Re: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME

2009-01-09 Por tôpico Saulo 

Realmente é de grande louvor mesmo.
Eu tenho resoluções das provas do IME de 1982 até 2000 ou 2001 se
não me engano.
Tenho provas da década de 70 tbm, um material muito rico com questões
do IME e ITA. Algumas questões resolvidos já.



Mensagem Original:
Data: 17:11:30 09/01/2009
De: Paulo Santa Rita 
Assunto: Re: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME



Ola Sérgio,
Parabéns ! Este seu trabalho é digno de louvor em diversos 
sentidos.Tenha certeza que ele já é e será útil em diversos níveis e 
paradiversos tipos de estudantes. Se precisar de ajuda na solução 
dealguma questão, conte comigo.


Um AbraçãoPSR, 60901091709
2009/1/9 Sergio Lima Netto :>> Caros colegas da 
lista,>> Estou disponibilizando no site> 
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime> TODOS os arquivos-fonte de LaTeX> 
(.tex para os textos e .eps para as figuras)> do material com as 
provas de matematica do> vestibular do IME.>> O uso 
pessoal/individual deste material eh livre> (para edicao, correcao, 
complementacao, divulgacao etc.)> O uso institucional deve ser 
solicitado por email.>> Considero que este foi um grande projeto, 
feito com muito> carinho. Gostaria muito de ve-lo continuado,> 
expandido, melhorado, divulgado, ou seja, usado,> por varias outras 
pessoas.>> Abraco,> sergio>> 
=> 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> 
=>

=
Instru??es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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--
CEFET-RJ
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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Re: [obm-l] indução

2009-01-09 Por tôpico Ralph Teixeira 
Resposta curta: o problema eh que o passo de inducao nao funciona de
k=1 para k=2.

Resposta comprida: para provar que uma sentenca s(n) vale para todo n
natural, por inducao, precisamos provar que:
i) s(1) eh V
ii) Para todo k natural, s(k) implica s(k+1)

No nosso caso, s(n) eh: "Todo conjunto com n bolas que tenha pelo
menos uma bola azul soh tem bolas azuis."

Como voce disse, s(1) eh V; corretissimo.

Agora, o resto do argumento mostra que s(k) implica s(k+1) para k=2 ou
mais; mas o argumento nao funciona para mostrar que s(1) implica s(2).
De fato, siga a sua demonstracao devagarzinho fingindo que n=1. Quando
voce chegar na frase "retire uma bola deste conjunto e reponha a bola
tirada inicialmente", voce nao pode aplicar s(1) a este conjunto para
concluir que esta bola tirada inicialmente eh azul -- afinal, a
hipotese "tem pelo menos uma bola azul" nao vale para este conjunto de
uma bola (que pode ser de qualquer cor).

Agora, para realmente entender inducao, note que, se s(2) valesse (por
algum motivo estranho), entao seu raciocinio estaria 100% correto e
teriamos que s(n) vale para todo n sim senhor! Traducao: suponha que
voce estah num mundo com n bolas, onde qualquer conjunto de duas
bolas, sendo uma azul, tem que ter duas bolas azuis. Neste mundo, se
ha uma bola azul, todas sao azuis.

E se voce quiser ver se estah MUITO craque: suponha que num mundo com
infinitas bolas, qualquer conjunto de duas bolas com uma azul tem que
ter duas bolas azuis. A inducao sozinha NAO PROVA que todas as bolas
deste mundo sao azuis. Em outras palavras, inducao prova s(n) para
todo n natural -- mas nao prova s(n) quando "n=infinito".

Abraco,
Ralph

2009/1/9 Murilo Krell :
> Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?
>
> já quebrei a cabeça, mas não consigo achar
>
> Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:
>
> Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
> azuis.
> Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
> elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
> dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
> elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
> indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
> bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
> hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.
>
> []'s
>
> Murilo
>

=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] representação de p ares ordenados

2009-01-09 Por tôpico Tarso de Moura Leitão 
O correto é { {a} ; { a , b } } , e não { a ; { a , b } } , conforme escrevi 
distraidamente. É a primeira definição ( creio que é de Kuratowisk , polonês ) 
que nos permite demonstrar que
{{ a }, { a , b } } = { { c } , { c, d } } implica em a=c e b=d. A demonstração 
é simples, porém interessante.
Salut
Tarso de Moura Leitão

Re: [obm-l] indução

2009-01-09 Por tôpico Rafael Assis 
Note que no passo de indução (n para n+1) ele supõe implicitamente que n>2.

Para n=2 não funciona, pois não há a "bola de conexão" das cores. Faça você
mesmo o
raciocínio com n=2.

Saudações a todos.

Re: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME

2009-01-09 Por tôpico Paulo Santa Rita 
Ola Sérgio,
Parabéns ! Este seu trabalho é digno de louvor em diversos sentidos.Tenha 
certeza que ele já é e será útil em diversos níveis e paradiversos tipos de 
estudantes. Se precisar de ajuda na solução dealguma questão, conte comigo.

Um AbraçãoPSR, 60901091709
2009/1/9 Sergio Lima Netto :>> Caros colegas da lista,>> 
Estou disponibilizando no site> www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime> TODOS os 
arquivos-fonte de LaTeX> (.tex para os textos e .eps para as figuras)> do 
material com as provas de matematica do> vestibular do IME.>> O uso 
pessoal/individual deste material eh livre> (para edicao, correcao, 
complementacao, divulgacao etc.)> O uso institucional deve ser solicitado por 
email.>> Considero que este foi um grande projeto, feito com muito> carinho. 
Gostaria muito de ve-lo continuado,> expandido, melhorado, divulgado, ou seja, 
usado,> por varias outras pessoas.>> Abraco,> sergio>> 
=> 
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em> 
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html> 
=>
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

[obm-l] indução

2009-01-09 Por tôpico Murilo Krell 
Pessoal, alguém poderia dar uma ajudinha?

já quebrei a cabeça, mas não consigo achar

Explique, com palavras, o erro da seguinte indução:

Afirmação: Dado um conjunto de n bolas, se uma delas é azul, então todas são
azuis.
Demonstração: para n=1, como pelo menos uma bola é azul e há apenas um
elemento, então todas as bolas são azuis. Suponha a afirmação válida para um
dado n. Tome um conjunto de n + 1 bolas, onde pelo menos uma é azul. Tire um
elemento do conjunto que não seja esta bola azul fixada. Pela hipótese de
indução, todas as bolas desse conjunto com n elementos são azuis. Retire uma
bola desse conjunto e reponha a bola tirada inicialmente. Novamente pela
hipótese de indução temos que todas as n + 1 bolas são azuis.

[]'s

Murilo

Re: [obm-l] representação de pares ordenados

2009-01-09 Por tôpico Henrique Rennó 
E os seguintes casos?

1:
{ {a}, {a, b}, {a, c} } seria (a, b, c) ?
{ {a}, {a, b}, {b, c} } seria (a, b, c) ?

Conjuntos diferentes correspondendo ao mesmo par ordenado.

2:
{ {a}, {a, b}, {b} } seria (a, b, ?) ou (a, b, b)?
{ {b}, {a, b}, {a} } seria (b, a, ?) ou (b, a, a)?

Conjuntos iguais correspondendo a pares ordenados diferentes.

O número de elementos no conjunto (sejam outros conjuntos ou não) é que
especifica quantos elementos haverá no par ordenado? No caso 2, como a e b
já foram "usados", qual seria o terceiro elemento do par ordenado?

Estou pegando o conceito errado?

2009/1/9 Artur Costa Steiner 

>  A logica e que a cada par ordenado corresponde um e somente um dos
> conjuntos citados. Os pares sao identificadis com a colecao de conjuntos.,
>

-- 
Henrique

RES: [obm-l] representação de pares ordenados

2009-01-09 Por tôpico Artur Costa Steiner 
A logica e que a cada par ordenado corresponde um e somente um dos conjuntos 
citados. Os pares sao identificadis com a colecao de conjuntos.,

-Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em nome de 
Henrique Rennó
Enviada em: quarta-feira, 7 de janeiro de 2009 16:47
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] representação de pares ordenados


Não está óbvio pra mim como um conjunto onde os elementos são conjuntos é um 
par ordenado. Qual a lógica?


2009/1/5 Artur Costa Steiner < 
artur.stei...@mme.gov.br>


Do ponto de vista formal, o par ordenado (a, b) é representado pela coleção 
{{a}, {a, b}}. Veja que isto garante que (a, b) seja diferente de (b, a), pois 
(a, b) = {{a}, {a, b}} e (b,a) = {{b}, {a, b}}. Mas isto é uma formalidade. 
Duvido que o mais purista dos matemáticos pense desta forma quando vê o par 
ordenado (a, b).

Artur



--
Henrique

Re: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME

2009-01-09 Por tôpico João Luís 



Sérgio,

Novamente te agradeço pelo imenso serviço prestado a todos nós. Seu trabalho 
está sendo excepcional.


Um abraço,

João Luís.

- Original Message - 
From: "Sergio Lima Netto" 

To: 
Sent: Friday, January 09, 2009 12:51 PM
Subject: [obm-l] Arquivos fontes - Material do IME




Caros colegas da lista,

Estou disponibilizando no site
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime
TODOS os arquivos-fonte de LaTeX
(.tex para os textos e .eps para as figuras)
do material com as provas de matematica do
vestibular do IME.

O uso pessoal/individual deste material eh livre
(para edicao, correcao, complementacao, divulgacao etc.)
O uso institucional deve ser solicitado por email.

Considero que este foi um grande projeto, feito com muito
carinho. Gostaria muito de ve-lo continuado,
expandido, melhorado, divulgado, ou seja, usado,
por varias outras pessoas.

Abraco,
sergio





=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
= 



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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
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=

RES: [obm-l] Re: [obm-l] representação de pares ordena dos

2009-01-09 Por tôpico Artur Costa Steiner 
Na realidade, não faz diferenca se identificarmos (a, b) com {{a}, {a, b}} ou 
com {a, {a, b}}. Acho que esta ultima formulacao, mais simples, eh de fato a 
mais usual.

O importante eh que o par ordenado (a, b) é identificado com {a, {a, b}} 
(adotando-se a formulacao mais usual).

Pela definicao, se o resultado da competicao for {a, {a, b}}, entao sabe-se que 
temos o par (a, b), a ficou em primeiro e b em segundo. Se fosse {b, {a, b}}, 
seria o contrario (b, a). A letra que aparece 2 vezes na notacao por conjunto 
eh o primeiro elemento do par. A que aparece uma vez soh vem em 2o.

Nao hah duvida que (a b) eh muito mais simples e intutivo que {a, {a, b}}. Esta 
ultima definicao eh uma formalidade, mas que tem a utilidade de deixar 
rigorosamente claro que (a, b) diferente de (b, a)

Artur

[Artur Costa Steiner]  -Mensagem original-
De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br]em nome de 
Henrique Rennó
Enviada em: sexta-feira, 9 de janeiro de 2009 09:16
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Re: [obm-l] representação de pares ordenados



Ainda não entendi. Pelo que foi passado pelo Artur, a igualdade seria (a, b) = 
{ {a}, {a, b} }, ou seja, um conjunto onde os elementos são outros dois 
conjuntos, um contendo o elemento a e outro contendo a, b, e não como você 
citou (a, b) = {a, {a, b} }. Mas mesmo assim, como é a relação entre um par 
ordenado com o conjunto?

Supondo que (a, b) represente o resultado de uma competição, onde a ficou em 
primeiro e b em segundo. Por que { {a}, {a, b} } ou {a, {a, b} } nos daria o 
mesmo tipo de resultado? Como eu saberia a partir dessas últimas relações quem 
foi o primeiro e quem foi o segundo, onde (a, b) fornece essa informação mais 
claramente?


2009/1/7 Tarso de Moura Leitão < 
barz...@dglnet.com.br>


Bem, a propriedade que impomos  para ser um par ordenado é: par{a , b } = par 
{c , d } se, e somente se,
a=c e b=d, esta é a parte "ordenando". Agora como se fundamenta toda a 
matemática na Teoria dos Conjuntos
o natural é procurar uma definição de par ordenado como um certo conjunto. É 
exatamente isso que faz a definição
(a , b ) = { a , { a , b } }. Creio que há outras definições com o mesmo 
espírito, essa deve ser a mais simples de todas.
Salut
Tarso de Moura Leitão


--
Henrique

Re: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear

2009-01-09 Por tôpico Carlos Alberto da Silva Victor 
Olá  Albert ,

OK , entendi .Obrigado pela  observação .

2009/1/9 Albert Bouskela 

> Olá!
>
> Certo!
>
> A 2ª parte é ainda mais fácil - você não quis atacá-la?
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>
>
> --
>
> Date: Thu, 8 Jan 2009 23:51:37 -0200
> From: victorcar...@globo.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
> Subject: Re: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear
>
>
>
> Olá Albert ,
> Para  (1) :
>
> Considere  a função  f(x) = a^x -x . Observe  que  devemos  ter a>1 , ok ?
> . Tomando  a segunda  derivada , podemos  concluir  que  o gráfico  de  f
> tem  concavidade  para  cima .Como f(0) = 1 , basta  nós  forçarmos  que
> para f´(x) = 0 , tenhamos  f(x)>0 , ou seja  a maior  do que  ou igual a
> e^(1/e) . Logo  o valor mínimo  de  a  é  e^(1/e) , ok ?
> []´s
>
> carlos Victor
>
> 2009/1/8 Albert Bouskela 
>
> Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear
>
> Sabe-se que "x" é uma variável real e positiva
>
> Determine o menor valor da constante real "a" para cada uma das duas
> inequações seguintes:
>
> 1)  a^x > x
>
> 2)  a^x > a.x
>
> Sds.,
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
>
> --
> É fácil compartilhar suas fotos com o Windows Live™ Arraste e 
> solte
>
>
>
>
> --
> Abraços
>
> Carlos  Victor
>
> --
> Instale a Barra de Ferramentas com Desktop Search e ganhe EMOTICONS para o
> Messenger! É GRÁTIS! 
>



-- 
Abraços

Carlos  Victor

[obm-l] Arquivos fontes - Material do IME

2009-01-09 Por tôpico Sergio Lima Netto 


Caros colegas da lista,

Estou disponibilizando no site
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime
TODOS os arquivos-fonte de LaTeX
(.tex para os textos e .eps para as figuras)
do material com as provas de matematica do
vestibular do IME.

O uso pessoal/individual deste material eh livre
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O uso institucional deve ser solicitado por email.

Considero que este foi um grande projeto, feito com muito
carinho. Gostaria muito de ve-lo continuado,
expandido, melhorado, divulgado, ou seja, usado,
por varias outras pessoas.

Abraco,
sergio





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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Re: [obm-l] representação de pares ordenados

2009-01-09 Por tôpico Marcelo Salhab Brogliato 
Olá Henrique,
a diferença entre par ordenado e conjunto é que o par ordenado (a, b) é
diferente do par ordenado (b, a), mas o conjunto { a, b } é igual ao
conjunto { b, a }.
A representação do par ordenado em conjuntos é: (a, b) = { {a}, {a, b} },
pois, veja que a representação de (b, a) seria { {b}, {a, b} }, que é
diferente de { {a}, {a, b} }. Desta maneira, utilizando esta definição acima
(existem outras, por exemplo: (a, b) = { {b}, {a, b} }), temos que o
primeiro elemento (a) seria o elemento de { {a}, {a, b} } com um único
elemento.. no caso, {a}, e o segundo elemento (b) seria o outro.
Veja, também, que (a, b) = (c, d) sss a=c e b=d vale para a representação em
conjuntos (graças a deus! hehe), pois:
{ {a}, {a, b} } = { {c}, {c, d} } sss a=c e b=d.

nossa, acho que ficou confuso..
abraços,
Salhab


2009/1/9 Henrique Rennó 

> Ainda não entendi. Pelo que foi passado pelo Artur, a igualdade seria (a,
> b) = { {a}, {a, b} }, ou seja, um conjunto onde os elementos são outros dois
> conjuntos, um contendo o elemento a e outro contendo a, b, e não como você
> citou (a, b) = {a, {a, b} }. Mas mesmo assim, como é a relação entre um par
> ordenado com o conjunto?
>
> Supondo que (a, b) represente o resultado de uma competição, onde a ficou
> em primeiro e b em segundo. Por que { {a}, {a, b} } ou {a, {a, b} } nos
> daria o mesmo tipo de resultado? Como eu saberia a partir dessas últimas
> relações quem foi o primeiro e quem foi o segundo, onde (a, b) fornece essa
> informação mais claramente?
>
> 2009/1/7 Tarso de Moura Leitão 
>
>  Bem, a propriedade que impomos  para ser um par ordenado é: par{a , b } =
>> par {c , d } se, e somente se,
>> a=c e b=d, esta é a parte "ordenando". Agora como se fundamenta toda a
>> matemática na Teoria dos Conjuntos
>> o natural é procurar uma definição de par ordenado como um certo conjunto.
>> É exatamente isso que faz a definição
>> (a , b ) = { a , { a , b } }. Creio que há outras definições com o mesmo
>> espírito, essa deve ser a mais simples de todas.
>> Salut
>> Tarso de Moura Leitão
>>
>
> --
> Henrique
>

[obm-l] Arquivo de Provas do IME

2009-01-09 Por tôpico Sergio Lima Netto 


Caros colegas da lista,

Estou disponibilizando no site
www.lps.ufrj.br/~sergioln/ime
a versao 14 do material com as provas
de matematica do vestibular do IME.
Nesta versao, incluo apenas as provas
(objetiva e discursiva) do ultimo ano
(2008/2009) e tres pequenas correcoes enviadas
pelos atenciosos leitores.

Abraco,
sergio


=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=

Re: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear

2009-01-09 Por tôpico Carlos Alberto da Silva Victor 
Olá  Albert ,

Para  o (2) , utilize  a mesma idéia   e chegue  a  seguinte conclusão : o
real  "a" deveser tal que
e^a é menor doque ou igual a a^e  e , levando  em consideração que  a função
g(x) = ln(x)/x  é  decrescente  para x maior do que ou igual  a  "e",,
temos  que  o valor  de  a é tal que e  *< *a  *<* e.lna  . Conclusão : o
valor  de  a  deve ser escolhido tal que esta  desigualdade  sejka
satisfeita , ok ?

Qualquer  crítica  neste  desenvolvimento será bem - vinda .




2009/1/8 Albert Bouskela 

>  Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear
>
>
>
> Sabe-se que "x" é uma variável real e positiva
>
>
>
> Determine o menor valor da constante real "a" para cada uma das duas
> inequações seguintes:
>
> 1)  a^x > x
>
> 2)  a^x > a.x
>
>
>
> Sds.,
>
> AB
> bousk...@msn.com
>
>
>
> --
> É fácil compartilhar suas fotos com o Windows Live™ Arraste e 
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>



-- 
Abraços

Carlos  Victor

Re: Re: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear

2009-01-09 Por tôpico Eduardo Wilner 
Porque a>1 ?
a=0,36<1 ; x=0,5 ; a^x=0,6>x   



  Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados
http://br.maisbuscados.yahoo.com

RE: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear

2009-01-09 Por tôpico Albert Bouskela 

Olá!
 
Certo!
A 2ª parte é ainda mais fácil - você não quis atacá-la?
abbousk...@msn.com



Date: Thu, 8 Jan 2009 23:51:37 -0200From: victorcar...@globo.comto: 
ob...@mat.puc-rio.brsubject: Re: [obm-l] Crescimento Exponencial vs. 
Crescimento Linear
Olá Albert ,
Para  (1) :
 
Considere  a função  f(x) = a^x -x . Observe  que  devemos  ter a>1 , ok ? . 
Tomando  a segunda  derivada , podemos  concluir  que  o gráfico  de  f  tem  
concavidade  para  cima .Como f(0) = 1 , basta  nós  forçarmos  que  para f´(x) 
= 0 , tenhamos  f(x)>0 , ou seja  a maior  do que  ou igual a
e^(1/e) . Logo  o valor mínimo  de  a  é  e^(1/e) , ok ? 
[]´s
 
carlos Victor
2009/1/8 Albert Bouskela 


Crescimento Exponencial vs. Crescimento Linear
 
Sabe-se que "x" é uma variável real e positiva
 
Determine o menor valor da constante real "a" para cada uma das duas inequações 
seguintes:
1)  a^x > x
2)  a^x > a.x
 
Sds.,
abbousk...@msn.com

É fácil compartilhar suas fotos com o Windows Live™ Arraste e solte-- Abraços 
Carlos  Victor
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Re: [obm-l] Re: [obm-l] representação de pares ordenados

2009-01-09 Por tôpico Henrique Rennó 
Ainda não entendi. Pelo que foi passado pelo Artur, a igualdade seria (a, b)
= { {a}, {a, b} }, ou seja, um conjunto onde os elementos são outros dois
conjuntos, um contendo o elemento a e outro contendo a, b, e não como você
citou (a, b) = {a, {a, b} }. Mas mesmo assim, como é a relação entre um par
ordenado com o conjunto?

Supondo que (a, b) represente o resultado de uma competição, onde a ficou em
primeiro e b em segundo. Por que { {a}, {a, b} } ou {a, {a, b} } nos daria o
mesmo tipo de resultado? Como eu saberia a partir dessas últimas relações
quem foi o primeiro e quem foi o segundo, onde (a, b) fornece essa
informação mais claramente?

2009/1/7 Tarso de Moura Leitão 

>  Bem, a propriedade que impomos  para ser um par ordenado é: par{a , b } =
> par {c , d } se, e somente se,
> a=c e b=d, esta é a parte "ordenando". Agora como se fundamenta toda a
> matemática na Teoria dos Conjuntos
> o natural é procurar uma definição de par ordenado como um certo conjunto.
> É exatamente isso que faz a definição
> (a , b ) = { a , { a , b } }. Creio que há outras definições com o mesmo
> espírito, essa deve ser a mais simples de todas.
> Salut
> Tarso de Moura Leitão
>

-- 
Henrique