Re: [obm-l] RE: [obm-l] Teorema da diferença de dois números elevados ao mesmo expoente
Oi, Arthur (e Rafael) O Rafael no foi muito claro no que escreveu, mas o que eu entendi que ele estava descobrindo uma forma de reescrever, usando "Binmio de Newton", a espresso a^n - b^n = [a + (b-a) ]^n - b^n. Os exemplos que ele explicitou para n = 2 e n = 3 mostram isto... Abraos, Nehab PS: Rafael, seja benvindo... Voc j estudou Binmio de Newton? Em qual srie voc est? Artur Steiner escreveu: A igualdade, sem dvida est certa, mas creio que voc pensou em escreveralgo diferente, pois, da forma como est, ele imediata: [b + (a-b)]^n - b^n = [b + a - b]^n - b^n = a^n - b^n Acho que vc tinha em mente algo diferente. Artur From: leafar...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Teorema da diferena de dois nmeros elevados ao mesmo expoente Date: Wed, 9 Sep 2009 13:49:24 -0300 Um ol para todos. Meu nome Rafael Aguiar, estou cursando o ensino mdio e encontrei uma propriedade matemtica interessante que meu professor recomendou enviar para essa lista: Comecei encontrando um teorema para potncias de segundo grau que diz que: a^2 - b^2 = 2.b.(a-b) + (a-b)^2 Algum tempo depois desenvolvi-lo para potncias de terceiro grau: a^3 - b^3 = 3.b.(a-b)^2 + 3.b^2.(a-b) + (a-b)^3 E assim sucessivamente com naturais, inteiros, etc... Cheguei ento a uma generalizao do teorema que afirma que: a^n - b^n = [b + (a-b)]^n - b^n No sei se usei a notao adequada para escrever isto no teclado, mas espero que vocs tenham entendido. Gostaria de saber o que vocs acham sobre essa propriedade que encontrei juntamente com a generalizao, se est correta, etc. Desde j agradeo. Navegue com segurana com o Novo Internet Explorer 8. Baixe agora, gratis! Novo Internet Explorer 8: faa tudo com menos cliques. Baixe agora, gratis! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] FW: Combinatória
Será que podem me ajudar? Wilson Alves 1) Considere 3 vogais ( incluindo o A ) e 7 consoantes ( incluindo o B ): a) Qtos anagramas de 5 letras diferentes podem ser formados com 3 consoantes e 2 vogais? Pensei da seguinte forma: 1ª etapa: Formar uma sequencia com as 3 consoantes: Portanto 7.6.5 anagramas 2ª etapa: Formar uma sequencia com as 2 vogais: Portanto 3.2 anagramas 3ª etapa: Agora uma nova sequencia( 3 + 2 ): Portanto 5.4.3.2.1 anagramas Pelo Principio Multiplicativo, terei 7.6.5.3.2.5.4.3.2.1 anagramas, que é igual a 151.200 anagramas, mas a resposta do livro é 12.600 anagramas. Onde é que estou errando? Considerando os anagramas do item ( a ), responda: b) Qtos contêm a letra B ? c) Qtos começam com o B? d) Qtos começam com o A ? e) Qtos começam com A e contêm o B ? _ Acesse o Portal MSN do seu celular e se mantenha sempre atualizado. Clique aqui. http://www.windowslive.com.br/celular/home.asp?utm_source=MSN_Hotmailutm_medium=Taglineutm_campaign=MobileServices200908
[obm-l] Teoria dos Números
Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões. 01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n 02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1 03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n, p são naturais e p é primo. Agradeço a todos. Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Olá Diogo, Nossa, qto tempo não participo aqui da OBI.. Bom, deixa eu tentar: 1) Veja que os únicos valores para x são 2 ou 2^k + 1, visto que qquer outro valor iria inserir um outro número primo ali e nunca teríamos a igualdade. Agora, basta testarmos: Para x=2, temos: 1 * (4+2+1) = 7, que não é igual a 2^n para nenhum n. Para x=2^k + 1, temos: (2^k + 1 - 1)((2^k+1)^2 + (2^k+1) + 1) = (2^k)*(2^(2k) + 2^(k+1) + 1 + (2^k+1) + 1) Mas: 2^(2k) + 2^(k+1) + 2^k + 3 é ímpar, possuindo um primo diferente de 2 e, portanto, nunca sendo igual a 2^n. 2) analisando x^2 = 2^n + 1 modulo 2, temos: x^2 == 1 (mod 2), portanto: x == 1 (mod 2), isto é, x é ímpar. x = 2k+1, então: x^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2^n + 1, e: 4k^2 + 4k = 2^n. Fatorando: 4k(k+1) = 2^n.. mas k(k+1) sempre terá um fator ímpar. Se este fator ímpar for 1, temos k=1 e 4*2 = 2^n, logo: n=3, portanto, o par (1, 3) Agora, se este fator for outro ímpar, teremos um fator primo diferente de 2 e a igualdade nunca será satisfeita. Logo, o único par é (1, 3). 3) x^m = p^n + 1... olhando esta equação modulo p, temos: x^m == 1 (mod p), isto é, x*x^(m-1) == 1 (mod p), isto é, só podem ser os números em possuem inversa modulo p, e cuja inversa é da forma x^(m-1). Desta maneira, sabemos que mdc(m, p) = 1, visto que é uma condição necessária e suficiente para um número possuir inversa módulo p. Analisando x^m = p^n + 1 módulo p^k, k=n, temos: x^m == 1 (mod p^k), então, vemos que x*x^(m-1) == 1 (mod p^k). Isto é, mdc(x, p^k) = 1... mas isso não é novidade, visto que mdc(x, p) = 1 implica mdc(x, p^k) = 1. O que acho importante é que x tem inversa x^(m-1) módulo p^k, k=n. Estou pensando em como determinar os valores de x e m sabendo p e n, mas ainda não cheguei a nada interessante ;) hehehe Espero que o que eu fiz sirva pra alguma coisa ;) Fica ai para alguém continuar. abraços, Salhab 2009/9/10 Diogo FN diog...@yahoo.com.br *Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões.* 01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n 02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1 03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n, p são naturais e p é primo. Agradeço a todos. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Livros olímpi cos de progressões
Talvez possa te ajudar, alguns textos que estou escrevendo Números especiais, como triangulares e poligonais em geral, fibonacci, stirling, bernoulli http://www.4shared.com/dir/13886727/2d617d46/numeros_especiais.html Recorrências, aplicações , recorrências e divisibilidade http://www.4shared.com/dir/10890531/f77e51ad/Recorrncias.html Produtórios finitos e alguns infinitos http://www.4shared.com/dir/10890463/65c5aef3/Produtrios.html potências fatoriais (factorial power), mais stirling, etc ( podem ser usados em somas) http://www.4shared.com/dir/10890476/cb46b3d/Funes_fatoriais.html coeficientes binomiais http://www.4shared.com/dir/13656520/721b994a/coeficiente_binomial.html Somatórios http://www.4shared.com/dir/10890465/8ca60bc6/Somatrios.html Funções especiais como, piso, teto http://www.4shared.com/dir/10890471/92d0fe9e/Funes_especiais.html Operadores que ajudam em recorrências http://www.4shared.com/dir/11569253/afd441b3/operadores.html Em 09/09/09, Luís Lopesqed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda,c~oes, Oi Lafayette Escrevi o Manual de Progressões cujo conteúdo aborda exatamente o que você quer. Dá uma conferida na amostra em pdf em www.escolademestres.com/qedtexte Sobre o Manual de Sequência e Séries (MSS) Editora didática científica Este livro está esgotado. Ganhou uma versão muito ampliada e foi substituído pelos MSS Volumes I e II. Ver amostras no mesmo site. []'s Luís From: prof_fabioberna...@yahoo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Livros olímpicos de progressões Date: Tue, 8 Sep 2009 21:29:00 -0300 Tenho dois que gosto muito. Não sei se são os melhores, mas são excelentes. Progressões e Matemática Financeira Coleção do Professor de Matemática – SBM Morgado, Eduardo Wagner e Sheila C. Zani Manual de Sequência e Séries Editora didática científica Luís Lopes O Professores luiz Lopes e Eduardo Wagner estão sempre presentes na lista contribuindo com soluções brilhantes. Espero ter ajudado. De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Lafayette Jota Enviada em: terça-feira, 8 de setembro de 2009 17:45 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Livros olímpicos de progressões Bom dia amigos, Gostaria de saber se alguém tem como indicar um bom livro de progressões, que trate de tópicos que geralmente ficam mais restritos a olimpíadas, para recomendar. Pretendo usá-lo como livro texto em turmas específicas, nível de 2o grau. O pré-requisito, como citado acima, é que aborde temas mais olímpicos, como P.A. de segunda ordem; P.A.G; soma de quadrados, soma de cubos etc. Se alguém da lista for o autor de um destes livros, melhor ainda, será um prazer comprar! []s Lafayette De: Lafayette Jota l...@ymail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Segunda-feira, 7 de Setembro de 2009 16:34:05 Assunto: Res: [obm-l] Desafio! Poxa, esse é difícil! Manda mais dados aí :-) De: jose silva jccardo...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Domingo, 6 de Setembro de 2009 23:07:52 Assunto: [obm-l] Desafio! Novo Internet Explorer 8: faça tudo com menos cliques. Baixe agora, é gratis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Verificado por AVG - www.avgbrasil.com.br Versão: 8.5.375 / Banco de dados de vírus: 270.13.83/2352 - Data de Lançamento: 09/07/09 18:03:00 _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Teoria dos Números
Diogo. Questão 01. (x - 1)(x² + x +1) = 2^n = x-1 = 2^k1 (I) e (x² + x +1) = 2^k2 (II) tal que k1+k2 = n. somando (I) e (II) x² + x +1 + x -1 = x² + 2x = x(x+2) = 2^k1 + 2^k2 Como 2^k1 é par 2^k2 é par 2^k1 + 2^k2 é par. = x(x+2) é par = x é par. Porém de (I) x-1 é par!!! x e x-1 pares = Absurdo. Não existe x tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n Abraços. Hugo. 2009/9/10 Diogo FN diog...@yahoo.com.br *Eu tava estudando e não consegui resolver, essas 3 questões.* 01. Mostre que não existe x (natural) tal que (x - 1)(x² + x +1) = 2^n 02. Determine todos os pares (x,n) (inteiros) tais que x² = 2^n + 1 03. Fazer um estudo sobre as soluções da equação x^m = p^n + 1 , onde x, m,n, p são naturais e p é primo. Agradeço a todos. -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Eudoxo Zenão
Gostaria de saber a opinião de vocês quanto a essas questões. 1) O que você achou da solução dada por Eudoxo para o dilema de Pitágoras? 2) Como você explica as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão? Aquiles não ultrapassa a tartaruga? _ Você sabia que pode acessar o Messenger direto do seu Hotmail? Descubra como! http://www.microsoft.com/brasil/windows/windowslive/products/tutoriais.aspx
[obm-l] Res: [obm-l] Eudoxo Zenão
Aquiles ultrapassa a tartaruga sim! Se notarmos que os tempos gastos por Aquiles em seus deslocamentos são uma P.G de razão positiva e menor que 1, notamos que esta P.G converge, e converge justamente para... o momento em que Aquiles emparelha (ultrapassa) a tartaruga. A mesma coisa acontece com as distâncias. A soma das infinitas distâncias é a distância até a ultrapassagem. Um jeito legal que eu achei de interpretar isso é que a soma infinita não é algo que existe na realidade do problema. O que existe é Aquiles correndo atrás da tartaruga e, obviamente, ultrapassando alguma hora, já que anda mais rápido. As P.G.s infinitas são simplesmente uma forma de analisar a questão. E como a realidade não pode mudar só por causa do seu jeito de somar as distâncias (***) então a ultrapassagem tem que ocorrer, donde vemos que a soma de infinitos termos é um negócio bem palpável. []s Lafayette (***) Elétrons atravessando duas fendas costumam, teimosamente, discordar desta minha afirmação e se comportar como bolinhas só porque estamos olhando. De: aldo jose camargo aldocamargoit...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quinta-feira, 10 de Setembro de 2009 20:46:00 Assunto: [obm-l] Eudoxo Zenão Gostaria de saber a opinião de vocês quanto a essas questões. 1) O que você achou da solução dada por Eudoxo para o dilema de Pitágoras? 2) Como você explica as questões levantadas pelos paradoxos de Zenão? Aquiles não ultrapassa a tartaruga? Com o Novo Internet Explorer 8 suas abas se organizam por cor. Baixe agora, é grátis! Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
