Re: [obm-l] Conjuntos finitos
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Desculpe. X-{o} e Y-{d}
--
Henrique
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Conjuntos finitos
No livro Introduction to Algorithms, Cormen et al, na parte que fala
sobre fluxo máximo em grafos, ele utiliza, por exemplo, f(X,Y) onde X
e Y são conjuntos de vértices do grafo e f é o somatório dos fluxos
dos vértices que partem do conjunto X para aqueles no conjunto Y.
Geralmente, em uma rede, um grafo dirigido com pesos nas arestas, na
qual se quer encontrar o fluxo máximo, define-se um vértice como a
origem e outro como destino. Caso seja necessário desconsiderar esses
vértices no cálculo do fluxo poderíamos representar por f(X-o, Y-d),
onde o e d são origem e destino, respectivamente, e X-o seria o
conjunto X sem o elemento o e Y-d o conjunto Y sem o elemento d,
ou seja, {X}-{o} e {Y}-{d}.
Esse seria um exemplo de utilizar conjuntos e somatórios em uma única
representação através de função.
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Olá Marcelo \o/
vou tentar explicar o que eu quis dizer sobre somatório em conjuntos
finitos com relação de ordem, mas primeiro vou falar sobre minha
opnião sobre o somatorio comum que aparece na matemática
costuma-se definir
somatorio k=0 até n f(k)= f(0)+...+f(n),
só que eu me sinto meio desconfortavel usando esses pontinhos, acho
meio informal, apesar que dá a idéia do que é o somatório, da uma
noção intuitiva do que acontece, porém eu prefiro não usar esse modo e
sim, definir da seguinte maneira
somatorio k=0 até n f(k)= [somatorio k=0 até n-1 f(k)] +f(n)
se n0, n natural e se n=0
somatorio k=0 até 0 f(k)=f(0)
, i,e repito o processo tirando o ultimo termo do somatorio até chegar
no termo minimo, o mesmo faço para definir somatorio com limite
inferior inteiro e superior inteiro
somatorio k=a até a+p f(k)= [somatorio k=a até a+p-1 f(k)] +f(a+p)
se p0, p natural e se p=0
somatorio k=a até a f(k)=f(a)
com a inteiro. se a inteiro então a+p=b um número inteiro maior ou igual à a
então fica definido para mim o somatorio com limites nos inteiros.
para provar alguns teoremas de somatorio me parece util definir
somatorio k=b até a f(k) =0 se ab (i.e se o limite superior é menor
que o limite inferior)
com essas definições é possivel demonstrar algumas propriedades de
somatorios como
somatorio k=a até b f(k) =somatorio k=a+p até b+p f(k-p)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=-b até -a f(-k)
somatorio k=a até b f(k)=somatorio k=a até s f(k) +somatorio k=s+1 até b f(k)
se s=a e b=s+1. propriedade que chamo de abertura de somatorios
ela é equivalente a definição que postei acima de somatorio, a partir
de uma se prova outra e vice e versa (porém essa de abertura é mais
geral de certo modo)
mas ai estava pensando em definir somatorios em outros conjuntos
finitos, por exemplo, definir formalmente somatorio sobre primos em
um intervalo etc...
na verdade eu me divirto um pouco fazendo essas coisas hehe, as vezes
procurar algo já pronto para mim é o mesmo que contar o final de um
filme, depois eu volto a postar mais sobre, e as idéias que estou
tendo sobre esse assunto
abraços
Em 29/10/07, Marcelo Salhab Brogliato[EMAIL PROTECTED] escreveu:
Olá Rodrigo,
pensando sobre o que você disse... pelo que sei a notação de conjuntos é
geral..
{ a } é um conjunto finito cuja cardinalidade é 1... e a é qualquer
coisa.. hehe (bem informal)
sobre retirar os elementos, acredito que você pode fazer assim:
Seja A um conjunto tal que |A| = n.
Como A é finito e enumerável, vamos definir uma bijecao f : I_n - A
onde I_n = { 1, 2, 3, ..., n }.
façamos: A_0 = A ... A_k = A_(k-1) \ { f(k) }
deste modo, temos: A_1 = A_0 \ { f(1) } ... A_2 = A_1 \ { f(2) }..
vamos chegar em A_n = {} ...
Agora, não entendi o que você quer definir sobre o somatório em conjuntos
finitos com
relação de ordem... :))
um abraço,
Salhab
On 10/29/07, Rodrigo Renji [EMAIL PROTECTED] wrote:
Marcelo, obrigado , a fórmula está estranha pois foi eu formulei
hehehe, e que eu estava pensando no seguinte, se temos um conjunto de
números com uma relação de ordem finito ele possui um máximo e se
formos tirando o máximo do conjunto em cada etapa, se ele é finito
chega uma hora que ele se torna o conjunto vazio
ex:
{0, 2.2 ,3}
tira o máximo (3)
{ 0, 2.2}
tira o maximo (2.2)
{0}
tira o maximo 0
{}
acho que o mesmo acontece quando vamos tirando o minimo do conjunto
não é? se ele é um conjunto de numeros com relação de ordem e finito,
chega uma hora que ficamos com o conjunto vazio (só pra explicar o que
eu estava/estou pensando sobre essa questão). A principio estava
pensando que valia pra qualquer conjunto finito, mas é obvio que não
( conjunto {a} a sendo a letra do alfabeto , é um conjunto finito não
é?, tendo apenas um elemento, ou essa nomenclatura é apenas para
conjuntos númericos ?)
esses conceitos eu estou usando para tentar definir formalmente
somatorio sobre um conjunto finito de numeros com relação de ordem.
abraços
Em
[obm-l] Convergencia de sequencia de polinomios
Oi Marcelo
Acho que a ideia basica esta correta. O meu raciocinio tambem foi nessa linha.
Vou dar minha ideia, voce analisa.
|Inicialmente, vamos provar o seguinte Lema: Para cada i =0,1,2...m, seja c_i_n
a sequencia formada pelos coeficientes de grau i dos P_n. Se cada uma desta
sequencias convergir para algum complexo c_i, entao P_n converge em C para o
polinomio P(z) = c_0 + c_1 z c_m z^m.
Isto eh facil de ver. Basta observar que, para z fizo, P_n(z) eh uma combinacao
linear das sequencias c_i_n, i =0,1,...m, na qual os coeficientes da
combinacoes sao as potencias de z, z^0, z^1z^m. Como cada sequencia c_i_n
converge para c_i, eh imediato que P_n(z) converge para c_0 + c_1 z c_m z^m
= P(z). E como isto vale para cada complexo z, fica demonstrado que P_n -- P
em todo o C.
Vamos agora demonstrar que, se P_n convergir no conjunto {z_0, z1, ...z_m},
entao as condicoes do lema sao satisfeitas. Ai entra um raciocinio muito
semelhante ao seu. Conforme sabemos da Algebra Linear aplicada a polinomios,
dados m+1 complexos distintos 2 a 2, z_0z_m, e m+1 complexos quaisquer,
y_0...y_m, existe um, e somente um, polinomio de grau = m que passa pelos
pontos (z_0, y_0), ...(z_m, y_m). Os coeficientes deste polinomio sao dados
pela chamada Formula da Interpolacao de Lagrange, atraves de uma transformacao
linear do vetor coluna [y_0y_m]. Assim, sendo c o vetor coluna com os
coeficientes, temos que existe uma matriz A, cujos termos dependem apenas de
z_0...z_m, que eh a matriz nao singular de Vandermont, tal que c = A y
Cada um dos polinomios P_n passa pelos pontos (z_0, P_n(z_0))(z_m,
P_n(z_m)), de modo que, sendo c_n o vetor coluna dos coeficientes de P_n e y_n
= [P_n(z_0)),..P_n(z_m))], temos que c_n = A y_n Logo, cada c_n eh a
transformacao linear do vetor coluna y_n definida pela matriz A, que eh
constante, independe de n. Como, por hipotese, P_n converge em {z_0, z1,
...z_m}, cada uma das sequencias P_n(z_i), i=0,1,...m, converge para algum
complexo y_i, ou seja, y_n -- [y_0,...y_m]. Assim, lim c_n = lim A y_n = Ay,
o que nos informa que as sequencias c_i_n, formadas pelos coeficientes de mesmo
grau de P_n, convergem em C para cada um dos termos do vetor Ay. Pelo lema
anterior, concluimos que P_n converge entao em todo o C para um polinomio P
cujos coeficientes sao os limites das c_i_n.
Observe que a hipotese de que a sequencia dos graus dos polinomios foi usada na
Formula de Lagrange. Isto eh de fato fundamental, pois em isso o lema nao vale.
Em vez de os limites definirem um polinomio, definem entao uma serie de
potencias e tudo fica muito mais complicado.
Suponhamos agora que P_n convirja em C e seja S um subconjunto limitado de C.
Pela conclusao anterior, P = lim P_n eh um polinomio de grau = m, logo uma
funcao continua em C. Pelo que vimos, as sequencias c_i_n dos coeficientes de
mesmo grau dos P_n convergem em C para os complexos c_i que definem P. Como o
numero destes coeficientes eh finito, para todo eps 0 podemos achar um k tal
que n = k = |c_i_n - c_i| eps para cada i=0,1,...m. Assim, para todo z de
S temos, para n = k, que
|P_n(z) - P(z)| = |(c_0_n - c_0) ...(c_m_n - c_m)z^m| = |(c_0_n - c_0|
+ | c_m_n - c_m| |z^m| = eps (|1| + |z|+|z^m|) = eps f(z)(1)
, sendo f a funcao de C em R+ dada por f(z) = |1| + |z|+|z|^m, a qual eh
uma funcao continua. Sendo S' o fecho de S, temos pelo teorema de Heine Borel
que S' eh compacto, de modo que f apresenta um maximo M em S'. Temos tambem,
pela continuidade da funcao f, que M eh o supremo de f em S, de modo que 0 =
f(z) = M para todo z de S . Combinando-se com (1), temos entao, para n =k,
que
|P_n(z) - P(z)| = M eps, para todo z de S. Como M independe de eps e de n,
concluimos que a convergencia de P_n para P eh uniforme. Poderiamos ter
partido de eps/M para chegarmos no final em eps,
Artur
[Artur Costa Steiner]
Re: [obm-l] Lugar Geométrico
Amigo como provamos que esta curva é uma circunferência então? Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED] escreveu: Olá Clayton, x = cos(a)/(1+sena.senb) y = sen(a).cos(b)/(1+sena.senb) [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1+sena.senb)^2 y(1+sena.senb) = sen(a).cos(b) y + y.senb.sena = cosb.sena sena = y / (cosb - y.senb) substituindo, temos: [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1 + y.sen(b)/(cos(b) - y.sen(b))) essa é a equação do lugar geométrico... na simplifiquei... tem q fazer... :) mas joguei num programa e vi que é uma circunferencia sim :))) abraços, Salhab On 10/29/07, Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, estou tentando descobrir qual é o LG dado pela parametrização abaixo: (cosa/1+senasenb, senacosb/1+senasenb), onde 0=a=2pi e b é fixo. Acho que é uma circunferência, só não consegui provar! Peço ajuda dos amigos. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM
É, tem razão. Deixei passar tal argumento.. Entendi agora. Obrigada. Abraçosss.. - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 8:20 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Questões da OBM Bárbara, Lembra do meu ponto 1? Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. Provar o ponto 1 é trivial, já que precisamos de um valor congruente a w-(z+y+x) mod 10 e não há dois termos dos possíveis membros da sequência (0 a 9) que têm o mesmo valor mod 10. Mesmo se você não entender de aritmética modular, o ponto 1 é muito intuitivo. Pegue alguns grupos (x, y, z, w) quaisquer e veja se você consegue achar dois termos que podem vir antes desses. Você vai logo se cansar, já que não tem jeito :) (não continue até entender o que eu disse até agora) Logo a sequência (i, j, k, l) não pode vir depois de um h e depois de um l ao mesmo tempo (claro, se considerarmos que h é diferente de l). Concluímos que a situação proposta é impossível. Note que para rejeitar um ciclo de período indefinido, precisamos do ponto 2. Como cada grupo (c, d, e, f) só tem um termo que pode antecedê-lo (chamaremos de b), o grupo (b, c, d, e) também só tem um termo que pode antecedê-lo (um termo a qualquer). Logo, cada termo só pode vir de uma sequência definida (por exemplo, os números 1, 1, 1, 3 só podem vir depois de 0, 8, 9, 2, 9, 0, etc.) Fernando Oliveira On 10/29/07, [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] wrote: Desculpe a ignorância, mas porque não podemos pensar que o ciclo seja com um período parcial? Assim: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,i,j,k,l,. Acho que sua solução está certa, só faltou provar que não dá certo para esse caso, concorda? Mesmo assim, você, o Nicolau e todos os grandes alunos e mestres desta lista tem me ensinado muito! Obrigada mesmo! - Original Message - From: Fetofs Ashu To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Monday, October 29, 2007 11:28 AM Subject: Re: [obm-l] Questões da OBM Salhab e Bárbara, 1) Vamos andar para trás. Se você tem um grupo (x, y, z, w), só há um termo que pode vir antes desses quatro termos, quaisquer sejam eles. 2) Continuando o processo de 1) temos que todo grupo só pode ser obtido através de uma sequência definida. 3) Um grupo deve se repetir, pois o número de grupos possíveis é finito. 4) Como na primeira vez que esse grupo apareceu (1, 2, 3, 4) fazia parte da sequência, deve fazer na segunda vez também, já que a sequência é única. Fernando Oliveira
Re: [obm-l] Lugar Geométrico
Olá João, conforme eu disse na minha primeira mensagem, basta pegar essa expressao: [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1 + y.sen(b)/(cos(b) - y.sen(b)))^2 e simplificar! [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (cos(b)/(cos(b) - y.sen(b)))^2 [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b) - y.sen(b)]^2 dividindo por cos(b)^2, temos: x^2 + y^2.sec(b)^2 = [1 - y.tg(b)]^2 = 1 - 2y.tg(b) + y^2.tg(b)^2 x^2 + y^2.sec(b)^2 = 1 - 2y.tg(b) + y^2.tg(b)^2 x^2 = 1 - 2y.tg(b) + y^2[tg(b)^2 - sec(b)^2] x^2 = 1 - 2y.tg(b) - y^2 x^2 + y^2 + 2y.tg(b) = 1 x^2 + [y + tg(b)]^2 = 1 + tg(b)^2 circunferencia de raio sqrt(1+tg(b)^2) e centro (0, -tg(b)) abracos, Salhab On 10/30/07, João Pedro de Gusmão Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Amigo como provamos que esta curva é uma circunferência então? *Marcelo Salhab Brogliato [EMAIL PROTECTED]* escreveu: Olá Clayton, x = cos(a)/(1+sena.senb) y = sen(a).cos(b)/(1+sena.senb) [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1+sena.senb)^2 y(1+sena.senb) = sen(a).cos(b) y + y.senb.sena = cosb.sena sena = y / (cosb - y.senb) substituindo, temos: [x.cos(b)]^2 + y^2 = [cos(b)]^2 / (1 + y.sen(b)/(cos(b) - y.sen(b))) essa é a equação do lugar geométrico... na simplifiquei... tem q fazer... :) mas joguei num programa e vi que é uma circunferencia sim :))) abraços, Salhab On 10/29/07, Clayton Silva [EMAIL PROTECTED] wrote: Caros colegas, estou tentando descobrir qual é o LG dado pela parametrização abaixo: (cosa/1+senasenb, senacosb/1+senasenb), onde 0=a=2pi e b é fixo. Acho que é uma circunferência, só não consegui provar! Peço ajuda dos amigos. = -- Powered By Outblaze = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = Abra sua conta no Yahoo! Mailhttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.mail.yahoo.com/, o único sem limite de espaço para armazenamento!
RE: [obm-l] Qual Triangulo?
Thelio, Desculpe pela notação, mas acho que dá para entender. (p^2)+(q^2)+(r^2)=pq+pr+qr = = 2[(p^2)+(q^2)+(r^2)]=2[pq+pr+qr] = = [(p-q)^2]+[(p-r)^2]+[(q-r)^2]=0 Para que a soma de três números ao quadrado seja zero é preciso que cada um deles seja zero. Logo, p = q= r e o triângulo é eqüilátero. Abraço, Renato Madeira. ''-- Mensagem Original -- ''Date: Wed, 24 Oct 2007 16:07:04 -0300 ''From: Thelio Gama [EMAIL PROTECTED] ''To: obm-l@mat.puc-rio.br ''Subject: [obm-l] Qual Triangulo? ''Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br '' '' ''Essa aqui ta difícil, nenhum dos feras da minha turma resolveu. Gostaria ''da ''ajuda dos senhores. Obrigado. '' '' ''Se p, q e r sao os comprimentos dos lados de um triangulo e se p² + q² + ''r² ''= pq + qr + pr, entao o triangulo é: '' ''a) Equilatero '' ''b) Escaleno '' ''c) Reto '' ''d) Obtuso '' ''e)N.R.A. '' '' '' ''Thelio = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Mostrando que derivadas de f sao limitadas em R
Provar isto parece ser interessante (f^k significa a k-gésima derivada de f). Seja f:R -- R. Suponhamos que, para algum inteiro positivo n, f^(n+1) exista em R e que f e f^(n+1) sejam ambas limitadas em R. Para todo inteiro positivo k = n temos, entao, que f^k eh limiatada em R. Artur
