[obm-l] Maximização
Bom dia. Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas de maximização: Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para fabricação. As malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por unidade da mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados a seguir: Departamento 1 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 0 (não produz) Departamento 2 Horas / dia: 540 Horas necessárias (mala): 0 (não produz) Horas necessárias (mochila): 3 Departamento 3 Horas / dia: 440 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 2 Departamento 4 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 6/5 Horas necessárias (mochila): 3/2 Maximizar o lucro da empresa. Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os dados abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos três departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada departamento e o lucro unitário de cada placa: Departamento I: Tempo disponível: 900h Departamento II: Tempo disponível: 400h Departamento III: Tempo disponível: 600h Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40): Operações em horas (departamento I): 2h Operações em horas (departamento II): 2h Operações em horas (departamento III): 4h Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30): Operações em horas (departamento I): 5h Operações em horas (departamento II): 5h Operações em horas (departamento III): 2h Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20): Operações em horas (departamento I): 10h Operações em horas (departamento II): 3h Operações em horas (departamento III): 2h Maximizar o lucro da empresa. Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y): Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4) Restrições de cada departamento: 2x1 + 0y1 = 300 3y2 + 0x2 = 540 2x3 + 2y3 = 440 (6/5)x4 + (3/2)y4 = 300 Equação e inequações do segundo problema: Função lucro: 40a + 30b + 20c Restrições de cada departamento: 2a+5b+10c=900 2a+5b+3c=400 4a+2b+2c=600 Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições interdependentes e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro problema) ou três (no segundo problema) inequações? Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser considerada a maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para que as restrições pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes? Obg, Vinícius
[obm-l] Derivadas
Gostaria de saber onde posso encontrar uma lista as derivadas mais famosas, Leandro
Re:[obm-l] Funcoes
f(1) = f(1-0) = 1-f(0) = 1 f(1/3) = f(1)/2 = 1/2 f(2/3) = f(1-1/3) = 1-f(1/3) = 1-1/2 = 1/2 = f(1/3) == esta funcao nao eh crescente - pode ser no maximo nao-decrescente. Supondo que seja, prosseguimos... 1/3 = x = 2/3 == f(x) = 1/2. f(1/9) = f(1/3)/2 = 1/4 == f(8/9) = 3/4 f(2/9) = f(2/3)/2 = 1/4 == f(7/9) = 3/4 Logo, 1/9 = x = 2/9 == f(x) = 1/4 3/9 = x = 6/9 == f(x) = 2/4 7/9 = x = 8/9 == f(x) = 3/4. f(1/27) = f(1/9)/2 = 1/8 == f(26/27) = 7/8 f(2/27) = f(2/9)/2 = 1/8 == f(25/27) = 7/8 f(7/27) = f(7/9)/2 = 3/8 == f(20/27) = 5/8 f(8/27) = f(8/9)/2 = 3/8 == f(19/27) = 5/8 Logo, 1/27 = x = 2/27 == f(x) = 1/8 3/27 = x = 6/27 == f(x) = 2/8 7/27 = x = 8/27 == f(x) = 3/8. 9/27 = x = 18/27 == f(x) = 4/8 19/27 = x = 20/27 == f(x) = 5/8 21/27 = x = 24/27 == f(x) = 6/8 25/27 = x = 26/27 == f(x) = 7/8 A esse ponto, parece claro que estamos lidando com sub-intervalos de [0,1] da forma [m/3^k,n/3^k]. 18 = 2*3^2 e 2*3^6 = 1458 1991 2187 = 3^7 == 2/3^5 18/1991 1/3^4 == temos que achar f(2/3^5) e f(1/3^4). f(2/3^5) = f(2/3^4)/2 = f(2/3^3)/4 = (1/8)/4 = 1/32 f(1/3^4) = f(1/3^3)/2 = (1/8)/2 = 1/16 = 2/32 == 1/32 = f(18/1991) = 1/16. Logo, temos que melhorar nossa aproximacao de 18/1991 por meio de fracoes da forma n/3^k. Sabemos que 2/3^5 18/1991 3/3^5. E quanto a 3^6? 18/1991 = x/3^6 == x = 18*729/1991 == 6 x 7. f(6/3^6) = f(2/3^5) = 1/32 f(7/3^6) = f(7/3^5)/2 = f(7/3^4)/4 = f(7/3^3)/8 = 3/64. Ainda nao foi suficiente... 18/1991 = x/3^7 == x = 18*2187/1991 == 19 x 20 f(19/3^7) = f(19/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128 f(20/3^7) = f(20/3^3)/2^4 = (5/8)/16 = 5/128 = f(19/3^7) Conclusao: f(18/1991) = 5/128. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 29 Mar 2007 22:46:18 -0300 Assunto: [obm-l] Funcoes Oi, Eu pedi ajuda nesse problema mas nao chegou o email, entao to mandando de novo, desculpem se chegar duas vezes. Seja f uma funcao crescente definida para todo numero real x, 0 = x = 1, tal que f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 e f(1 - x)=1 - f(x). Encontre f(18/1991). = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re:[obm-l] Calculo
Analise Matematica, que eh o embasamento teorico do calculo, ou seja, com demonstracoes rigorosas de todos os teoremas. Eu sugiro comecar com os livros do Elon Lages Lima, que sao otimos e baratos. Analise Real, vols. 1 e 2 e Curso da Analise - vols. 1 e 2. Todos publicados pelo Impa. []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Thu, 29 Mar 2007 22:30:06 + Assunto: [obm-l] Calculo Olá para todos. O que se estuda depois de calculo diferencial e integral?Bem eu ja estudei os dois livros do leithold e agora eu quero continuar os estudos nessa area, mas eu tava dando uma olhada em algunss livros de calculo avançado, e a ementa parece ser a mesma. Alguem poderia me dar uma luz e sugerir umas bibliografias. Desde ja agradeço _ Chegou o Windows Live Spaces com rede social. Confira http://spaces.live.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] raízes comuns e IME 56
Sauda,c~oes,
Oi Claudio,
Seja mdc(m,n)=d.
Como provar que mdc(x^n-1,x^m-1)=x^d-1 ?
Resumindo minhas tentativas, x^n-1=(x^d-1)p(x)
e x^m-1=(x^d-1)q(x) com grau[p(x)]=n-d ;
x^m-1=(x^d-1)q(x) com grau[q(x)]=m-d .
Não consigo ver que mdc(p(x),q(x))=k ,
ou seja, p e q são primos.
Fiz uma busca e encontrei o site
http://everything2.com/index.pl?node_id=1736976lastnode_id=0
Gostei.
E pra terminar, um problema do IME 56. Não sei se faz parte
do arquivo do Sérgio.
Determine n natural para que (z+a)^n - z^n - a^n = 0, onde
a é um real diferente de zero e z = a.e^{2\pi i/3}.
[]'s
Luís
_
MSN Busca: fácil, rápido, direto ao ponto. http://search.msn.com.br
=
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Re:[obm-l] Funcoes
Seja f uma funcao não-decrescente definida em [0,1] e tal que f(0)=0, f(x/3)=f(x)/2 e f(1 - x)=1 - f(x). Encontre f(18/1991). Mais interessante do que este problema específico é observar que a imagem de f é densa em [0,1] apesar de f ser constante num conjunto de medida integral em [0,1]. Ou seja, o conjunto D das descontinuidades de f tem medida nula. Duas perguntas: 1. Você reconhece D? 2. Como D tem medida nula, f é integrável. Quanto vale Integral(0...1) f(x)dx? []s, Claudio.
[obm-l] sen(nx)
Olá colegas da lista! Alguém conhece uma expressão que forneça o sen(nx) em função apenas de sen(x)? Obrigado, Vanderlei
Re: [obm-l] sen(nx)
Olá, z = cosx + isenx z^n = cos(nx) + isen(nx) = [ cos(x) + isen(x) ]^n basta abrir o da direita e pegar a parte imaginaria.. [ cos(x) + isen(x) ]^n = Somatório(i=0 até n) [ C(n, i) * (isen(x))^i * (cos(x))^(n-i) ] sabemos que i^0 = 1, i^1 = 1, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 assim, a parte imaginária é: sen(nx) = Somatório(i=0 até n, i=4k+1 ou i=4k+3) [ C(n, i) * (isen(x))^i * (cos(x))*^(n-i) ]/i abracos, Salhab - Original Message - From: vandermath [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Friday, March 30, 2007 12:43 PM Subject: [obm-l] sen(nx) Olá colegas da lista! Alguém conhece uma expressão que forneça o sen(nx) em função apenas de sen(x)? Obrigado, Vanderlei = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] sen(nx)
Vc pode usar a fórmula de De Moivre: (cosx+isenx)^n=cos(nx)+isen(nx). Agora aplique o Binômio de Newton: (cosx+isenx)^n=SOMA_j [C(n-j,j)(cosx)^(n-j)(isenx)^(j)], j=0,...,n , onde C(n-j,j) é o coeficiente binomial. Depois comece a trabalhar com a parte imaginária deste somatório. Citando vandermath [EMAIL PROTECTED]: Olá colegas da lista! Alguém conhece uma expressão que forneça o sen(nx) em função apenas de sen(x)? Obrigado, Vanderlei -- Arlan Silva = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Algebra e calculo
Olá para todos. Alguem poderia me sugerir algumas bibliografias de algebra linear e equações diferencias. Desde ja agradeço. _ Descubra como mandar Torpedos do Messenger para o celular! http://mobile.msn.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] Maximiza�
Oi, Vinícius, Como é meu hábito, ao invés de resolver problema básicos postados, vou dar o caminho das pedras, propondo outro problema simples para você ter uma percepção geométrica dos problemas propostos: Imagine que você queira obter o maior valor possível para Z = x + 2y, sabendo que: (1) x = 0 (2) y = 0 (3) x + y = 5 (4) 3x + 2y = 6 Note que todas as restrições são lineares e se você pensar no plano xy perceberá que cada restrição define uma região do plano. (1) região do 1 e 4 quadrantes; (2) região do 1 e 2 quadrantes; (3) região abaixo da reta que passa pelos pontos (0;5) e (5;0); (4) região acima da reta que passa pelos pontos (2;0) e (0;3). A interseção destas regiões é um quadrilátero de vértices nos pontos (2;0); (5;0); (0;3) e (0;5). Agora imagine que você faça Z = 2 e Z = 4 na função objetivo que você quer maximizar... Veja que as reta 4 = x + 2y e 6 = x + 2y são paralelas e quanto maior o valor de Z, mais alto essas estão no plano (ou seja, se você vai aumentando z, o gráfico da reta z = x + 2y vai subindo... Ora, desejamos um par (x;y) que esteja na região delimitada pelo quadrilátero e que torne a expressão z = x + 2y máxima, certo? Se você concorda que o valor de z procurado deva corresponder a uma reta que encoste na regão do quadrilátero e que esteja o mais alto possível, você entendeu a interpretação geométrica do problema de programação linear. E então a solução corresponde ao par (x; y) que é a interseção das retas x + y = 5 e 3x + 2y = 6 (veja as restrições 3 e 4). Daí basta calcular o valor de z para este par. Espero ter ajudado. Abraços, Nehab At 07:25 30/3/2007, you wrote: Bom dia. Gostaria de obter de vocês uma opinião a respeito de dois problemas de maximização: Uma empresa de artigos de couro fabrica dois tipos de produtos: malas e mochilas. A empresa tem quatro departamentos para fabricação. As malas são vendidas com lucro de R$ 50 / un e o lucro por unidade da mochila é R$ 40. As quantidades de horas necessárias para confeccionar cada produto, assim como o número total de horas disponíveis em cada departamento, são apresentados a seguir: Departamento 1 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 0 (não produz) Departamento 2 Horas / dia: 540 Horas necessárias (mala): 0 (não produz) Horas necessárias (mochila): 3 Departamento 3 Horas / dia: 440 Horas necessárias (mala): 2 Horas necessárias (mochila): 2 Departamento 4 Horas / dia: 300 Horas necessárias (mala): 6/5 Horas necessárias (mochila): 3/2 Maximizar o lucro da empresa. Uma empresa fabrica três tipos de madeira compensadas (placas de aglomerados) e possui três departamentos de produção: 1, 2 e 3. Os dados abaixo resumem a produção em horas por unidade de cada um dos três departamentos de produção, o tempo máximo disponível em cada departamento e o lucro unitário de cada placa: Departamento I: Tempo disponível: 900h Departamento II: Tempo disponível: 400h Departamento III: Tempo disponível: 600h Placa A (lucro por unidade fabricada: R$ 40): Operações em horas (departamento I): 2h Operações em horas (departamento II): 2h Operações em horas (departamento III): 4h Placa B (lucro por unidade fabricada: R$ 30): Operações em horas (departamento I): 5h Operações em horas (departamento II): 5h Operações em horas (departamento III): 2h Placa C (lucro por unidade fabricada: R$ 20): Operações em horas (departamento I): 10h Operações em horas (departamento II): 3h Operações em horas (departamento III): 2h Maximizar o lucro da empresa. Equação e inequações do primeiro problema (mala = x; mochila = y): Função lucro: 50(x1+x2+x3+x4) + 40(y1+y2+y3+y4) Restrições de cada departamento: 2x1 + 0y1 = 300 3y2 + 0x2 = 540 2x3 + 2y3 = 440 (6/5)x4 + (3/2)y4 = 300 Equação e inequações do segundo problema: Função lucro: 40a + 30b + 20c Restrições de cada departamento: 2a+5b+10c=900 2a+5b+3c=400 4a+2b+2c=600 Minha dúvida é: a soma da maximização de cada uma das partes é igual à maximização do todo? Ou eu devo considerar essas restrições interdependentes e fazer um sistema linear de quatro (no primeiro problema) ou três (no segundo problema) inequações? Se a soma da maximização de cada uma das partes puder ser considerada a maximização do todo, qual deveria ser o enunciado para que as restrições pudessem, nos dois problemas, ser interdependentes? Obg, Vinícius
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Congruência modular
Olá Bruna. Vc pode pensar assim que não está errado. Creio que sua pergunta tem a ver com propriedades da congruência quevc ainda não está familiarizada. Por exemplo: Se b ≡ 1 mod 2 então b^2 ≡ 1 mod 2A pergunta q vc deve estar se fazendo, é como isso é concluído? As congruências podem ser somadas e multiplicadas, por exemplo tomeduas congruências:a ≡ b mod cc ≡ d mod c então temos que (ac) ≡ (bd) mod c Voltando ao exemplo anterior, tome duas congruencias b ≡ 1 mod 2b ≡ 1 mod 2 multiplique as duas: b^2 ≡ 1 mod 2 (sacou?). Agora tome duas congruências: b^2 ≡ 1 mod 2 1 ≡ 1 mod 2 some uma com a outra: b^2 + 1 ≡ ( 1 + 1) mod 2 ≡ 2 mod 2 ≡ 0 mod 2 2 e 0 pertencem a mesma classe de congruência módulo 2 (os pares) portanto .. ≡ 8 ≡ 6 ≡ 4 ≡ 2 ≡ 0 mod 2 Acho que essa página pode acrescentar algo:: http://math.usask.ca/encryption/lessons/lesson05/page4.html Em relação a exercícios novos é só vc entrar em contato com o pessoal que jáparticipou de olimpiadas brasileiras ou internacionais que eles tem bastantematereial e experiência podem te fornecer. Espero que minha humilde contribuição tenha te ajudado. []s Ronaldo Luiz Alonso On 3/29/07, Bruna Carvalho [EMAIL PROTECTED] wrote: Marcelo, muito obrigado acho que agora foi, só fiquei na dúvida em uma coisa, só pra ver se estou no caminho certo. quando você afirno que b^2+1 ≡ 2 ≡ 0 (mod 2) b^2+1 = 0 (mod 2) porque 2 ≡ 0 (mod 2) assim 2 divide 2, ou seja, deixa resto 0. assim b^2+1 ≡ 0 ≡ 2 (mod 2). mais uma coisa vocês tem mais alguns exercicios desse tipo pra mim treinar um pouco. Bjnhos, muito obrigado pela atenção e paciência comigo. -- -Analista de DesenvolvimentoConselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o menor valor
Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada. Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona. On 3/28/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 = raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] SOMA{1,n} tg (kx)
Como se calcula o somatorio com k de 1 até n de tg (kx) ? Aceito qualquer metodo de resolucao, mas se conseguirem transformar isso numa soma telescopica melhor ainda. Muito Obrigado. - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] o menor valor
Oi, Ronaldo, Complementando a dica do Claudio, veja que a uma interpretação geométrica ajuda... x2 + y2 = 1 é uma circunferência de centro na origem e raio 1. Considere que você deseja minimizar a expressão z = 2y -6x +1 (vide Claudio, abaixo) que, para cada valor de z, corresponde a uma reta paralela à reta y = 3x. Logo, você deseja a reta mais alta que tangencia a circunferência (deu para sacar?). Pense em vários valores de z e no gráfico das retas correspondentes. Com o par (x;y) procurado é esta interseção, por uma simples semelhança de triângulos (imagine que a reta tangente está traçada) , tal par (x; y) é tal que y = -x/3 (pois o ponto está no segundo quadrante) . Logo, substituindo na circunferência, chegamos ao resultado já fornecido pelo Claudio. Obs: enviei estas observações pois hoje mesmo postei um comentário sobre programação linear bem geométrico e acho que a interpretação geométrica é muito útil em problemas simples como os postados para, depois, entendermos os realmente complicados... Abraços, Nehab At 19:11 30/3/2007, you wrote: Olá Cláudio. Obrigado pela referência, vou dar uma olhada. Eu mesmo confesso que não sei porque o método funciona. On 3/28/07, claudio.buffara [EMAIL PROTECTED] wrote: Infelizmente, a maioria das pessoas que usa multiplicadores de Lagrange segue apenas uma receita de bolo, sem ter a menor ideia de por que o metodo funciona. Uma boa explicacao encontra-se no cap. 4 do livro Analise Real - vol.2 do Elon Lages Lima, publicado pelo Impa. No entanto, nesse caso, dah pra fazer com matematica do ensino medio: Como x^2+y^2=1, o problema eh minimizar 2y-6x+1 sujeita a x^2+y^2=1. Uma ideia razoavel eh fazer x = cos(t), y = sen(t) e cair no problema: Minimizar f(t) = 2*sen(t) - 6*cos(t) + 1 raiz(40)*(sen(t)*(2/raiz(40)) - cos(t)*(6/raiz(40))) + 1 = raiz(40)*sen(t-a) + 1, onde cos(a) = 2/raiz(40) e sen(a) = 6/raiz(40). O valor minimo de f(t) ocorre quando sen(t-a) = -1 == f(t) = 1 - raiz(40) = 1 - 2*raiz(10). Nesse caso, t - a = -pi/2 + 2kpi == t = a - pi/2 + 2kpi == x = cos(t) = cos(a - pi/2) = sen(a) = 3/raiz(10) y = sen(t) = sen(a - pi/2) = -cos(a) = -1/raiz(10) []s, Claudio. -- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 28 Mar 2007 13:43:52 -0300 Assunto: Re: [obm-l] o menor valor Ah... só mais uma coisa... esqueci o link: http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_multipliers On 3/28/07, Ronaldo Alonso [EMAIL PROTECTED] wrote: Só pra complicar um pouco, essa dá para resolver com cálculo usando multiplicadores de Lagrange, isto é minimizar o valor de uma função sujeita a uma restrição. No caso a função é f(x,y) = x^2 + y^2 - 6x + 2y e a restrição é g(x,y) = x^2 + y^2 = 1 Vc forma uma função auxiliar h(x,y) = f(x,y) - lambda * g(x,y) Faz as derivadas parciais de h(x,y) iguais a zero, calcula lambda usando o vínculo e substitui os valores de x e y que fazem com que tornam h mínimo (para isso vc tem que resolver um sisteminha. Alguém se habilita a usar esse esquema para conferir a resposta? []s a todos. On 3/26/07, vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] wrote: legal essa maneira ...gostei Já que vc. gosta de G.A. (brincadeira) pode considerar a primeira equação como a de uma circunferência centrada em O, de raio unitátio, e procurar o raio de outra com centro em (3,-1) que tangencia a primeira. Deve obter o menor valor como 1 - sqrt10 []s vitoriogauss [EMAIL PROTECTED] escreveu: se x^2 + y^2 = 1, o menor valor de x^2 + y^2 - 6x + 2y é Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = __ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ Vitório Gauss = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html = -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. -- - Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
[obm-l] Re:[obm-l] raízes comuns e IME 56
-- Cabeçalho original --- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 30 Mar 2007 13:33:11 + Assunto: [obm-l] raízes comuns e IME 56 Sauda,c~oes, Oi Claudio, Seja mdc(m,n)=d. Como provar que mdc(x^n-1,x^m-1)=x^d-1 ? Eh facil ver que x^d-1 divide x^m-1 e x^n-1. (m = kd == x^m-1 = x^(kd)-1 = (x^d)^k-1 = (x^d-1)*p(x)) Suponhamos agora que f(x) divide x^m-1 e x^n-1. Em particular, f(x) eh primo com x. d = (m,n) == existem inteiros positivos r e s tais que d = rm - sn. Alem disso, f(x) divide x^(rm)-1 e x^(sn)-1. Logo, f(x) divide (x^(rm)-1)-(x^(sn)-1) = x^(rm)-x^(sn) = x^(sn)*(x^(rm-sn)-1) = x^(sn)*(x^d-1). Mas f(x) eh primo com x^(sn). Logo, f(x) divide x^d-1. Ou seja, (x^m-1,x^n-1) = x^d-1. []s, Claudio. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
Re: [obm-l] SOMA{1,n} tg (kx)
produto de coska = f(a) produto kcoska = n!f(a) tira ln dos lados e deriva em relaçao a a - somatgka =f´(a)/n!f(a) soma tgka=-f´(a)/n!f(a) f(a)=cosa*cos2a*cos3a*cos4a*cos5a*cosna On 3/30/07, Rafael [EMAIL PROTECTED] wrote: Como se calcula o somatorio com k de 1 até n de tg (kx) ? Aceito qualquer metodo de resolucao, mas se conseguirem transformar isso numa soma telescopica melhor ainda. Muito Obrigado. - RAFAEL = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =
[obm-l] Divisor
Será que tem uma maneira mais simples de fazer a 1° questão? 1) Que número divide 1108 , 1453 , 1844 e 2281, deixando, exatamente, o mesmo resto? 2) Um professor de matemática escreveu no quadro um poinômio f(x) com coeficientes inteiro e disse, '' Hoje é o dia do aniversário de meu filho.Quando a sua idade A é substituida por x , temos f(A) = A.Também f(o) = P, onde P é um número primo maior do que a ''. Qual é a idade do filho do professor ?
[obm-l] Listas de outras matérias, alguem conhece?
Olá. Boa noite. Alguem conhece listas similares a esta, mas de outras matérias? Fisica... Quimica... etc... Não achei nenhuma ba no yahoo groups. Obrigado, abraços! -- [---] :: Fabricio Massula :: http://www.fabriciomd.com Hospedagem e Desenvolvimento de sites e sistemas dinâmicos. [---]
