[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Análise Real
Oi Artur e Pedro, a grande dificuldade desta questão é ver que G(x) está realmente bem-definida, ou seja, que pegando os limites de f(x) para x- a, a fora de X, eles existem e definem uma função contínua. Um exemplo disso seria, por exemplo, a função f(x) = 1/x que não é uniformemente contínua em (0,1], e portanto não podemos usar esse teorema para extendê-la a [0,1]. Um outro exemplo seriam funções definidas apenas nos racionais, mas de forma a fazer sempre uma oscilação muito grande (tipo raiz(x) em x=0), e portanto não dar para definir nos irracionais. A continuidade uniforme é exigida para evitar esses dois fenômenos. Enfim, um esquema de prova seria o seguinte: Chame Y = fecho(X) 1) prove que para todo y em Y - X, existe lim x-y f(x). Chame esse número de G(y). Defina, obviamente, G(x) = f(x) para x em X. 2) use a continuidade uniforme de f em X para mostrar que G(y) é contínua nos pontos de X, mas com limites que podem vir por pontos de Y - X também. 3) use de novo a continuidade uniforme para mostrar que G(y) é contínua nos pontos de Y (agora a gente já sabe que funciona em X). Deve dar para provar de forma mais rápida, acho que um bom livro de análise / topologia de espaços métricos tem uma demonstração limpa disso. (enfim, a generalidade máxima é com espaços uniformes, mas isso é provavelmente abstrato demais para compreender o que está acontecendo) abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/3/27 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com: Não sei se entendi bem o enunciado. Se entendi, então veja que, como f é contínua, então, para todo real x, lim y - x f(y) = f(x). Logo, para todo x de X, temos que G(x) = f(x). Como f é uniformemente contínua em R, é uniformemente contínua em todo subconjunto de R. Como G é a restrição de f a X, a conclusão segue-se deste fato. Artur De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Belchior Enviada em: quinta-feira, 25 de março de 2010 22:07 Para: Lista OBM Assunto: [obm-l] Análise Real Alguém pode me ajudar neste exercício Dada f:x -R uniformemente continua, defina G:X(barra) -R pondo G(x) = f(x) se x é um ponto isolado e G(x) = lim f(y) y-x se x é um ponto de acumulação. Prove que G é uniformente continua e G(x) = f(x) para todo x em X. Agradeço a todos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Problema sobre funções
2010/3/27 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com: Alguem poderia resolver a questão:encontre todas as funções tais que f(x^2+f(y))=y+(f(x))^2 ?Agradeço por qualquer esclarecimento. Equações funcionais, às vezes, tem método. Essa parece ser uma. Métodos interessantes: - substituir variáveis, por exemplo por 0. Ou y=-f(x)^2, ou qualquer coisa que faça desaparecer um termo chato. - provar alguma propriedade do tipo injetiva / sobrejetiva. Isso permite de aplicar f várias vezes (injetiva) ou de substituir y por x, tal que f(x) = 0, ou x, tal que f(x) = z (sobrejetiva). - y = x também ajuda muitas vezes. - achar um grupo G que deixa a sua função invariante, por exemplo translações, homotetias, simetrias, ... Talvez, uma outra idéia seria considerar h(x) = f(x) / F(x), ou f(x) - F(x) , para uma função conhecida F(x), e ver que h(x) é invariante por translações inteiras, ... (essa idéia contém todas as outras, é a mais abstrata, e em geral ela resolve tudo... o problema é achar o grupo) abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Número Harmônico
2010/3/27 Maycon Maia Vitali mayconm...@yahoo.com.br: Pessoal, Mais uma vez venho com uma dúvida que pode ser simples para a maioria: Qual método posso utilizar para resolver (colocar em forma de função) um somatório harmônico finito (dito número harmônico): O que você chama de colocar em forma de função ? somatorio [i = 0 até n] 1/i = ? Digamos que para mim, isso define muito bem uma função de N em R (enfim, Q) cujos valores são justamente os números harmônicos. Você gostaria de algo como uma forma fechada, sem precisar fazer a soma? E se fosse 1/i^2? Seria semelhante? tudo depende da resposta acima... mas como você deve saber que essa série converge, é mais fácil de dar uma resposta aproximada, se n é grande :) (e o resto da série também é fácil de aproximar). Estou tentando fazer por *perturbação* (adorei esse método), mais acho que talvez existe algum caminho mais simples. Existe um canhão da aproximação, que é a fórmula de somatória de Euler-MacLaurin, acho que você vai gostar de ler a respeito. Ah, uma referência bem geral (e extremamente completa) sobre somas é o Graham-Knuth-Patashnik, Concrete Mathematics Abraços, Maycon Maia Vitali abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Provar por indução
Gostaria de pedir ajuda para provar por indução que fib(n + 2) = ((1 + 5^1/2))^n com n=0. Não encontro a substituição correta para terminar. Desde já obrigada! Maria Quer deixar seu Oi com a sua cara? No Mundo Oi você baixa toques, vídeos, jogos, músicas completas e encontra serviços incríveis pro seu Oi e pra internet. Acesse http://www.mundooi.oi.com.br e descubra! = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número Harmônico
Fala Bernardo, Obrigado pela resposta. Colocar em forma de função é semelhante a dizer: sum[i de A até B] i = [Formula de PA] sum[i de A até B] i^2 = [Formula de PG] Entendeu? Vou aproveitar e dar uma olhada no Knuth. Abraços, Maycon Maia Vitali Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2010/3/27 Maycon Maia Vitali mayconm...@yahoo.com.br: Pessoal, Mais uma vez venho com uma dúvida que pode ser simples para a maioria: Qual método posso utilizar para resolver (colocar em forma de função) um somatório harmônico finito (dito número harmônico): O que você chama de colocar em forma de função ? somatorio [i = 0 até n] 1/i = ? Digamos que para mim, isso define muito bem uma função de N em R (enfim, Q) cujos valores são justamente os números harmônicos. Você gostaria de algo como uma forma fechada, sem precisar fazer a soma? E se fosse 1/i^2? Seria semelhante? tudo depende da resposta acima... mas como você deve saber que essa série converge, é mais fácil de dar uma resposta aproximada, se n é grande :) (e o resto da série também é fácil de aproximar). Estou tentando fazer por *perturbação* (adorei esse método), mais acho que talvez existe algum caminho mais simples. Existe um canhão da aproximação, que é a fórmula de somatória de Euler-MacLaurin, acho que você vai gostar de ler a respeito. Ah, uma referência bem geral (e extremamente completa) sobre somas é o Graham-Knuth-Patashnik, Concrete Mathematics Abraços, Maycon Maia Vitali abraços, __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Representação Decimal
Colegas, Uma ajuda, por favor. Calculando a raiz de 0,44..4 (cem 4´s) escrevi assim: 0,4444 = (444...4) x 10^-10 0,4444 = 4(111...1) x 10^-10 0,4444 = 4x 10^-10[10^100 - 1]/ 9 Bom..espero que esteja claro. Raiz (0,444..4) = (2x10^-50)/3 x Raiz[(10^100) - 1] Preciso saber qual o 100º algarismo à direita da vírgula nessa representação. Mas não consegui desenvolver a raiz que sobrou. Obrigado. --
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número Harmônico
2010/3/27 Maycon Maia Vitali mayconm...@yahoo.com.br: Fala Bernardo, Oi Maycon. Obrigado pela resposta. Colocar em forma de função é semelhante a dizer: sum[i de A até B] i = [Formula de PA] sum[i de A até B] i^2 = [Formula de PG] Entendeu? Ah, você quer dizer forma fechada. Tipo, porque eu acho que \sum [n inteiro] exp(pi * i * n^2 * tau + 2*pi*i*z) é uma função. De z e tau, inclusive. Ah, acho que você quis dizer PA de segunda ordem para a segunda fórmula que você botou. Vou aproveitar e dar uma olhada no Knuth. Aproveite e dê uma olhada na definição de função. A melhor coisa seria ver num livro de história da matemática, para ver como as pessoas mudaram a forma de ver isso, até chegar na definição de hoje, que é um conjunto de pares ordenados de AxB tal que bla bla bla. Funções já foram polinômios, composições algébricas de funções conhecidas, somas de séries, ... Digamos que a única resposta exata, que eu conheça, para a série harmônica, é ela mesma, H(n). Só para perturbar: você acha que se fosse algo do tipo sin(n) + log(n) seria muito melhor ? O que é melhor ? Abraços, Maycon Maia Vitali abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Representação Decimal
Walter: essa questão vem de um curso de uma matéria específica? Porque eu acho que tem uma saída muito fácil porque o seu número é muito próximo de 4/9... mas você teria que saber análise, ou pelo menos um cálculo I muito bem. 2010/3/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Colegas, Uma ajuda, por favor. Calculando a raiz de 0,44..4 (cem 4´s) escrevi assim: 0,4444 = (444...4) x 10^-10 0,4444 = 4(111...1) x 10^-10 0,4444 = 4x 10^-10[10^100 - 1]/ 9 Bom..espero que esteja claro. Raiz (0,444..4) = (2x10^-50)/3 x Raiz[(10^100) - 1] Preciso saber qual o 100º algarismo à direita da vírgula nessa representação. Mas não consegui desenvolver a raiz que sobrou. Obrigado. -- -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Representação Decimal
Oi, Bernardo... Pois é...ela é Olímpica...mas se fosse 0,4 eu faria dessa forma e sairia 2/3 = 0,6... com resposta 6. Bom, mas não é assim. Posso fazer essa aproximação? O exercício dizia que havia cem 4´s. As opções eram: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Ainda não saiu o gabarito... Achei que seria 6,mas...aliás tentei colocar no Excel (vício meu...) e fui colocando 2n´s 4. Ele sempre deu 6 com alguns 3 se fosse truncado. Abs Em 27 de março de 2010 16:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: Walter: essa questão vem de um curso de uma matéria específica? Porque eu acho que tem uma saída muito fácil porque o seu número é muito próximo de 4/9... mas você teria que saber análise, ou pelo menos um cálculo I muito bem. 2010/3/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Colegas, Uma ajuda, por favor. Calculando a raiz de 0,44..4 (cem 4´s) escrevi assim: 0,4444 = (444...4) x 10^-10 0,4444 = 4(111...1) x 10^-10 0,4444 = 4x 10^-10[10^100 - 1]/ 9 Bom..espero que esteja claro. Raiz (0,444..4) = (2x10^-50)/3 x Raiz[(10^100) - 1] Preciso saber qual o 100º algarismo à direita da vírgula nessa representação. Mas não consegui desenvolver a raiz que sobrou. Obrigado. -- -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
[obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áure a
Pessoal, Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram rapidamente para a razão áurea (1,618.). Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? Abaixo o desenvolvimento : S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as constantes que multiplicam a e b: Para a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 1, 2, 3, 5, 8 Para b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 2, 3, 5, 8, 13 Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 Ps: É fácil verificar o que falei por indução. Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando n varia: Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 1,618. Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, pois aí teríamos uma indeterminação na fração. Agradeço a ajuda de vcs. Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Analise Real
Aguém pode me ajudar nesta Seja f: X - R derivável no ponto a pertencente a X e a é ponto de acumulação a direita e esquerda de X. Se as sequências x(n) a y(n) para todo n e lim x(n) = lim y(n) = a , prove que lim [ f(y(n)) - f(x(n))] / (y(n) - x(n)) = f ' (a).
[obm-l] Estatística e BBB
Prezados, Minha enteada estava chateada porque a Maroca saiu do BBB e reclamou comigo, falando que pela pesquisa da UOL quem sairia seria a Lia, com uma diferença de quase 20%. Fui checar, e achei curioso. O número de votos foi de 1.437.000 (claro que podem ter votos repetidos, mas mesmo eliminado-se estes, creio que o número de pessoas votantes no site foi bem significativo, estatisticamente). Fui além e descobri que em todos os outros paredões, a média de votos foi a mesma, e o resultado foi sempre o que ocorreu no programa global, com diferenças na faixa de 2-3%. No paredão em questão, o resultado global inverteu o resultado da UOL, e a Maroca siau com 57% dos votos ( na UOL tinha 40%). Para piorar, nas minhas pesquisas no site da UOL, encontrei uma declaração do diretor do programa falando o seguinte, justamente antes deste paredão : As enquetes não tem valor, pois não contabilizam os votos via sms e ligações...etc...etc, um total desconhecimento de como as coisas funcionam na estatistica. Isto não é estatisticamente muito estranho, dado as caracteristicas da amostra (tamanho e o fato de ser representativa com relação a população que vota no BBB)? O que, além de uma escolha global, poderia fazer com que o reultado final da pesquisa fosse tão diferente do que ocorreu ? Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Belíssima idéia, Luiz.
Só um detalhe: quando você vai passar o limite, você diz que (a F_n+1
+ b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1) ~ (F_n+1 + F_n+2)/(F_n + F_n+1), o que
não é imediato. Porquê? Porque a definição de x_n ~ y_n é (x_n / y_n)
- 1, e o argumento de cortar o b e o a porque eles não tendem a
infinito é falso. Se não fosse Fibonacci, mas uma outra sequência,
não ia dar certo. (veja mais embaixo).
Primeiro, uma demonstração geral: o modo que eu diria fácil de ver é assim:
F_n+1 ~= phi F_n (phi = razão áurea). Portanto, a F_n+1 + b F_n+2 ~=
phi (a F_n + b F_n+1). E pronto, taí o teu phi, que vai ficando cada
vez melhor aproximado pelos quocientes, pouco importando o a e b
iniciais. Grande problema dessa solução, a gente não vê a velocidade
de convergência aparecer...
Mas uma coisa me deixou curioso, porque o seu equivalente funciona com
a sequência de Fibonacci. Veja só o que acontece se você usar a
definição :
Multiplicando em cruz as condições para x_n ~ y_n acontecer, você tem
(a F_n+1 + b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1) ~ (F_n+1 + F_n+2)/(F_n + F_n+1)
sse (definição de equivalente: lim = 1)
| [(a F_n+1 + b F_n+2) / (a F_n + b F_n+1)] / [(F_n+1 + F_n+2)/(F_n +
F_n+1)] - 1 | epsilon
sse (simplificando os denominadores)
| (a F_n+1 + b F_n+2)(F_n + F_n+1) / [(a F_n + b F_n+1) (F_n+1 +
F_n+2)] - 1 | epsilon
sse (multiplicando tudo)
| (a F_n+1 F_n + a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n + b F_n+2 F_n+1) / [(a
F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] - 1 |
epsilon
sse (passando o -1 no numerador)
| (a F_n+1 F_n + a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n + b F_n+2 F_n+1 - (a F_n
F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)) / [(a F_n F_n+1
+ a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] | epsilon
sse (simplificando)
| [( a F_n+1 F_n+1 + b F_n+2 F_n - (a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1) ) /
[(a F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] |
epsilon
sse (fatorando o numerador em (a-b) )
| (a - b) (F_n+1 F_n+1 - F_n+2 F_n) / [(a F_n F_n+1 + a F_n F_n+2 + b
F_n+1 F_n+1 + b F_n+1 F_n+2)] | epsilon
Observe que, até agora, funcionava para qualquer que fosse a sequência
em questão. O problema é mostrar que o novo quociente tende a zero com
n, o que, dessa vez, depende da sequência. Em geral, portanto, você só
conseguiria simplificar se a=b... Maaas :
Use (Fibomagic) que F_n * F_n+2 difere de 1 de F_n+1 * F_n+1. Isso
você pode achar que é pouco importante, e é verdade. O que importa é
que a F_n é crescente, e mais ou menos uniforme. Note que no
numerador você tem uma diferença de produtos, um do meio com os
extremos. Pensando (n+1)^2 = n(n+2) + 1, tem grandes chances de a
diferença compensar bem e quando dividir pelo denominador, que tem
produtos, vai ser pequeno. Se a sua sequência for bonitinha
(analítica ?), deve dar certo, mas se for do tipo 10^n, 10^n,
10^{n+1}, esse quociente dá -(1 - 1/10)/(1 + 1/10 + 1 + 1/10), que não
tende pra zero.
Bom, continuando a mágica...: o que a gente obtém é |(a-b)| / | [a
F_nF_n+3 + b F_n+1 F_n+3] | = |(a-b)| / F_n+3 (a F_n + b F_n+1). Que é
muito, mas muuito, melhor do que as estimativas que eu tinha feito
antes (F_n+1 ~ phi F_n), e até explica porquê a convergência é tão
rápida. Certo ? Errado !
Isso funciona porque o denominador não se anula... pense que, por
acaso, você escolheu a/b perto de -phi (ou igual a - phi). O que
acontece com o denominador? Ah, ele vai ficar muuito perto de
zero, enfim, ele não vai divergir tão rápido assim. (e se você pegou
a/b = -phi, vai tender pra zero) No seu caso, funciona bem porque a e
b tem o mesmo sinal, mas se a = -phi * b ia pro beleléu. A
demonstração lá em cima usa isso de forma crucial, escondida. Preste
muita atenção, a divisão por zero é uma coisa terível, e muitas vezes
a gente nem vê!
Mas o que é bonito é que, no caso bem comportado, a gente vê que o
erro da aproximação converge exponencialmente : se a gente vai no
termo n, o erro é menor do que (phi^n)^2. O que explica porque você
viu o comportamento convergente apenas com uns poucos termos ! E,
usando o argumento inicial para todos os outros casos (a/b diferente
de -phi), a gente vê que converge, e dá até pra se convencer que a
convergência será ainda phi^2n, mas com uma constante pior, que
depende de a e b, e quão perto está a/b de -phi.
Ufa, um bocado de análise, mas espero que esteja claro, e
principalmente, que ajude a entender a lógica de limites (tudo tem uma
definição: use, senão, fica difícil, e pode parecer certo, mas é bom
demonstrar para ter certeza) e que você tem uma boa intuição :)
um grande abraço,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2010/3/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br
Pessoal,
Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a
criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos.
Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência,
estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci
an+2=an+1+an-1. Para a
[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Oi, Luiz. O que voce escreveu eh muito legal. A unica coisa que eu mudaria eh no finalzinho, quando voce faz aquela aproximacao, que, para mim, nao foi convincente... Eu prefiro fazer assim: R_n=(aF_(n+1)+bF_(n+2))/(aF_n+bF_(n+1)) Dividindo numerador e denominador por F_(n+1), vem: R_n=(a+b F_(n+2)/F_(n+1) ) / (a F_n/F_(n+1) + b) Agora, suponho que jah sabemos que F_(n+2)/F_(n+1) tem limite z=1,618... quando n vai para infinito (voce mostrou que jah sabia disto tambem). Entao, quando n vai para infinito: lim R_n = (a+bz)/(a/z+b)=(a+bz)/((a+bz)/z)=z que eh a sua conclusao. Note-se que isto que eu escrevi estah errado no caso em que a+bz=0. Pergunta bacana: neste caso, o que acontece? Se a=b=0, voce jah disse que dah indeterminado Mas e se a+bz=0 com a0? Abraco, Ralph. 2010/3/27 luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Pessoal, Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci an+2=a n+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram rapidamente para a razão áurea (1,618.). Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? Abaixo o desenvolvimento : S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as constantes que multiplicam a e b: Para a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 1, 2, 3, 5, 8 Para b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 2, 3, 5, 8, 13 Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 Ps: É fácil verificar o que falei por indução. Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando n varia: Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 1,618. Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, pois aí teríamos uma indeterminação na fração. Agradeço a ajuda de vcs. Abs Felipe -- Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10http://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/- Celebridadeshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/celebridades/- Músicahttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/m%C3%BAsica/- Esporteshttp://br.rd.yahoo.com/mail/taglines/mail/*http://br.maisbuscados.yahoo.com/esportes/
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Representação Decimal
2010/3/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Oi, Bernardo... Pois é...ela é Olímpica...mas se fosse 0,4 eu faria dessa forma e sairia 2/3 = 0,6... com resposta 6. Bom, mas não é assim. Que olimpíada é essa ? Que nível ? Posso fazer essa aproximação? Eu acho que você pode tentar demonstrar isso ! enfim, você tem que calcular raiz(4/9 - delta) = 2/3 - eps. Toca a majorar eps em função de delta, talvez dê que ele é suficientemente pequeno ;) O exercício dizia que havia cem 4´s. As opções eram: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Ainda não saiu o gabarito... Achei que seria 6,mas...aliás tentei colocar no Excel (vício meu...) e fui colocando 2n´s 4. Ele sempre deu 6 com alguns 3 se fosse truncado. Abs abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Repr esentação Decimal
Bernardo Acredite...o nome dela é Olimpíada Canguru...Há niveis de Fundamental I, II e Médio. Essa questão é do Nível Médio. Começou na França em 1992. Foi aplicada hoje em algumas escolas Federais. O gabarito deve ser divulgado 20/3 www.opm.mat.br/canguru2010 Abs Em 27 de março de 2010 21:00, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/3/27 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Oi, Bernardo... Pois é...ela é Olímpica...mas se fosse 0,4 eu faria dessa forma e sairia 2/3 = 0,6... com resposta 6. Bom, mas não é assim. Que olimpíada é essa ? Que nível ? Posso fazer essa aproximação? Eu acho que você pode tentar demonstrar isso ! enfim, você tem que calcular raiz(4/9 - delta) = 2/3 - eps. Toca a majorar eps em função de delta, talvez dê que ele é suficientemente pequeno ;) O exercício dizia que havia cem 4´s. As opções eram: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 Ainda não saiu o gabarito... Achei que seria 6,mas...aliás tentei colocar no Excel (vício meu...) e fui colocando 2n´s 4. Ele sempre deu 6 com alguns 3 se fosse truncado. Abs abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Walter Tadeu Nogueira da Silveira http://www.professorwaltertadeu.mat.br
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Representação Decimal
2010/3/28 Walter Tadeu Nogueira da Silveira wtade...@gmail.com: Bernardo Acredite...o nome dela é Olimpíada Canguru...Há niveis de Fundamental I, II e Médio. Essa questão é do Nível Médio. Tout va bien alors :) Na França, os jovens do científico (ou seja, nem literatura, nem economia/ciências, porque eles separam no ensino médio) aprendem derivada na escola. Enfim, no científico. O que é um modo muito rápido de matar esta questão. Senão, a minha dica do raiz(4/9 - delta) = 2/3 - eps, elevada ao quadrado, dá 4/3 eps - eps^2 = delta, e como eps é pequenininininininho, eps é mais ou menos delta*3/4, que é menor do que delta. como delta é 4/9 / 10^100, eps ~ 1/3 / 10^100, portanto vai dar 0,6633coisafeiaseilaoquê, com os 100 6, depois uns 100 3 (eu acho), afinal o erro é menor do que 1/10^100, portanto ele cai na casa seguinte. O difícil dessa questão é ter a idéia de desprezar epsilon... Começou na França em 1992. Foi aplicada hoje em algumas escolas Federais. O gabarito deve ser divulgado 20/3 20 de março ? Ou abril, como no site francês? www.opm.mat.br/canguru2010 Abs abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea
Estou lendo um livro do Martin Gardner que traz as seguintes observações sobre esse assunto: Sejam a, b e c três termos consecutivos de uma sequência definida por an+2=an+1+an-1 vale para estes elementos que: c = a + b Gardner, cita, sem demonstrar que para essas sequências também vale o fato de que: an² = (an-1.an+1) + x portanto b² = ac + x Se resolvemos o sistema poderemos escrever b em função de a, onde a solução positiva será: b = (1+sqr(5))*a/2 Por outras palavras, a única sucessão de Fibonacci em que o quadrado do termo é exatamente igual ao produto dos termos adjacente é 1, fi, (fi)², (fi)³, ... = 1, fi, fi+1, 2*fi + 1, ... --- Em sáb, 27/3/10, luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br escreveu: De: luiz silva luizfelipec...@yahoo.com.br Assunto: [obm-l] Fibonacci - Outras Sequências e Razão Áurea Para: Matematica Lista obm-l@mat.puc-rio.br Data: Sábado, 27 de Março de 2010, 18:16 Pessoal, Eu estava fazendo um trabalho no excel e fui “bincar” um pouco. Comecei a criar seqüências e analisar a relação entre dois elementos consecutivos. Assim, escolhendo aleatoriamente os dois primeiros elementos da seqüência, estabeleci uma relação de recorrência igual a relação de Fibonacci an+2=an+1+an-1. Para a minha surpresa, quaisquer que fossem os dois primeiros elementos (inteiros, racionais, irracionais...), o resultado era sempre o mesmo, quando olhava a razão an+1/an. Em todos os casos, eles convergiram rapidamente para a razão áurea (1,618.). Resolvi atacar o problema, e encontrei essa solução. Porém, não estou certo que meu argumento esteja 100% correto(qdo aplico limites). Alguém pode me ajudar? Abaixo o desenvolvimento : S = a, b, a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b. Analisando os elementos, percebemos que existe uma regra relacionando as constantes que multiplicam a e b: Para a : a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 1, 2, 3, 5, 8 Para b: a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b, 8a+13b 1, 2, 3, 5, 8, 13 Estas duas seqüências são a própria seqüência de Fibinacci, e as constantes que estão multiplicando a e b são sempre Fn e Fn+1 Ps: É fácil verificar o que falei por indução. Então, a relação entre os termos desta seqüência fica na forma : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) Analisando esta fração, como a e b são constantes, veremos o que ocorre quando n varia: Fazendo n→∞ , temos que Fn,Fn+1e Fn+2 tornam-se infinitmente grandes, assim : R = (aFn+1+bFn+2)/(aFn+bFn+1) ≈ (Fn+1+Fn+2)/(Fn+Fn+1) =( Fn+3)/(Fn+2) = 1,618. Aparentemente, a e b não podem, ao mesmo tempo, tenderem a infinito ou a zero, pois aí teríamos uma indeterminação na fração. Agradeço a ajuda de vcs. Abs Felipe Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! + Buscados: Top 10 - Celebridades - Música - Esportes Veja quais são os assuntos do momento no Yahoo! +Buscados http://br.maisbuscados.yahoo.com
[obm-l] Ex-Conjectura de Poi ncaré
Olá pessoal, eu vi faz uns 2 dias sobre isso e gostaria de compartilha com vocês que acredito que a maioria já saiba.http://www.claymath.org/poincare/index.html É issoAbração a todos Coulbert. _ Navegue sem medo: O Internet Explorer 8 te deixa mais protegido. Baixe gratuitamente. http://go.microsoft.com/?linkid=9707132
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Número Ha rmônico
Só um detalhe: Na segunda formula quis dizer 2^i. Estou cometendo algumas gafes com relação aos nomes, estou querendo a forma fechada, como dito. A proposta inicial é pegar uma função em forma de somatório e colocar em forma fechada. Estou lendo o capitulo 2 do livro do Knuth. Poderia me indicar uma boa bibliografia sobre a história da matemática? Obrigado, Maycon Maia Vitali Bernardo Freitas Paulo da Costa escreveu: 2010/3/27 Maycon Maia Vitali mayconm...@yahoo.com.br: Fala Bernardo, Oi Maycon. Obrigado pela resposta. Colocar em forma de função é semelhante a dizer: sum[i de A até B] i = [Formula de PA] sum[i de A até B] i^2 = [Formula de PG] Entendeu? Ah, você quer dizer forma fechada. Tipo, porque eu acho que \sum [n inteiro] exp(pi * i * n^2 * tau + 2*pi*i*z) é uma função. De z e tau, inclusive. Ah, acho que você quis dizer PA de segunda ordem para a segunda fórmula que você botou. Vou aproveitar e dar uma olhada no Knuth. Aproveite e dê uma olhada na definição de função. A melhor coisa seria ver num livro de história da matemática, para ver como as pessoas mudaram a forma de ver isso, até chegar na definição de hoje, que é um conjunto de pares ordenados de AxB tal que bla bla bla. Funções já foram polinômios, composições algébricas de funções conhecidas, somas de séries, ... Digamos que a única resposta exata, que eu conheça, para a série harmônica, é ela mesma, H(n). Só para perturbar: você acha que se fosse algo do tipo sin(n) + log(n) seria muito melhor ? O que é melhor ? Abraços, Maycon Maia Vitali abraços, __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Tradução do livro Matematica Concreta
Pessoal, Para os que já puderam comparar as duas versões (inglês vs português), a versão em português é boa ou peca na tradução? Obrigado, Maycon Maia Vitali __ Faça ligações para outros computadores com o novo Yahoo! Messenger http://br.beta.messenger.yahoo.com/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
