturais quanto o escolhido e voce verah que as coisas podem ficar irritantes ! A chave do problema eh a lei dos senos...Vamos
lah:Chamando o angulo ACD de X, temos: ADC = 40-X e BCD = 40+X; da lei dos senos (no triangulo BDC), vem: (1) BD / BC = sen (40+X) / sen (40-X) Porem, BD = AC = 2.BC. cos 40; logo: (2) BD / BC = 2.cos 40; De (1) e (2) temos: (3) sen (40+X) = 2..sen (40-X).cos 40, que eh uma equacao trigonometrica razoavelmente simples (embora mil caminhos nos levem a lugar nenhum..). Utilizando a identidade trigonometrica 2.sen p.cos q = sen (p+q) + sen (p-q) no lado direito de (3), vem: (4) sen(40+X) = sen (80-X) + sen (-X). Logo, (5) sen(40+X) - sen (80-X) = sen (-X) Utilizando a identidade trigonometrica sen p - sen q = 2.sen (p-q)/2 .cos (p+q)/2 no lado esquerdo de (5), obtemos: 2.sen (X-20).cos 60 = sen (-X) sen (X-20) = sen (-X), que acarreta X = 10 graus.Abracos, NehabAt 16:18
21/8/2006, you wrote:UFFA! Não consegui resover esta aqui:"ABC e triangulo isosceles de base AC e angulo do vertice igual a 100°. Prolonga-se o lado BA ("para baixo") ate o ponto D, tal que BD seja congruente a AC. Calcular o valor do angulo ACD." Palmerim= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
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Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas:soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p.O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora!http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Polinomio + Combinatoria
Faltou algo: z = r.e^(i.teta) = [(1+x)/(1-x)]LeoOn 8/23/06, leonardo maia [EMAIL PROTECTED] wrote: De cara: não há raízes reais, pois o último termo vale 1 e os demais termos são não negativos. Pra achar as 2n raízes complexas: soma(i de 0 a 2n) C(2n,i)x^i = (1+x)^2nsoma(i de 0 a 2n) C(2n,i)(-x)^i = (1-x)^2n 2 p(x) = (1+x)^2n + (1-x)^2nse p(x)=0,[(1+x)/(1-x)]^2n = -1se z = r.e^(i.teta),teta = [(2k+1)/2].(pi/n), com k variando de 0 a 2n-1(confira!)pra voltar pro x vai alguma álgebra, que não fiz, mas acho que está encaminhado. []'s, Leo.On 8/23/06, Chicao Valadares [EMAIL PROTECTED] wrote: galera, um colega meu postou essa desafio no orkut eeu nao consegui resolver: Encontre TODAS as raízes (reais ou complexas) dopolinômiop(x)=C(2n,2n)x^2n+C(2n,2n-2)x^(2n-2)+C(2n,2n-4)x^(2n-4)+...+C(2n,0)=0Obs. C(n,p)=número de combinações de n elementostomados p a p. O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de Milo. O que há é pouca gente para dar por isso... Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos_As informações existentes nessa mensagem e no(s) arquivo(s) anexado(s) sãopara uso restrito, sendo seu sigilo protegido por lei. Caso não sejadestinatário, saiba que leitura, divulgação ou cópia são proibidas.Favorapagar as informações e notificar o remetente. O uso impróprio será tratadoconforme as normas da empresa e a legislação em vigor. Agradecemos suacolaboração.The information mentioned in this message and in the archives attachedareof restricted use, and its privacy is protected by law. If you are not theaddressee, be aware that reading, disclosure or copy are forbidden.Pleasedelete this information and notify the sender. Inappropriate use willbetracted according to company's rules and valid laws. Thank you for your cooperation.___Yahoo! Acesso Grátis - Internet rápida e grátis. Instaleo discador agora! http://br.acesso.yahoo.com =Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Questao de Triangulo
Viu so!!! Achei que ninguem ia notar... Embora com alguns neuronios ainda razoavelmente competentes mas muitos que se perderam pelo caminho, sou o proprio... E saudoso da turma que habita/habitava estas praias matematicas. Como dizem que velho deve jogar poquer ou fazer palavras cruzadas ANTES da vaca ir pro brejo, ainda acho mais divertido esfregar os neuronios restantes com a matemagica e a informatica. E acredite, o Rogerio Ponce (tambem daquela epoca, como muitos de voces) já me emocionou me telefonando por conta da minha soluccao nojenta do problema do triangulo e relembrando algumas do meu tempo de professor jovem :-) Abraccao, Nehab At 13:34 23/8/2006, you wrote: Por acaso você é o Nehab que dava aula de matemática na turma IME do Impacto no início dos anos 80? []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 22 Aug 2006 17:01:25 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Questao de Triangulo Pois é, Claudio, Juro que se eu a tivesse encontrado (e tentei) a teria explicitado. Mas se você a encontrou, não faça cerimônia... Adoro aprender.. Caso contrário, fica devendo... Abraços, Nehab
[obm-l] Re: [obm-l] Conjectura de Poincaré Provada. Impress ionante!
Olhem quem eh o 2 medalha de ouro da imo 1982, com full score. Um caso de ex-medalhista de grande destaque. Abcos Ricardo - Original Message - From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 23, 2006 12:01 PM Subject: [obm-l] Conjectura de Poincaré Provada. Impressionante! Há pessoas realmente insubstituíveis: http://noticias.terra.com.br/ciencia/interna/0,,OI1102865-EI238,00.html http://www1.folha.uol.com.br/folha/ciencia/ult306u15058.shtml Para acessar o paper: http://arxiv.org/perelman06/0211159.pdf Espero que isso faça com que o mundo reflita melhor sobre a importância das pessoas pobres e muitas vezes ignoradas. [] Ronaldo. PS:As pessoas preferem olhar para fora e não para dentro de si mesmas -- Albert Einstein. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.394 / Virus Database: 268.11.5/425 - Release Date: 22/8/2006 ___ O Yahoo! está de cara nova. Venha conferir! http://br.yahoo.com = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Limite interessantíssimo
R- +oo - Original Message - From: George Brindeiro [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, August 23, 2006 1:15 PM Subject: [obm-l] Limite interessantíssimo Caros colegas de lista, Não participo muito mandando problemas, apenas observo suas soluções na maior parte do tempo. Porém, me mandaram um problema em minha comunidade do orkut, 'Cálculo Diferencial e Integral', que é muito interessante, e nada trivial. Fiquei surpreso com o resultado! Deleitem-se. Imaginem uma circunferência C1 com equação (x- 1)²+y²=1 e outra circunferência C2, a ser encolhida, com raio r e centro na origem. P é o ponto (0,r) , Q é o ponto de intersecção superior das circunferências e R é o ponto de intersecção da reta PQ com o eixo x. O que acontecerá com R quando C2 encolher, isto é, quando r---0+? Minha solução está postada na comunidade, se quiserem eu posso postá-la aqui depois. Um Abraço, George B. _ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- No virus found in this incoming message. Checked by AVG Free Edition. Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.5/426 - Release Date: 23/8/2006 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
