Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Olá,
Este é o meu primeiro post nesta lista. Sou péssimo em matemática e entrei
na lista pq meu sonho era participar de uma olimpíada.
Eu sempre leio todos os posts mas quase sempre não entendo nada do que vcs
falam.
No caso dessa questão acho que posso dar uma contribuição :)
Humilde solução:
1 - Eu separaria as 12 moedas em 2 grupos: 10 + 2
2 - Peso grupo com 10 moedas (5 em cada prato), se a mais pesada nao estiver
nela (pratos equiparados), então estará no outro grupo e com mais uma
operação de pesagem determinamos a moeda mais pesada.
3 - Se os pratos nao estiverem equiparados então ela estará agora entre 5
moedas.
4 - Dessas 5 eu removo uma e peso duas em cada prato. Se os pratos se
equipararem a que eu retirei do grupo é a mais pesada. Se não, ela estará
entre agora num universo de 2 moedas. Com a 3ª pesagem determinamos a
miseravi!
Espero que esteja tudo certinho, peço perdão pelo péssimo português e acho
que so resolvi pq é uma questão clássica :(
Espero ter contribuido.
Vou tentar agora o 2º problema mas concerteza ele está acima da minha
capacidade.
~Carpe Diem~
Luís
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Ah, droga, errei... troquem por favor o 12 do grupo 3 pelo 10. :)
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Rotule as moedas com os numeros de 1 a 15, mas escreva-os em binario com
4 algarismos cada: 0001, 0010, ..., .
Separe as moedas em 4 grupos -- o grupo que tem 1 no primeiro digito, o
que tem 1 no segundo digito, etc. Explictamente, em decimal, os grupos sao:
G1={8,9,10,11,12,13,14,15}
G2={4,5,6,7,12,13,14,15}
G3={2,3,6,7,11,12,14,15}
G4={1,3,5,7,9,11,13,15}
Agora verifique que grupos tem um peso maior que os outros, pois estes
contem a moeda falsa. A sua moeda falsa eh a unica que estah exatamente nos
grupos escolhidos.
Alias, monte um numero d1d2d3d4 fazendo di=1 se o grupo i eh mais pesado
que os outros, e di=0 caso o grupo i tenha peso normal. A moeda falsa eh a
representada por d1d2d3d4 (em binario).
Ah, sim, note que, como HA uma moeda falsa, nao pode ser ; em outras
palavras, se voce der azar e todos os grupos tiverem o mesmo peso, voce
conclui que TODOS tem a moeda falsa, que eh a moeda =15.
Note como deste jeito eh facil generalizar para 2^n-1 moedas e n pesagens!
Abraco,
Ralph
2008/7/23 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
Olá!
1º PROBLEMA:
Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema 12 (ou 13) moedas
/ 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação. Seu enunciado
é o seguinte:
Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é
falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o
seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das
moedas verdadeiras.
Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive
a falsa – são aparentemente iguais.
Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se
determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma
balança de dois pratos).
Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante
inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo.
2º PROBLEMA:
Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante
interessante: 15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica.
Segue, abaixo, seu enunciado:
Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença
entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada.
As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente
iguais.
Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com
exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no
máximo, 4 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um
único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma
determinada massa (no caso n moedas), colocada sobre o seu prato.
Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida.
Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada.
Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre,
uma solução mais simples.
Saudações,
AB.
Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela
Observe a figura em anexo. Por semelhança temos o seguinte d/x = 18/y ,ou seja, 18.x=d.y (1) Analogamente d/[2d-(x+20)] = 18/[32-(20+y)] ou entao, d/18 = [32-(20+y)]/[2d-(x+20)] que por (1) resulta x.[32-(20+y)]=y.[2d-(x+20)] = 32x-x.(20+y)=2d.y-y.(x+20) = 32x-20x=2d.y-20y = 12x=y.(2d-20) = 6x=y.(d-10) = x/y=(d-10)/6 Substituindo em (1) 18(x/y)=d = 3(d-10)=d = 2d-30=0 = d=15 e portanto 2d=30. inté, Citando Eduardo AM [EMAIL PROTECTED]: (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP attachment: fig2.png
Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela
Alternativa: a soma das áreas dos trapézios menores (determinados pela paralela) é igual à área do trapézio original. Leo 2008/7/24 Arlane Manoel S Silva [EMAIL PROTECTED]: Observe a figura em anexo. Por semelhança temos o seguinte d/x = 18/y ,ou seja, 18.x=d.y (1) Analogamente d/[2d-(x+20)] = 18/[32-(20+y)] ou entao, d/18 = [32-(20+y)]/[2d-(x+20)] que por (1) resulta x.[32-(20+y)]=y.[2d-(x+20)] = 32x-x.(20+y)=2d.y-y.(x+20) = 32x-20x=2d.y-20y = 12x=y.(2d-20) = 6x=y.(d-10) = x/y=(d-10)/6 Substituindo em (1) 18(x/y)=d = 3(d-10)=d = 2d-30=0 = d=15 e portanto 2d=30. inté, Citando Eduardo AM [EMAIL PROTECTED]: (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.htmlhttp://www.mat.puc-rio.br/%7Eobmlistas/obm-l.html = -- Arlane Manoel S Silva Departamento de Matemática Instituto de Matemática e Estatística-USP
Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Luís, boa tarde!
Sua humilde solução está, infelizmente, errada!
Repare que, no 1º problema, não se sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais
pesada do que as verdadeiras. Sabe-se APENAS que o seu peso é DIFERENTE do peso
das demais (verdadeiras), podendo - é claro - ser menor ou maior!
Já no 2º problema, sabe-se que o peso da moeda falsa é MAIOR do que o peso das
demais (verdadeiras).
Sds.,
AB
[EMAIL PROTECTED]
[EMAIL PROTECTED]
--- Em qui, 24/7/08, Luís Junior [EMAIL PROTECTED] escreveu:
De: Luís Junior [EMAIL PROTECTED]
Assunto: Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 13:52
Olá,
Este é o meu primeiro post nesta lista. Sou péssimo em matemática e entrei na
lista pq meu sonho era participar de uma olimpíada..
Eu sempre leio todos os posts mas quase sempre não entendo nada do que vcs
falam.
No caso dessa questão acho que posso dar uma contribuição :)
Humilde solução:
1 - Eu separaria as 12 moedas em 2 grupos: 10 + 2
2 - Peso grupo com 10 moedas (5 em cada prato), se a mais pesada nao estiver
nela (pratos equiparados), então estará no outro grupo e com mais uma operação
de pesagem determinamos a moeda mais pesada.
3 - Se os pratos nao estiverem equiparados então ela estará agora entre 5
moedas.
4 - Dessas 5 eu removo uma e peso duas em cada prato. Se os pratos se
equipararem a que eu retirei do grupo é a mais pesada. Se não, ela estará entre
agora num universo de 2 moedas. Com a 3ª pesagem determinamos a miseravi!
Espero que esteja tudo certinho, peço perdão pelo péssimo português e acho que
so resolvi pq é uma questão clássica :(
Espero ter contribuido.
Vou tentar agora o 2º problema mas concerteza ele está acima da minha
capacidade.
~Carpe Diem~
Luís
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Ah, droga, errei... troquem por favor o 12 do grupo 3 pelo 10. :)
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Rotule as moedas com os numeros de 1 a 15, mas escreva-os em binario com 4
algarismos cada: 0001, 0010, ..., .
Separe as moedas em 4 grupos -- o grupo que tem 1 no primeiro digito, o que tem
1 no segundo digito, etc. Explictamente, em decimal, os grupos sao:
G1={8,9,10,11,12,13,14,15}
G2={4,5,6,7,12,13,14,15}
G3={2,3,6,7,11,12,14,15}
G4={1,3,5,7,9,11,13,15}
Agora verifique que grupos tem um peso maior que os outros, pois estes contem
a moeda falsa. A sua moeda falsa eh a unica que estah exatamente nos grupos
escolhidos.
Alias, monte um numero d1d2d3d4 fazendo di=1 se o grupo i eh mais pesado que os
outros, e di=0 caso o grupo i tenha peso normal. A moeda falsa eh a
representada por d1d2d3d4 (em binario).
Ah, sim, note que, como HA uma moeda falsa, nao pode ser ; em outras
palavras, se voce der azar e todos os grupos tiverem o mesmo peso, voce
conclui que TODOS tem a moeda falsa, que eh a moeda =15.
Note como deste jeito eh facil generalizar para 2^n-1 moedas e n pesagens!
Abraco,
Ralph
2008/7/23 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
Olá!
1º PROBLEMA:
Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema 12 (ou 13) moedas / 1
moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação. Seu enunciado é o
seguinte:
Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa.
A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é
DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas
verdadeiras.
Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a
falsa – são aparentemente iguais.
Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se
determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de
dois pratos).
Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante
inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo.
2º PROBLEMA:
Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante
interessante: 15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica.
Segue, abaixo, seu enunciado:
Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre
a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada.
As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente
iguais.
Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão),
pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4
vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único
prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada
massa (no caso n moedas), colocada sobre o seu prato.
Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida.
Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi,
então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução
mais simples.
Saudações,
AB.
Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela
Esse problema está enunciado exatamente assim? Isso tá um vexame, descuidado e errado (comprimento da paralela?), - Original Message - From: Eduardo AM [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, July 24, 2008 10:19 AM Subject: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RES: [obm-l] Re: moedas
Apenas complementado e generalizando: Uma pesagem genérica de N moedas é igual a P. As 2 hipótese possíveis são: 1ª: A moeda falsa não está presente nesta pesagem: NV = P , sendo V o peso de cada moeda verdadeira; 2ª: A moeda falsa está presente nesta pesagem: (N-1)V + F = P , sendo F o peso da moeda falsa. Obs.: Uma das condições de contorno do problema é que F V . AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] _ De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] Em nome de Albert Bouskela Enviada em: quinta-feira, 24 de julho de 2008 11:02 Para: Luis Felipe Ticianeli Ferreira Cc: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: moedas Bom dia! Não sei se entendi corretamente a sua dúvida. Vou responder da seguinte forma: Caso seja uma pesagem, na qual GARANTIDAMENTE só estejam sendo pesadas moedas verdadeiras, o peso de cada moeda (verdadeira) será o peso total da pesagem dividido pelo número de moedas que foram pesadas. SOMENTE através de pesagens anteriores, você poderá saber GARANTIDAMENTE se a moeda falsa faz parte, ou não, de uma determinada pesagem. Repare que se uma pesagem for múltipla do número de moedas que foram pesadas, podem ocorrer 2 hipóteses - vou exemplificá-las abaixo: Pesagem de 8 moedas, cujo resultado é igual a 80: 1ª hipótese: 8 moedas verdadeiras, cada uma pesando 10; 2ª hipótese: 7 moedas verdadeiras, cada uma pesando V, e uma moeda falsa pesando F, de tal sorte que 7V+F=80 . P.ex., V=1 e F=73 . Espero ter esclarecido a sua dúvida. Sds., AB. --- Em qui, 24/7/08, Luis Felipe Ticianeli Ferreira [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Luis Felipe Ticianeli Ferreira [EMAIL PROTECTED] Assunto: moedas Para: [EMAIL PROTECTED] Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 7:36 posso considerar no problema 2 q qndo eu pesar n moedas sem ter a mais pesada e dividir o peso por n eu consigo descobrir ql e o peso de uma moeda? _ Notícias direto do New York Times, gols do Lance, videocassetadas e muitos outros vídeos no MSN Videos! Confira já! http://video.msn.com/?mkt=pt-br _ Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.new.mail.yahoo.com/add resses um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com.
Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Olá Luis na realidade a sua solução só funciona caso você já saiba que a
moeda falsa é mais pesada. Note que para este problema, não se sabe se ela é
mais pesada ou mais leve, e devemos descobrir qual é a falsa, e além disso
se ela é mais pesada ou mais leve
Bom, boa sorte!
2008/7/24 Luís Junior [EMAIL PROTECTED]:
Olá,
Este é o meu primeiro post nesta lista. Sou péssimo em matemática e entrei
na lista pq meu sonho era participar de uma olimpíada.
Eu sempre leio todos os posts mas quase sempre não entendo nada do que vcs
falam.
No caso dessa questão acho que posso dar uma contribuição :)
Humilde solução:
1 - Eu separaria as 12 moedas em 2 grupos: 10 + 2
2 - Peso grupo com 10 moedas (5 em cada prato), se a mais pesada nao
estiver nela (pratos equiparados), então estará no outro grupo e com mais
uma operação de pesagem determinamos a moeda mais pesada.
3 - Se os pratos nao estiverem equiparados então ela estará agora entre 5
moedas.
4 - Dessas 5 eu removo uma e peso duas em cada prato. Se os pratos se
equipararem a que eu retirei do grupo é a mais pesada. Se não, ela estará
entre agora num universo de 2 moedas. Com a 3ª pesagem determinamos a
miseravi!
Espero que esteja tudo certinho, peço perdão pelo péssimo português e acho
que so resolvi pq é uma questão clássica :(
Espero ter contribuido.
Vou tentar agora o 2º problema mas concerteza ele está acima da minha
capacidade.
~Carpe Diem~
Luís
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Ah, droga, errei... troquem por favor o 12 do grupo 3 pelo 10. :)
2008/7/24 Ralph Teixeira [EMAIL PROTECTED]:
Rotule as moedas com os numeros de 1 a 15, mas escreva-os em binario com
4 algarismos cada: 0001, 0010, ..., .
Separe as moedas em 4 grupos -- o grupo que tem 1 no primeiro digito, o
que tem 1 no segundo digito, etc. Explictamente, em decimal, os grupos sao:
G1={8,9,10,11,12,13,14,15}
G2={4,5,6,7,12,13,14,15}
G3={2,3,6,7,11,12,14,15}
G4={1,3,5,7,9,11,13,15}
Agora verifique que grupos tem um peso maior que os outros, pois estes
contem a moeda falsa. A sua moeda falsa eh a unica que estah exatamente nos
grupos escolhidos.
Alias, monte um numero d1d2d3d4 fazendo di=1 se o grupo i eh mais pesado
que os outros, e di=0 caso o grupo i tenha peso normal. A moeda falsa eh a
representada por d1d2d3d4 (em binario).
Ah, sim, note que, como HA uma moeda falsa, nao pode ser ; em outras
palavras, se voce der azar e todos os grupos tiverem o mesmo peso, voce
conclui que TODOS tem a moeda falsa, que eh a moeda =15.
Note como deste jeito eh facil generalizar para 2^n-1 moedas e n
pesagens!
Abraco,
Ralph
2008/7/23 Bouskela [EMAIL PROTECTED]:
Olá!
1º PROBLEMA:
Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema 12 (ou 13) moedas
/ 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação. Seu
enunciado
é o seguinte:
Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é
falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o
seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das
moedas verdadeiras.
Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas –
inclusive a falsa – são aparentemente iguais.
Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se
determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma
balança de dois pratos).
Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante
inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo.
2º PROBLEMA:
Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante
interessante: 15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança
eletrônica.
Segue, abaixo, seu enunciado:
Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única
diferença entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada.
As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são
aparentemente iguais.
Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com
exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança,
no
máximo, 4 vezes.
Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um
único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma
determinada massa (no caso n moedas), colocada sobre o seu prato.
Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida.
Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada.
Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre,
uma solução mais simples.
Saudações,
AB.
--
Rafael
[obm-l] EEAr: tamanho da paralela (3)
(EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Possivel SPAM na obm-l
Que elemento, exatamente? O Nicolau Saldanha [EMAIL PROTECTED] é o fundador desta lista. Os spams não estão sendo enviados por ele, mas sim por programas que falsificam o rementente da mensagem. -- Abraços, Maurício 2008/7/24 Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED]: Não é possível excluir este elemento da lista??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Possivel resposta da primeira questao: separamos as moedas em 4 grupos de 3 moedas. (passo1)Pegamos dois grupos e colocamos na balança.Se eles nao tiverem o mesmo peso, (passo2) deixemos um desses dois grupos na balança e pegamos um terceiro grupo q nao foi pesado e colocamos na balança. Se o peso for o mesmo,o primeiro grupo de 3 moedas tem a moeda falsa( sabemos que com a primeira e segunda mediçao sabemos que a moeda falsa é mais pesada ou mais leve que as outras). *passo 3)Pegamos duas das 3 moedas e pesamos se elas tiverem o mesmo peso a terceiramoeda e a falsa se elas nao tiverem o mesmo peso saberemos ql e a falsa por causa das duas medidas anteriores. se no passo 2 o peso do grupos nao for o mesmo do terceiro grupo que colocamos.essse grupo sera aquele que tem a moeda falsa e assim repetimos o passo 3(pois sabemos atraves das duas medidas ja se a moeda falsa e mais leve ou pesada que as demais) no passo 1 se a pesagem dos dois primeiros grupos tiverem o mesmo peso,nos tiramos um desses grupos e comparamos com um terceiro grupo.Se o terceiro for mais pesado ou mais leve repetimos o passo3 pois nesse grupó esta a moeda falsa.Se ele ainda tiver o mesmo peso,Pegamos o quarto grupo e repetimos o 3passo. ha algum erro? abraço From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Moedas: 2 problemasDate: Wed, 23 Jul 2008 23:45:05 -0300 Olá! 1º PROBLEMA: Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema “12 (ou 13) moedas / 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação”. Seu enunciado é o seguinte: Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas verdadeiras. Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a falsa – são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de dois pratos). Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo. 2º PROBLEMA: Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante interessante: “15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica”. Segue, abaixo, seu enunciado: Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada. As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada massa (no caso “n” moedas), colocada sobre o seu prato. Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida. Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução mais simples. Saudações, AB. _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela (3)
2008/7/24, Eduardo AM [EMAIL PROTECTED]: (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Essa Palalela que divide o trapézio em dois trapézios menores você chama de 2d. Então a Área do trapézio maior = Soma das Áreas dos dois trapézios menores. (20+32)18/2 = (20+2d)d/2 + (2d+32)(18-d)/2 então d = 15. como a paralela mede 2d = 30. airton.
Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
hm... quase dá certo, mas olha só: se na primeira e segunda pesagem der o mesmo peso, você só vai saber que a moeda falsa está no grupo de 3 restante não vai saber se é mais leve ou mais pesada! Então na quarta pesagem não tem como descobrir qual é a falsa (ou então você descobre a falsa mas não descobre se é mais leve/pesada)... 2008/7/24 Luis Felipe Ticianeli Ferreira [EMAIL PROTECTED]: Possivel resposta da primeira questao: separamos as moedas em 4 grupos de 3 moedas. (passo1)Pegamos dois grupos e colocamos na balança.Se eles nao tiverem o mesmo peso, (passo2) deixemos um desses dois grupos na balança e pegamos um terceiro grupo q nao foi pesado e colocamos na balança. Se o peso for o mesmo,o primeiro grupo de 3 moedas tem a moeda falsa( sabemos que com a primeira e segunda mediçao sabemos que a moeda falsa é mais pesada ou mais leve que as outras). *passo 3)Pegamos duas das 3 moedas e pesamos se elas tiverem o mesmo peso a terceiramoeda e a falsa se elas nao tiverem o mesmo peso saberemos ql e a falsa por causa das duas medidas anteriores. se no passo 2 o peso do grupos nao for o mesmo do terceiro grupo que colocamos.essse grupo sera aquele que tem a moeda falsa e assim repetimos o passo 3(pois sabemos atraves das duas medidas ja se a moeda falsa e mais leve ou pesada que as demais) no passo 1 se a pesagem dos dois primeiros grupos tiverem o mesmo peso,nos tiramos um desses grupos e comparamos com um terceiro grupo.Se o terceiro for mais pesado ou mais leve repetimos o passo3 pois nesse grupó esta a moeda falsa.Se ele ainda tiver o mesmo peso,Pegamos o quarto grupo e repetimos o 3passo. ha algum erro? abraço -- From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Moedas: 2 problemas Date: Wed, 23 Jul 2008 23:45:05 -0300 Olá! 1º PROBLEMA: Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema 12 (ou 13) moedas / 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação. Seu enunciado é o seguinte: Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas verdadeiras. Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a falsa – são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de dois pratos). Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo. 2º PROBLEMA: Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante interessante: 15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica. Segue, abaixo, seu enunciado: Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada. As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada massa (no caso n moedas), colocada sobre o seu prato. Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida. Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução mais simples. Saudações, AB. -- Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu!http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br -- Rafael
[obm-l] Problemas interessantes de coloração
1) Pinte o plano com três cores. Prove que há dois pontos com a mesma cor situados a exatamente 1 unidade um do outro. 2) Pinte o plano com duas cores. Prove que uma dessas cores contém pares de pontos a qualquer distância entre si. 3) Pinte o plano com duas cores. Prove que existe um triângulo equilátero com todos os vértices da mesma cor. 4) Mostre que é possível colorir o plano em duas cores de modo que não exista um triâmgulo equilátero de lado 1 com todos os vértices da mesma cor. 5) Pinte o plano em duas cores. Mostre que existe um retângulo com todos os vértice da mesma cor. Os dois primeiros são muito fáceis, os outros são mais complicados.
[obm-l] Sobre Análise vetorial . . .
Aos colegas deste Grupo, boa tarde! Já faz algum tempo (poucos dias, talvez) alguém enviou uma solicitação relativa à Análise Vetorial, se não me engano, sobre coordenadas curvilíneas, coordenadas esféricas, ..., etc. Bom, lembrei-me da época em que eu ainda era um estudante, em um certo ICEx da vida ... e que, naquela época, eu fiz estes exercícios, e se o nosso colega puder consultar o livro Análise vetorial, escrito por Hwei P. Hsu, publicado pela LTC, do Rio de Janeiro, em 1972, encontrará as dicas para fazer as tais transformações de coordenadas, além de n outras dicas que poderão, talvez, resolver as suas pendências. Amplexo. Fernando Pinto P.S. Espero que esta mensagem não seja parada pelo crivo de algum Eratóstenes . rsss
Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Luis: Não vá por este caminho. Veja porquê: 1ª pesagem: 3 moedas X 3 moedas -- por hipótese, equilíbrio -- 6 moedas verdadeiras! 2ª pesagem: 3 moedas verdadeiras X 3 moedas -- por hipótese, equilíbrio -- 9 moedas verdadeiras! Você sabe, então, que a moeda falsa está entre 3 moedas, as quais não foram ainda para a balança! Logo, você não sabe se a moeda falsa é mais leve ou mais pesada e resta-lhe apenas uma única pesagem -- não é possível resolver! Sds., AB [EMAIL PROTECTED] [EMAIL PROTECTED] --- Em qui, 24/7/08, Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Rafael Ando [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Moedas: 2 problemas Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 19:00 hm... quase dá certo, mas olha só: se na primeira e segunda pesagem der o mesmo peso, você só vai saber que a moeda falsa está no grupo de 3 restante não vai saber se é mais leve ou mais pesada! Então na quarta pesagem não tem como descobrir qual é a falsa (ou então você descobre a falsa mas não descobre se é mais leve/pesada)... 2008/7/24 Luis Felipe Ticianeli Ferreira [EMAIL PROTECTED]: Possivel resposta da primeira questao: separamos as moedas em 4 grupos de 3 moedas. (passo1)Pegamos dois grupos e colocamos na balança.Se eles nao tiverem o mesmo peso, (passo2) deixemos um desses dois grupos na balança e pegamos um terceiro grupo q nao foi pesado e colocamos na balança. Se o peso for o mesmo,o primeiro grupo de 3 moedas tem a moeda falsa( sabemos que com a primeira e segunda mediçao sabemos que a moeda falsa é mais pesada ou mais leve que as outras). *passo 3)Pegamos duas das 3 moedas e pesamos se elas tiverem o mesmo peso a terceiramoeda e a falsa se elas nao tiverem o mesmo peso saberemos ql e a falsa por causa das duas medidas anteriores. se no passo 2 o peso do grupos nao for o mesmo do terceiro grupo que colocamos.essse grupo sera aquele que tem a moeda falsa e assim repetimos o passo 3(pois sabemos atraves das duas medidas ja se a moeda falsa e mais leve ou pesada que as demais) no passo 1 se a pesagem dos dois primeiros grupos tiverem o mesmo peso,nos tiramos um desses grupos e comparamos com um terceiro grupo.Se o terceiro for mais pesado ou mais leve repetimos o passo3 pois nesse grupó esta a moeda falsa.Se ele ainda tiver o mesmo peso,Pegamos o quarto grupo e repetimos o 3passo. ha algum erro? abraço From: [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Moedas: 2 problemas Date: Wed, 23 Jul 2008 23:45:05 -0300 Olá! 1º PROBLEMA: Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema 12 (ou 13) moedas / 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação. Seu enunciado é o seguinte: Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas verdadeiras. Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a falsa – são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de dois pratos). Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo. 2º PROBLEMA: Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante interessante: 15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica. Segue, abaixo, seu enunciado: Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada. As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada massa (no caso n moedas), colocada sobre o seu prato. Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida. Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução mais simples. Saudações, AB. Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! Crie já o seu! -- Rafael Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses
Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela
Concordo. Se o problema estiver enunciado assim, cabe recursos. Por exemplo, traça-se uma paralela ( por onde ???). Uma figura resolveria o problema. Dênis E. C. Vargas www.cefetrp.edu.br/denis Coord. Acad. de Matemática, Física e Estatística - CAMFE CEFET - Rio Pomba (32)-3571-5712 --- Em qui, 24/7/08, João Luís [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: João Luís [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 12:32 Esse problema está enunciado exatamente assim? Isso tá um vexame, descuidado e errado (comprimento da paralela?), - Original Message - From: Eduardo AM [EMAIL PROTECTED] To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, July 24, 2008 10:19 AM Subject: [obm-l] EEAr: tamanho da paralela (EEAr) As bases de um trapezio medem 32 cm e 20 cm, e a altura, 18 cm. Traca-se uma paralela às bases. O comprimento desa paralela é o dobro de sua distância à base menor. A medida dessa paralela, em centímetros, é: a)... b)... c)... d)30 Alguem poderia me explicar como chegar lah? Obrigado. = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Possivel SPAM na obm-l
Pessoal, spam sempre existiu e vai existir. Não é privilégio da nossa lista. Infelizmente, sugiro continuar com o procedimento mais fácil: apagar as mensagens. abraços Dênis E. C. Vargas www.cefetrp.edu.br/denis Coord. Acad. de Matemática, Física e Estatística - CAMFE CEFET - Rio Pomba (32)-3571-5712 --- Em qui, 24/7/08, Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] escreveu: De: Maurício Collares [EMAIL PROTECTED] Assunto: Re: [obm-l] Possivel SPAM na obm-l Para: obm-l@mat.puc-rio.br Data: Quinta-feira, 24 de Julho de 2008, 15:36 Que elemento, exatamente? O Nicolau Saldanha [EMAIL PROTECTED] é o fundador desta lista. Os spams não estão sendo enviados por ele, mas sim por programas que falsificam o rementente da mensagem. -- Abraços, Maurício 2008/7/24 Luiz Rodrigues [EMAIL PROTECTED]: Não é possível excluir este elemento da lista??? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = Novos endereços, o Yahoo! que você conhece. Crie um email novo com a sua cara @ymail.com ou @rocketmail.com. http://br.new.mail.yahoo.com/addresses = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] Moedas: 2 problemas
Ae galera acho que agora foi,nao tinha percebido meu erro quando escrevi aquela soluçao bom la vai, primeiro dividimos as moedas em tres grupos e 4 moedas. Comparamos dois grupos de 4 moedas: Se eles tiverem o mesmo peso,pegamos 3 das moedas que usamos nessa pesagem e comparamos com 3 do terceiro grupo q nao foi usado : Se elas tiverem o mesmo peso a moeda que eu nao usei do grupo 3 e a diferente Se elas nao tiverem o mesmo peso(voce ja vai sabe se a moeda diferente e mais pesada ou mais leve que as outras).Entao comparamos 2 moedas das 3 q tinhamos pego.Se tiverem o mesmo peso a moeda faltante e a diferente,se nao tiverem o mesmo peso ja saberemos qual e a moeda diferente. Se a primeira comparaçao nao tiver o mesmo peso,entao temos 4 moedas possibilidadas de ser 1 a mais pesada ou 4 moedas possibilitadas de ser a mais leve,sendo assim pegamos 3 moedas do 3 grupo(pois esse grupo esta isento de suspeitas) e fazemos 2 montes para compararmos.Um com 3 moedas normais e uma com a possibilidade de a ser mais pesada e nos outro 3 com a possibilidae de ser a mais pesada e uma com a possiblidade de ser a mais leve: Se elas possuerem o mesmo peso: Entao a moeda diferente e mais leve e sobraram 3 moedas para descobrimos ql seria.(passo2)Comparamos duas,se tiveremo mesmo peso a 3 sera a moeda leve.Se nao, a moeda mais leve e a moeda diferente. vamos fazer uma notaçao aqui: 3 moedas normais e uma com possibilidade de ser mais pesada:Monte 1 3 moedas com a possibilidae de ser a mais pesada e uma com a possiblidade de ser a mais leve:monte 2 Se o monte 1 for o MAIS PESADO: temos duas alternativas ou a moeda (possivelmente)leve do monte 2 ou a moeda(possivelmente) pesada do monte 1 é a moeda diferente comparamos qlqer uma dessas duas com uma moeda do terceiro grupo q ja sabemos q sao normais,se o peso for diferente ela sera a diferente se nao for diferente o peso a outra sera a diferente. Se o monte 2 for o mais pesado: Entao uma das 3(possivelmente) mais pesada sera a diferente.Fazemos o passo2(so q nese caso procurando a mais pesada) descrito ali em cima e saberemos ql delas e a diferente essa soluçao esta correta? abraços From: [EMAIL PROTECTED]: [EMAIL PROTECTED]: [obm-l] Moedas: 2 problemasDate: Wed, 23 Jul 2008 23:45:05 -0300 Olá! 1º PROBLEMA: Acredito que quase todos vocês já conheçam o problema “12 (ou 13) moedas / 1 moeda falsa (+ leve OU + pesada) / balança de comparação”. Seu enunciado é o seguinte: Considere uma coleção de 12 (pode, até, ser de 13) moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa, em relação às demais, é que o seu peso é DIFERENTE, isto é, pode ser MAIOR, ou MENOR, do que o peso das moedas verdadeiras. Todas as moedas verdadeiras têm o mesmo peso. Todas as moedas – inclusive a falsa – são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança de comparação (balança de dois pratos), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 3 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança de comparação (i.e., uma balança de dois pratos). Este é um problema simples, cuja solução, entretanto, requer bastante inteligência. Aqueles que não o conhecem podem tentar resolvê-lo. 2º PROBLEMA: Outro dia, um aluno me propôs um problema similar e, também, bastante interessante: “15 moedas / 1 moeda falsa (+ pesada) / 1 balança eletrônica”. Segue, abaixo, seu enunciado: Considere uma coleção de 15 moedas – uma delas é falsa. A única diferença entre a moeda falsa e as demais é que ela é mais pesada. As 14 moedas verdadeiras têm o mesmo peso. As 15 moedas são aparentemente iguais. Dispondo de uma balança eletrônica (destas que fornecem o peso com exatidão), pede-se determinar qual é a moeda falsa, utilizando a balança, no máximo, 4 vezes. Reparem que se dispõe apenas de uma balança eletrônica, isto é, de um único prato. Este tipo de balança indica o valor numérico do peso de uma determinada massa (no caso “n” moedas), colocada sobre o seu prato. Nota: a divisão (quebra) de qualquer moeda não é permitida. Bem, só consegui resolver este problema de uma forma MUITO complicada. Resolvi, então, propô-lo a vocês para saber se alguém conhece, ou descobre, uma solução mais simples. Saudações, AB. _ Receba GRÁTIS as mensagens do Messenger no seu celular quando você estiver offline. Conheça o MSN Mobile! http://mobile.live.com/signup/signup2.aspx?lc=pt-br
