Re: [obm-l] Financeira
Paulo, Suponha capital inicial 100 Rentabilidade dos Fundos de comodities= 142 Renda tributável= 142-128=14 Tributo=14*,25=3,5 Renda líquida dos Fundos de comodities =14-3,5=10,5. OK Repetindo para Fundos de renda fixa: Suponha capital inicial 100 Rentabilidade dos Fundos de renda fixa = X Renda tributável= X-128 Tributo= (X-128)*,3 Renda líquida dos Fundos de renda fixa =(X-128) -(X-128) *,3= (X-128)*(1-0,3) Para a rentabilidade líquida dos dois fundos serem iguais: Renda líquida dos Fundos de renda fixa Renda líquida dos Fundos de comodities (X-128)*(1-0,3) 10,5. Resolvendo: X143 :Retirando o capital inicial de 100. Rentabilidade 43% Qualquer dúvida retorne, Miletto. 2006/10/26, Paulo Cesar [EMAIL PROTECTED]: Se alguém que gosta puder ajudar, agradeço. Estou achando x45, mas o gabarito oficial é a letra d. Aí vai Os Fundos de Renda Fixa sofrem uma tributação de imposto de renda sobre os ganhos acima da variação da UFIR, com alíquota de 30%, e os Fundos de Commodities sofrem a mesma tributação com alíquota de 25%. Em um período no qual a UFIR aumentou 28%, a rentabilidade bruta dos Fundos de Commodities foi de 42% e a dos de Renda Fixa foi de x%. A rentabilidade líquida dos Fundos de Renda Fixa superará a dos de Commodities se e somente x for maior que: a)48 b)46 c)44 d)43 e)42 Muito obrigado PC PS: não precisa ser expert em financeira pra matar a questão. É só um problema de porcentagem disfarçado.
[obm-l] Re:[obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: OBM obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 27 Oct 2006 02:22:59 + (GMT) Assunto: [obm-l] (ITA - 90) SISTEMAS LINEARES - questão 17 Considere o sistema linear homogêneo nas incógnitas x_1, x_2, ..., x_n dado por: a_1 . x_1 + (a_1 + 1)x_2 + (a_1 + n - 1)x_n = 0 a_2 . x_1 + (a_2 + 1)x_2 + (a_2 + n - 1)x_n = 0 ... a_n . x_1 + (a_n + 1)x_2 + (a_n + n - 1)x_n = 0 onde a_1, a_2, ..., a_n são número reais dados. Sobre a solução deste sistema podemos afirmar que: Resp.: o sestema possui infinitas soluções quaisquer que sejam os valores dos número a_1, ..., a_n dados. Agradeço antecipadamente qualquer ajuda, Zeca Repare que a soma da primeira com a terceira coluna da matriz de coeficientes e igual ao dobro da segunda coluna. Logo, as colunas da matriz sao LD == posto da mztriz n == o sistema tem infinitas solucoes. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] Re:[obm-l] Métrica q ue induz a topologia discreta
Acho
que estah OK. Obrigado.
Artur
-Mensagem original-De: [EMAIL PROTECTED]
[mailto:[EMAIL PROTECTED]Em nome de
claudio.buffaraEnviada em: quinta-feira, 26 de outubro de 2006
12:52Para: obm-lAssunto: [obm-l] Re:[obm-l] Métrica que
induz a topologia discreta
Oi, Artur:
Se eu entendi direito o enunciado, para cada x em X, existe r_x em
(0,+inf) tal que B(x,r_x) inter X = {x}.
Isso nos permite definir (via axioma da escolha) uma função f:X -
(0,+inf) tal que f(x) = r_x.
Suponha que, para cada n em N, f^(-1)( (1/n,+inf) ) seja
enumerável.
Nesse caso, Y = União(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) será um subconjunto
enumerável de X, já que é a reunião enumerável de conjuntos enumeráveis.
No entanto, Y = União(n em N) f^(-1)( (1/n,+inf) ) =
f^(-1)( União(n em N) (1/n,+inf) ) =
f^(-1)( (0,+inf) ) = X==
X é enumerável == contradição.
Logo, vai existirp em Ntal que f^(-1)( (1/p,+inf) ) é não
enumerável.
Tomemos A = f^(-1)( (1/p,+inf) ) e eps = 1/p.
Então Aé um subconjuntonão-enumerável de X tal que, para cada
x em A,
B(x,eps) inter A = {x}.
O que você acha?
[]s,
Claudio.
De:
[EMAIL PROTECTED]
Para:
obm-l@mat.puc-rio.br
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Data:
Fri, 20 Oct 2006
13:23:49 -0300
Assunto:
[obm-l] Métrica que
induz a topologia discreta
Gostaria de comentários a respeito da
demonstraçãoapresentada a seguir:
Afirmação:
Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma
métrica definida em X que induza a topologia discreta.(A
topologiadiscreta é aquela em que conjuntos formados por um único
elementos são abertos, o que equivale a dizer que nenhum elemento de X é ponto
de acumulação de X - daí o nome discreta). Então,para algum eps0,
existe um subconjunto não enumerável Atal que d(x1,x2) = eps
para todos elementos distintos x1 e x2 de A.(O caso trivial é quando d é
a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se x1x2, e
d(x1,x2) =0, se x1= x2. Amétrica citada no enunciado não tem que
ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse,nada teríamos a
demonstrar.)
Demonstração.
Como o conjunto {x} é aberto qualquer que
sejax de X, para cada x existe r_x 0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo
B(x, r_x) a bola aberta de centro em x e raio r_x. Para cada inteiro positivo
n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o
conjunto não-enumerável {r_x} e é dado pela uniao enumeravel dos
A_n,segue-se que nao é possível que todos os A_n contenham uma
quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x} seria enumerável).
Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel. Se agora definirmos
eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m}, então d(x1, x2) =
1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é enumerável pois é
equivalente ao naoo enumerávelA_m inter {r_x}.
Eu achei que estava certo, mas acho que passei por
cima de um detalhe, qual seja,o de que {r_x} não é enumerável. Na
realidade, a cada x podemos associar valores de r_x pertencentes a um
intervalo aberto do tipo (0, b), bfinito. Mas isso garante que podemos
estabelecer uma bijecao entre X e um conjunto de raios r_x? Estou na
dúvida.
Abraços
Artur
[obm-l] Re:[obm-l] Métrica que induz a top ologia discreta
Exemplo de um espaco metrico X nao enumeravel com uma metrica que induz a
topologia discreta e tal que e possivel encontrar um
subconjunto nao enumeravel Y de X tal que cada elemento de (0,+inf) e raio de
alguma bola centrada em algum elemento de Y e
contondo apenas aquele elemento.
Seja X = Uniao(a em (0,+inf)) {(k,ak) | k e inteiro positivo}.
Ou seja, X e o conjunto de pontos de abscissa inteira positiva em cada
semi-reta emanando da origem e contida no primeiro quadrante.
X e claramente nao enumeravel.
Definimos d:XxX - (0,+inf) por:
d((m,am),(n,an)) = |m-n|a
e
d((m,am),(n,bn)) = am+bn, se a b.
(essa poderia ser chamada de metrica Federal Express: se p e q nao sao
colineares com a origem, entao, para ir de p ate q, voce
primeiro tem que ir de p ate a origem (Memphis, o centro de triagem da FedEx) e
depois ir da origem ate q).
Claramente, para quaisquer p, q em X, d(p,q) = d(q,p), d(p,q) = 0 com
igualdade sss p=q e, finalmente:
d((m,am),(n,an)) + d((n,an),(k,ak)) = |m-n|a + |n-k|a = |m-k|a =
d((m,am),(k,ak));
Se a b:
d((m,am),(n,an)) + d((n,an),(k,bk)) = |m-n|a + an + bk = ma + bk =
d((m,am),(k,bk))
(m = n == |m-n|+n = m-n+n = m = m e m n == |m-n|+n=2n-m 2m-m = m)
Se a b e b c:
d((m,am),(n,bn)) + d((n,bn),(k,ck)) = am+ bn + bn + ck = am+ck =
d((m,am),(k,ck)).
Logo, d e uma metrica.
O ponto mais proximo de (1,a) eh (2,2a), que esta a uma distancia de a.
Qualquer ponto em outra semi-reta, digamos (k,bk) estar a uma distancia de a+bk
a.
Se m 1, os pontos mais proximos de (m,am) sao (m-1,a(m-1)) e ((m+1,a(m+1)),
ambos a uma distancia a.
Logo, qualquer bola de centro em (m,am) e raio a/2 vai conter apenas (m,am). Ou
seja, d induz a topologia discreta em X.
Seja agora a em (0,+inf). Entao, a bola de centro em (1,2a) e raio a contem
apenas o ponto (1,2a).
Assim, seja Y = Uniao(a em (0,+inf)) {(1,2a)}. Y e nao enumeravel e cada
elemento de (0,+inf) e raio de alguma bola centrada em
algum elemento de Y e contendo apenas aquele elemento.
Alguem ve algum furo no exemplo acima?
[]s,
Claudio.
-- Cabeçalho original ---
De: [EMAIL PROTECTED]
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Data: Fri, 20 Oct 2006 13:23:49 -0300
Assunto: [obm-l] Métrica que induz a topologia discreta
Gostaria de comentários a respeito da demonstração apresentada a seguir:
Afirmação:
Seja X um conjunto não enumerável e seja d uma métrica definida em X que
induza a topologia discreta. (A topologia discreta é aquela em que conjuntos
formados por um único elementos são abertos, o que equivale a dizer que
nenhum elemento de X é ponto de acumulação de X - daí o nome discreta).
Então, para algum eps0, existe um subconjunto não enumerável A tal que
d(x1,x2) = eps para todos elementos distintos x1 e x2 de A. (O caso
trivial é quando d é a chamada métrica discreta, dada por d(x1, x2) = 1, se
x1x2, e d(x1,x2) =0, se x1= x2. A métrica citada no enunciado não tem que
ser um múltiplo positivo da métrica discreta. Se fosse, nada teríamos a
demonstrar.)
Demonstração.
Como o conjunto {x} é aberto qualquer que seja x de X, para cada x existe
r_x 0 tal que B(x, r_x) = {x}, sendo B(x, r_x) a bola aberta de centro em x
e raio r_x. Para cada inteiro positivo n, seja A_n = [1/n, oo) de modo que
Uniao A_n = (0, oo). Como (0, oo) contem o conjunto não-enumerável {r_x} e é
dado pela uniao enumeravel dos A_n, segue-se que nao é possível que todos os
A_n contenham uma quantidade apenas enumerável de números r_x (ou {r_x}
seria enumerável). Assim, existe m tal que A_m inter {r_x} nao é enumeravel.
Se agora definirmos eps = 1/m e A ={x de X correspondentes a um r_x de A_m},
então d(x1, x2) = 1/m = eps para todos x1 e x2 distintos de A e A naoo é
enumerável pois é equivalente ao naoo enumerável A_m inter {r_x}.
Eu achei que estava certo, mas acho que passei por cima de um detalhe, qual
seja, o de que {r_x} não é enumerável. Na realidade, a cada x podemos
associar valores de r_x pertencentes a um intervalo aberto do tipo (0, b), b
finito. Mas isso garante que podemos estabelecer uma bijecao entre X e um
conjunto de raios r_x? Estou na dúvida.
Abraços
Artur
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=
RES: [obm-l] Vamos tentar pensar diferente?
Oi Nehab, Sem dúvida nenhuma, a sua argumentação faz sentido. O IME é uma escola de engenharia, não um instituto de matemática. Nós desta lista, que temos prazer em estudar matemática, devemos, porém, considerar que vários assuntos aqui discutidos podem não ser mesmo essenciais para um engenheiro (aliás, eu sou engenheiro). É um fato que a maior parte dos engenheiros nao aprecia este lado mais formal da matematica, este lado mais abstrato e nao se preocupam tanto com formalismos. Por exemplo, a grande maioria dos engenheiros trabalha com funções, mas poucos sabem definir formalmente o que é limite ou continuidade. Poucos sabem dar a definicao epsilon/delta, embora a maioria tenha um conceito intuitivo correto do que limite e continuidade significam. Isto nao eh critica, apenas consequencia das prioridades de um engenheiro. Isto para nos pode ser um tanto frustrante, principlamente para quem gosta de Analise, parte da matematica que lida com conceitos que muitos consideram, assim, um tanto fosforicos, como definicoes rigorosas de integral. Por isso, devemos aceitar que nem todos (alias, muito poucos) se interessam em saber se existem funcoes continuas soh nos racionais, se existem ou nao uma infinidade de numeros perfeitos, etc. Eu mesmo, hah pouco tempo, enviei uma mensagem sobre metrica induzindo a topologia discreta. Por mais interessante que isso me pareca, devo aceitar que poucos vao apreciar tais detalhes e que um engenheiro nao tem mesmo que conhecer isso para ser competente. Eu, por exemplo, por por motivos profissionais, conheco alguma coisa sobre a legislacao do setor eletrico brasileiro. Mas me restrinjo à parte relacionada ao meu trabalho. Tenho, porém, um colega advogado que se deleita analisando a legislação, entrando em aspectos que poucas pessoas conhecem. Ele não se interessa por matematica, mas respeita o meu interesse, assim como respeito o interesse dele por aspectos legais em que não pretendo me aprofundar. Assim eh a vida, e a direcao do IME deve ter seus motivos. Os quais, eh claro, em nada impedem que aqui continuemos a nos preocupar com o que nos interessa e nos dah satisfacao. Artur -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quinta-feira, 26 de outubro de 2006 10:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Vamos tentar pensar diferente? Oi, gente, É interessante perceber a frustração geral (aqui e alhures...) com relação à prova discursiva de Matemática do IME. Entretanto, descontados os exageros (até justificáveis) dos julgamentos emitidos ainda no decorrer do susto, gostaria de meter o meu bedelho nesta história, pois fiz e faço parte dela. Mas para evitar que alguém de forma talvez afoita pense em quem é este idiota com esta opiniao maluca, aqui vão minhas credenciais (pois infelizmente às vezes a gente tem que apresentar as credenciais - é assim que o mundo funciona; desta forma poderão me esculhambar ou contra-argumentar com conhecimento do interlocutor). Fui aluno civil do IME (1965/69 - segunda turma de civis - Elétrica), professor durante vários anos do Básico, com passagens na Elétrica, e na pós de Nuclear - se é que não esquecí alguma coisa (ah, isso há mais ou menos 30 anos...).Participei de forma relevante na banca de matemática de 1972 onde sem dúvida erramos a mão, com uma prova muito difícil para a época.Também fui vedete de Vestibular durante alguns anos muito felizes da minha vida, onde tive a honra e prazer de ser professor (no vestiba e no IME) de algumas cabeças geniais que habitam esta lista e de outras que não a habitam mas são também geniais e respeitados professores e profissionais do mercado. E nos ultimos anos tenho atuado em consultoria em Informática e ainda, de vez em quando espero cada vez mais), no magistério em Matemática (minha alucinada, incompreensível e tresloucada paixão). Dito isto, vamos lá, embora caiba ressaltar que não tenho procuração de ninguém para falar em nome do IME: falo exclusivamente em meu próprio nome. Além disso, ressalto que num primeiro momento (e confesso, num segundo momento também) fiquei desapontado. Mas talvez pela idade :-) aprendi a ser menos afoito em meus julgamentos (quem me conheceu quando jovem nem vai acreditar nisto...). Vejamos alguns aspectos que resolvi colocar na minha própria mesa para reflexão, considerando que minimamente parto da premissa que a banca obviamente SABE que concebeu provas bem mais fáceis que as dos anos anteriores e que, convenhamos, dificilmente isto aconteceu por acaso ou incompetência. Alguns Fatos (discutíveis ou não, mas minha crença) 1: O IME é uma escola de engenharia, não um instituto de matemática (nem pura nem impura) - cuidado com os próprios fígados e egos - não é nada pessoal...:-); 2: Um alto percentual de ex-alunos do IME sabidamente NÃO segue a carreira de engenharia (razão da existência da Instituição), mas de
[obm-l] Complexidade em Geometria.
Olá a todos. O professor Nicolau em uma mensagem a tempos atrás citou a tese de uma aluna da PUC (Silvana Marini) em que ela discutia o teorema de Napoleão. Um aspecto interessante nesta tese (que ainda estou lendo) é a possibilidade aparentemente teórica de provar qualquer teorema em geometria com métodos automáticos.Eu achei esses links interessantes: http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/complexidade/html/cap01.html http://www.uesc.br/arbelos/arquivo/sm/2002/pl.01.pdf http://wslc.math.ist.utl.pt/ftp/pub/DionisioFM/04-DGM-dlogisa.pdf Gostaria de perguntar se existe alguém que conhece e sabe usar esses provadores. Há alguns programas na rede que fazem isso e estou tentando aprender a usar, mas se houver alguém que já é usuario desses programas seria ótimo. Obrigado Ronaldo. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Raízes duplas em intervalos
Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a (I)2ab+a^2 = -2 (II)d = - a^2b (III) Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9 Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan
[obm-l] Geometria...
Estou apanhanda desse exercício há alguns dias... Alguém por favor me dá uma mão... "Se os lados e as alturas de um triângulo estão em Progressão aritmética, prove que ele é equilátero..." Muito Obrigado. João
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra
De fato, a solucao do Buffara foi bem melhor.Eu tinha ido direto na indução pois o Ramon tinha tido problemas com a indução.Acho que resolvi os outros dois problemas:e = (n+1) * (n+2) * ... * (n+n) e = 1 * 2 * ... * n * (n+1) * (n+2) * ... * (n+n) / [ 1 * 2 * ... * n ]e = (2n)! / n! O outro problema eu provavelmente não resolvi do jeito mais rápido:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2Usando a soma de PA, temos:1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = (2n-1+1)*n/2 = n^2 Entao:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + [(-1)^(n-1)] * (1 + 3 + ... + (2n-1))Agora vamos nos focar nos casos em que n é par, i.e ., n = 2k:f(n) = 1 - (1 + 3) + (1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7) + ... + (1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))Agrupando os pares de termos:f(n) = [1 - (1 + 3)] + [(1 + 3 + 5) - (1 + 3 + 5 + 7)] + ... + [(1 + 3 + ... + (4k-3)) - (1 + 3 + ... + (4k-3) + (4k-1))] f(n) = -3 + -7 -11 - ... - (4k-1) = - [(3 + 4k-1)*k/2] = - (2k + 1)*kVoltando para n:f(n) = -(n+1)*n/2, para n par.Se n for ímpar teremos:f(n) = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... + (n-2)^2 - (n-1)^2 + n^2 f(n) = f(n-1) + n^2Sendo que n-1 é par, assim, já sabemos calcular f(n-1):f(n) = -((n-1)+1)*(n-1)/2 + n^2f(n) = -(n^2 - n)/2 + n^2f(n) = (n+1)*n/2, para n impar.Ou seja:f(n) = (-1)^(n+1) * (n+1) * n/2 Se você está querendo treinar indução, recomendo que tente provar diretamente esse resultado usando indução.On 10/26/06, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Ou então, você repara que: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 + ... + 1/(2n-1) - 1/2n = 1 +1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +1/6 + 1/7 + 1/8 + ... + 1/(2n-1) + 1/(2n) -1-1/2 -1/3 - 1/4...- 1/n = (1 +1/2 + 1/3 + ... + 1/(2n)) - (1 + 1/2 + 1/3 + .. + 1/n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) + ... + 1/(2n). (espero que o espaçamento tenha saído OK...) []s, Claudio. De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 26 Oct 2006 10:23:41 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Fwd: Dúvidas em Álgebra Só tentei resolver a primeira questão. Deu certo por indução. As vezes você não organizou muito bem as expressões e acabou se confundindo por isso. Ou então eu errei! Para facilitar, seja: S(n) = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n H(n) = 1/(n+1) + 1/(n+2) +...+ 1/2n Observe que: H(n+1) = 1/(n+1+1) + ... + 1/2n + 1/2n+1 + 1/2(n+1) = H(n) - 1/(n+1) + 1/(2n+1) + 1/2(n+1) ou seja: H(n) = H(n+1) + 1/(n+1) - 1/(2n+1) - 1/2(n+1) H(n) = H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1) Queremos mostrar que S(n) = H(n). Base da indução (n=1): S(1) = 1 - 1/2 = 1/2 = 1/(1 + 1) = H(1) ok. Passo da indução: Precisamos mostrar que se S(n) = H(n), então S(n+1) = H(n+1). S(n+1) = S(n) + 1/(2n+1) - 1/(2n+2) = H(n) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) Utilizando a relacao entre H(n) e H(n+1): S(n+1) = (H(n+1) + 1/2(n+1) - 1/(2n+1)) + 1/(2n+1) - 1/2(n+1) S(n+1) = H(n+1) On 10/26/06, Ramon Carvalho wrote: From: Ramon Carvalho Date: 24/10/2006 19:57 Subject: Dúvidas em Álgebra To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Provar que a igualdade é verdadeira: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 +...+ 1/2n-1 - 1/2n = 1/n+1 +...+ 1/2n eu tentei fazer por indução, mas ficou um termo que não se encaixava em canto nenhum 2) Achar o valor das expressões abaixo e = ( n+1 )(n+2)...(n+n) f = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 +..+ [ (-1)^n-1 ] x n^2 Para calcular estas somas eu sempre tento achar um padrão entre os elementos para tentar uma indução ou há outro modo mais eficaz? Já que nem sempre fica fácil ver um certo padrão entre os termos. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Ra�zes duplas em intervalos
Ué Renan. Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursos básicos envolvendo polinômios.. Mas se quiser complicar :-), ache o MDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +d e a derivada dele, pois se um polinômio possui raiz a de multiplicidade k1, então p'(x) possui raiz a com multiplicidade k-1... Achei exatamente o mesmo resultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-). Logo, prefiro sua solução ! Abraços, Nehab At 22:13 27/10/2006, you wrote: Olá amigos da lista, Queria pedir ajuda na seguinte questão: Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo? Resolução x^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b) Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2b Isso resulta em b+2a = -3 - b = -3 - 2a(I) 2ab+a^2 = -2 (II) d = - a^2b(III) Substituindo b (I) em (II) 2a(-3-2a) + a^2 = -2 para a pertencente a ]0,1[ a = (SQRT(15)-3)/3 b = (-3 -2*sqrt(15))/3 e d = - a^2b logo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9 Agradeço antecipadamente pela ajuda. J.Renan = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos
Olá Nehab!O que eu queria Nehab, era achar uma solução mais geral que não caísse em um sistema de equações (se fosse de um grau maior o negócio ia complicar). Tinha me esquecido desse teorema que você falou sobre multiplicidade de raízes. Esse tipo de exercício sempre 'cheira' uma saída utilizando o teorema de bolzano (ao menos pra mim, que não tenho o olfato muito desenvolvido). Vou ver se consigo resolver também por essa forma que você sugeriu. Obrigado pela resposta rápida!Abraços,J. RenanEm 28/10/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] escreveu:UéRenan.Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursos básicos envolvendo polinômios.. Mas se quiser complicar :-), ache oMDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +de a derivada dele, pois se umpolinômio possui raiz a de multiplicidade k1, então p'(x)possui raiz a com multiplicidade k-1... Achei exatamente o mesmoresultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).Logo,prefiro sua solução !Abraços,NehabAt 22:13 27/10/2006, you wrote: Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constantereal. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ?Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que sejamais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b) Onde a e b são as raízesx^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a(I)2ab+a^2 = -2 (II) d = - a^2b(III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3 e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos
Partindo um pouco da idéia do Nehab, faça p(k)=0, e depois p'(k)=0. Quando fizer isso para a derivada, encontrará a raiz k. Depois volta pro p(k)=0, substituindo o k. Daí d=-k^3-3k^2+2k, e é só fazer a conta..Iuri On 10/28/06, Carlos Eddy Esaguy Nehab [EMAIL PROTECTED] wrote: UéRenan.Achei sua solução ótima e bem inteligente, por usar apenas recursosbásicos envolvendo polinômios.. Mas se quiser complicar :-), ache oMDC entre p(x) = x^3 + 3x^2 -2x +de a derivada dele, pois se um polinômio possui raiz a de multiplicidade k1, então p'(x)possuiraiz a com multiplicidade k-1... Achei exatamente o mesmoresultado que você, com um pouquinho mais de trabalho ...:-).Logo, prefiro sua solução !Abraços,NehabAt 22:13 27/10/2006, you wrote:Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla nointervalo ]0,1[ ?Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que sejamais inteligente que a solução abaixo? Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízesx^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a(I) 2ab+a^2 = -2 (II)d = - a^2b(III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[ a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista emhttp://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html=
Re: [obm-l] Geometria...
Oi, João, Ai vai uma solução: Se os lados a, b e c estão em PA, façamos a = 2x-r, b = 2x e c = 2x+r. Se S é a área e as alturas também estão em PA, 2S/a ; 2S/b e 2S/c estão em PA, ou seja: S/b é média aritmética de S/a e S/c ou seja: 1/2x = [1/(2x-r) + 1/)2x+r) ]/2 o que acarreta r =0. Abraços, Nehab At 23:40 27/10/2006, you wrote: Estou apanhanda desse exercício há alguns dias... Alguém por favor me dá uma mão... Se os lados e as alturas de um triângulo estão em Progressão aritmética, prove que ele é equilátero... Muito Obrigado. João
[obm-l] Re: [obm-l] Raízes duplas em intervalos
Olá, a raiz dupla tambem eh raiz da derivada do polinomio, entao: x^2 + 6x - 2 = 0 raizes: [ -6 +- raiz(36 + 8) ] /2 = [ -6 +- 2sqrt(11) ] / 2 = -3 +- sqrt(11) bom, 3 sqrt(11) 4 ... logo, a raiz sqrt(11) - 3 está em ]0, 1[... substituindo no polinomio original, temos: [ 11sqrt(11)+ 3*9*sqrt(11) - 3*3*11 - 27 ] + 3 [11 - 6sqrt(11) + 9] - 2 [sqrt(11) - 3] + d = 0 18sqrt(11) - 60 + d = 0 d = 60 - 18sqrt(11) da uma conferida nas contas, já que nao bateu com sua resposta... abraços, Salhab - Original Message - From: J. Renan To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, October 27, 2006 11:13 PM Subject: [obm-l] Raízes duplas em intervalos Olá amigos da lista,Queria pedir ajuda na seguinte questão:Considere a equação: x^3 + 3x^2 -2x +d = 0, em que d é uma constante real. Para qual valor de d a equação admite uma raiz dupla no intervalo ]0,1[ ? Não existe nenhuma solução utilizando o Teorema de Bolzano que seja mais inteligente que a solução abaixo?Resoluçãox^3 + 3x^2 -2x +d = (x-a)^2(x-b)Onde a e b são as raízes x^3 + 3x^2 -2x +d = x^3 - (b+2a)x^2 + (2ab+a^2)x - a^2bIsso resulta emb+2a = -3 - b = -3 - 2a (I)2ab+a^2 = -2 (II)d = - a^2b (III)Substituindo b (I) em (II)2a(-3-2a) + a^2 = -2para a pertencente a ]0,1[a = (SQRT(15)-3)/3b = (-3 -2*sqrt(15))/3e d = - a^2blogo d = (2(5*SQRT(15)-18))/9Agradeço antecipadamente pela ajuda.J.Renan No virus found in this incoming message.Checked by AVG Free Edition.Version: 7.1.408 / Virus Database: 268.13.16/504 - Release Date: 27/10/2006
Re: RES: [obm-l] Vamos tentar pensar diferente?
Oi, Renan, Sem dúvida nenhuma, a sua argumentação faz sentido. O IME é uma escola de engenharia, não um instituto de matemática. Nós desta lista, que temos prazer em estudar matemática, devemos, porém, considerar que vários assuntos aqui discutidos podem não ser mesmo essenciais para um engenheiro (aliás, eu sou engenheiro). É um fato que a maior parte dos engenheiros nao aprecia este lado mais formal da matematica, este lado mais abstrato e nao se preocupam tanto com formalismos. Sem dúvida, o pragmatismo é uma virtude importante para o engenheiro, não o formalismo, estrito senso. De qualquer forma, tanto você quanto eu somos engenheiros e apreciamos o tal formalismo... Por exemplo, a grande maioria dos engenheiros trabalha com funções, mas poucos sabem definir formalmente o que é limite ou continuidade. Poucos sabem dar a definicao epsilon/delta, embora a maioria tenha um conceito intuitivo correto do que limite e continuidade significam. Isto nao eh critica, apenas consequencia das prioridades de um engenheiro. Exatamente. E ele não precisa conhecer epsilons e deltas. Aliás, a definição de limite através de epsilons e deltas veio MUITO tempo depois da definição mais pragmática, que é (o pragmatismo), em minha opinião, uma das principais habilidades de um engenheiro.Acho até que Nicolau já comentou sobre a definição de limite com epsilons e deltas nesta Lista. Alías a questão de aptidões diferentes eu vivenciei em minha própria casa. Tenho três filhos brilhantes (sou coruja, sim, que jeito).Dois são muito bons em Matemática (um deles, o Diego, já andou pelas olimpíadas da vida, de Matemática e de Programação); um faz doutorado em computação gráfica em Princeton e o outro Finanças em Berkeley.Suas habilidades são completamente diferentes ! O terceiro é médico pediatra e infectologista e uma das raras competições a que nos dedicamos é um joguinho idiota chamado Tetris (bi e tridimensional) onde advinha quem dá a maior surra em todo mundo? O médico. Pois é, há vários tipos de inteligências, não é mesmo? Isto para nos pode ser um tanto frustrante, principlamente para quem gosta de Analise, parte da matematica que lida com conceitos que muitos consideram, assim, um tanto fosforicos, como definicoes rigorosas de integral. Não Arthur, não precisa ser frustrante. São apenas diferentes e possuem outras aptidões e interesses diferentes dos nossos. Por isso, devemos aceitar que nem todos (alias, muito poucos) se interessam em saber se existem funcoes continuas soh nos racionais, se existem ou nao uma infinidade de numeros perfeitos, etc. Eu mesmo, hah pouco tempo, enviei uma mensagem sobre metrica induzindo a topologia discreta. Por mais interessante que isso me pareca, devo aceitar que poucos vao apreciar tais detalhes e que um engenheiro nao tem mesmo que conhecer isso para ser competente. Sem dúvida, mas esta lista, que é grande para caramba, não lhe basta? Olha aquela velha e batida frase o que seria do azul se todos gostassem do amarelo? (será que é isto?). Acho que o mundo seria uma chatice se todos fossem iguais a mim... Eu não me suportaria me vendo refletido em todo mundo que me cerca. Viva a diferença (alías, não sei como o manjado Narciso se aguentava!). Eu, por exemplo, por por motivos profissionais, conheco alguma coisa sobre a legislacao do setor eletrico brasileiro. Mas me restrinjo à parte relacionada ao meu trabalho. Tenho, porém, um colega advogado que se deleita analisando a legislação, entrando em aspectos que poucas pessoas conhecem. Ele não se interessa por matematica, mas respeita o meu interesse, assim como respeito o interesse dele por aspectos legais em que não pretendo me aprofundar. Assim eh a vida, e a direcao do IME deve ter seus motivos. Os quais, eh claro, em nada impedem que aqui continuemos a nos preocupar com o que nos interessa e nos dah satisfacao. Artur Abração, Nehab -Mensagem original- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Carlos Eddy Esaguy Nehab Enviada em: quinta-feira, 26 de outubro de 2006 10:21 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Vamos tentar pensar diferente? Oi, gente, É interessante perceber a frustração geral (aqui e alhures...) com relação à prova discursiva de Matemática do IME. Entretanto, descontados os exageros (até justificáveis) dos julgamentos emitidos ainda no decorrer do susto, gostaria de meter o meu bedelho nesta história, pois fiz e faço parte dela. Mas para evitar que alguém de forma talvez afoita pense em quem é este idiota com esta opiniao maluca, aqui vão minhas credenciais (pois infelizmente às vezes a gente tem que apresentar as credenciais - é assim que o mundo funciona; desta forma poderão me esculhambar ou contra-argumentar com conhecimento do interlocutor). Fui aluno civil do IME (1965/69 - segunda turma de civis - Elétrica), professor durante vários anos do Básico, com passagens na Elétrica, e na pós de Nuclear -
[obm-l] Desculpe, Arthur...
Arthur, Desculpe, pois eu havia respondido um email ao Renan e repeti a dose na resposta ao seu Abraços, Nehab = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
