Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 134, Eureka! 31]
2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com Considere a operação . entre dois vetores do R^3 definida por: (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) Demonstre que para todo K0, se (x,y,z)^k=(0,0,0) entao (x,y,z)=(0,0,0) A idéia é perceber que essa operação é equivalente ao produto de uma matriz M por v = (x,y,z). Essa matriz é: | a c b | | c b a | | b a c | Mas eu sei que se M*v = 0 então v pertence ao núcleo de M. Vou calcular os autovalores de M para saber seu núcleo. Após contas ... L^3 - k*L^2 - q*L + k*q = 0, onde k = (a+b+c); q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c); e L é lâmbda :) Isso dá (L-k)*(L^2-q) = 0. Agora, se M tem núcleo não trivial então ou k=0 ou +- sqrt(q)=0 = q=0. (Se M tem núcleo trivial então M*v = 0 = v = 0 o que termina o problema.) Vou analisar os 2 casos. 1o caso, q=0: q = (a^2 + b^2 + c^2 - a*c - a*b - b*c) = ((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2)/2, daonde concluímos que q=0 = *a=b=c*. Para clarear seja (x,y,z)^i = (x_i, y_i, z_i). Se (x,y,z)^k = 0, a matriz que estamos trabalhando é a matriz onde a = x_(k-1), b = y_(k-1), c = z_(k-1). Voltando, se a=b=c então (x,y,z)*(a,b,c) = (a*(x+y+z), a*(x+y+z), a*(x+y+z)). Se v^k = 0 então (x+y+z) = 0 ou a=b=c=0. Porém (a,b,c) = v^(k-1). Se v^(k-1) = 0, aplicamos o mesmo raciocínio e vemos que v^(k-2) = 0 ou (x+y+z) = 0. É fácil ver que por indução v^1 = 0 ou (x+y+z) = 0, ou seja (x+y+z) = 0. Mas a soma dos termos de (x,y,z) . (a,b,c) = (xa+yc+zb,xc+yb+za,xb+ya+zc) é (x+y+z)*(a+b+c). Ou seja se (x+y+z) = 0 então todos os v^i terão soma dos termos 0. Mas como nesse caso tínhamos a=b=c, agora também temos a+b+c=0, logo a=b=c=0. Ou seja concluímos que se v^k = 0 então v^(k-1) = 0. Por indução v = 0, que é o que queríamos provar. _ 2o caso, k=0, e q !=0 (!= significa diferente) k = a+b+c = 0. Sabemos que a soma dos termos de v^i é (x+y+z)*(a+b+c), onde (a,b,c) = v^(i-1). Ou seja, x_i + y_i + z_i = 0 = (x+y+z) = 0 ou x_(i-1) + y_(i-1) + z_(i-1) = 0. É fácil ver que por indução *(x+y+z) = 0*. Nesse caso, estou assumindo que q !=0, ou seja M tem apenas um autovalor nulo. Agora observe que o autovetor relativo a esse autovalor é (1,1,1). Então temos M*v = 0 = v pertence ao subespaço gerado por (1,1,1), ou seja o núcleo de M. Porém esse núcleo é ortogonal ao plano (x+y+z) = 0. Portanto a única solução é a trivial, (0,0,0). Ou observe que um cara (x,y,z) do subespaço gerado por (1,1,1) tem x=y=z, que somado ao fato x+y+z = 0 nos dá x=y=z=0, que é o que queríamos provar.
[obm-l] Sistemas Lineares
Pessoal uma ajuda nestas questões por favor::: 1) Aço fino é uma liga de ferro, cromo e níquel. Um exemplo é o aço V2A, que contém 74% de ferro, 18% de cromo e 8% de níquel. Na tabela abaixo, têm-se ligas I, II, III, IV, as quais devemos misturar para obter uma tonelada de aço V2A. Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar? I II III IV Ferro 70% 72% 80% 85% Cromo 22% 20% 10% 12% Níquel 8% 8% 10% 3% 2) Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados? Desde já agradeço qualquer ajuda!!! Warley F Souza Matos
[obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fundamental da Aritmética
2010/5/11 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com:
Caros,
A seguinte conjectura poderá parecer um problema lógico-aritmético simples,
mas depois de tê-la formulada e tentado, sem sucesso, prová-la, eu fiquei (e
estou) bastante cético quanto à possibilidade de alguém possuir uma prova,
ou pelo menos ter a técnica matematica necessária para a prova. Por isso
mesmo, eu já considero este um problema em aberto, e que não é dos mais
fáceis.
(Conjectura) Desigualdade Fundamental da Aritmética. Sejam p_{n} e p_{n+1}
dois números naturais primos consecutivos. A quantidade de números compostos
entre p_{n} e p_{n+1} é menor ou igual à quantidade de números naturais
primos anteriores a p_{n}.
Bom, como qualquer coisa que tenha a ver com a distribuição dos
números primos, vale a pena saber que
p_n ~ n*ln(n)
Em símbolos:
# ] p_{n}, p_{n+1} [ = # [p_{1}, p_{n} [, onde # é a cardinalidade do
intervalo inteiro que o segue.
Isto é, temos:
p_{n+1} - p_{n} - 1 = n - 1 -- p_{n+1} - p_{n} = n.
Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [. Essa afirmação em símbolos é muito mais
fácil de mostrar, basta ver que
p_{n+1} - p_n = p_n - p_1 = p_n - 2 se e somente se p_{n+1} = 2*p_n - 2
o que é bem conhecido (existe um primo entre x e 2*x para todo x).
Obs.: Se alguém conseguir demonstrar esta desigualdade, favor avisar a
Todos.
Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo, mas eu tenho uma
demonstração sim. Ela usa trocentas estimativas assintóticas de p_n ;
algumas bem recentes, inclusive. Por trás de tudo isso, há o estudo
dos zeros da função Zeta de Riemann, que vem dando resultados desde
que foi inventada (em particular, em 1896, para demonstrar o Teorema
dos Números Primos, que dá as primeiras estimativas acima).
Essencialmente, temos que
n[ ln(n) + ln(ln(n)) - 1 ] = p_n = n[ ln(n) + ln(ln(n)) - 0.9484 ]
para n suficientemente grande (tipo 4)
e depois, você calcula com um computador quanto vale p_{n+1} - p_n
para os outros n, e vê que dá certo também.
Aliás, usando um computador, você inclusive pode chutar que
[p_{n+1} - p_n ]/n 1/ln(x), o que é muito mais forte do que você
pediu, mas eu ainda não tenho idéia da demonstração. Mas acho que com
estimativas suficientemente poderosas, deve dar pra fazer, só ainda
não tive paciência de botar mais termos nas desigualdades ali em cima.
Além disso, indo procurar um pouco mais a fundo, dá pra ver que
existem teoremas que dizem que existe um número primo no conjunto [N,
N + N/(2 ln(N)^2)], ou seja, tomando N = p_n ~ n*ln(n), temos que
p_{n+1} - p_n é menor do que N/(2 ln(N)^2) ~ n * ln(n) / 2 (ln(n) +
ln(ln(n)))^2 que é menor do que n.
Abraços aritméticos,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Sistemas Lineares
Pessoal uma ajuda nestas 2 questões por favor::: 1) Aço fino é uma liga de ferro, cromo e níquel. Um exemplo é o aço V2A, que contém 74% de ferro, 18% de cromo e 8% de níquel. Na tabela abaixo, têm-se ligas I, II, III, IV, as quais devemos misturar para obter uma tonelada de aço V2A. Quantos quilos de cada uma dessas ligas devemos tomar? I II III IV Ferro 70% 72% 80% 85% Cromo 22% 20% 10% 12% Níquel 8% 8% 10% 3% 2) Bronze é uma liga de cobre e zinco, na qual a porcentagem de cobre varia geralmente entre 60% e 70%. Usando dois tipos de bronze, um com 62% e outro com 70% de cobre, deseja-se obter uma tonelada de bronze com exatamente 65% de cobre. Quantos quilos do primeiro tipo de bronze e quantos quilos do segundo devem ser usados? Desde já agradeço qualquer ajuda!!! Warley F Souza Matos
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fundamental da Aritmética
Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [.
Não há um erro. O intervalo #]p_{n},p_{n+1}[ é o mesmo que p_{n+1}-p_{n}-1,
que é quantidade de números compostos entre esses primos. O comprimento do
intervalo [p_{1},p_{n}[ é n-1. Então eu tenho p_{n+1}-p_{n}-1=n-1 (a
desigualdade que eu quero provar) que implica p_{n+1}-p_{n}=n.
Eu pessoalmente construi uma tabela com a verificação da desigualdade para
os 30.000 primeiros naturais primos. E é verdadeira.
Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo,
Eu entendo perfeitamente, mas é que eu já considero este um problema de
difícil solução, que pode levar muito tempo até ser resolvido. Meu colega da
faculdade, por exemplo, observou que se esta desigualdade for válida para
todos os pares de números naturais primos consecutivos, demonstramos,
segundo ele, resultados importantes de Pomerance, etc., em só uma, duas
linhas de símbolos.
O T grande é para lembrar que você vai ser muito famoso (se provar esta
desigualdade).
Até.
---
MAB
[obm-l] setting for your mailbox nico...@boto.mat.puc-rio.br are changed
SMTP and POP3 servers for nico...@boto.mat.puc-rio.br mailbox are changed. Please carefully read the attached instructions before updating settings. http://videoxman.googlegroups.com/web/1.html = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desigualdade Fun damental da Aritmética
2010/5/12 Marco Bivar marco.bi...@gmail.com
Hum, tem um erro aí, que é que você quer que # ] p_{n}, p_{n+1} [ =
n, e não que seja menor do que p_n - p_1, que é o comprimento do
intervalo [p_{1}, p_{n} [.
O comprimento do intervalo ] p_{n}, p_{n+1} [ é p_{n+1}-p_{n}-1 como você
colocou, mas o comprimento do intervalo [p_{1}, p_{n} [ não é n-1 (que é a
quantidade de primos anteriores a p_{n}) e sim um número maior ou igual a
n-1 (sendo igual a n-1 apenas para p_{n} = 2 ou p_{n} = 3), já que n é um
índice para referenciar apenas os números primos e não todos os naturais.
Não há um erro. O intervalo #]p_{n},p_{n+1}[ é o mesmo que p_{n+1}-p_{n}-1,
que é quantidade de números compostos entre esses primos. O comprimento do
intervalo [p_{1},p_{n}[ é n-1. Então eu tenho p_{n+1}-p_{n}-1=n-1 (a
desigualdade que eu quero provar) que implica p_{n+1}-p_{n}=n.
Eu pessoalmente construi uma tabela com a verificação da desigualdade para
os 30.000 primeiros naturais primos. E é verdadeira.
Não entendi qual é a do todos com T maiúsculo,
Eu entendo perfeitamente, mas é que eu já considero este um problema de
difícil solução, que pode levar muito tempo até ser resolvido. Meu colega da
faculdade, por exemplo, observou que se esta desigualdade for válida para
todos os pares de números naturais primos consecutivos, demonstramos,
segundo ele, resultados importantes de Pomerance, etc., em só uma, duas
linhas de símbolos.
O T grande é para lembrar que você vai ser muito famoso (se provar esta
desigualdade).
Até.
---
MAB
--
Henrique
Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 137, Eureka! 31]
2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com: Seja A um conjunto de quinze pontos do plano, tais que dois deles não se alinham com a origem e cuja distância à origenm seja no máximo 1 Demonstre que existem dois pontos tais que a área formada pelo triângulo cujos vértices são estes dois pontos e a origem é menor que 1/4. Eu acho que deveria dar 1/2 * sin(2*pi/15) = 0.2033683216 0.25 -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Resolucao de problemas[Problema 137, Eureka! 31]
Em 12 de maio de 2010 09:29, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2010/5/10 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com: Seja A um conjunto de quinze pontos do plano, tais que dois deles não se alinham com a origem e cuja distância à origenm seja no máximo 1 Demonstre que existem dois pontos tais que a área formada pelo triângulo cujos vértices são estes dois pontos e a origem é menor que 1/4. Eu acho que deveria dar 1/2 * sin(2*pi/15) = 0.2033683216 0.25 Consegui melhorar esta estimativa pela metade. Se pudermos refletir cada ponto na origem, são 30 pontos. A ideia e que area nao muda se eu trocar um ponto refletido pelo ponto original. Entao a estimativa fica em sin(pi/29) por Gavetas(aliás, por que chamam isso de Casa dos Pombos, já que pigeonhole significa escaninho??). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Uma definição mais física seria: o baricentro é o centro de gravidade de uma figura, supondo que ela fose feita de um material homogeneo. Em 11 de maio de 2010 23:20, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polígono? Se não. Perdoem minha ignorância. Se sim. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Resolução de Problemas [Problema 138, Eureka! 31]
Determine o maior divisor comum de todo os números da forma xyz, em que x,y,z satisfazem a equação diofantina x^2+y^2=z^2. -- /**/ Quadrinista e Taverneiro! http://tavernadofimdomundo.blogspot.com Histórias, Poemas, Quadrinhos e Afins http://baratoeletrico.blogspot.com / Ativismo Digital (?) http://bridget-torres.blogspot.com/ Personal! Do not edit! = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Desi gualdade Fundamental da Aritmética
O comprimento do intervalo ] p_{n}, p_{n+1} [ é p_{n+1}-p_{n}-1 como você
colocou, mas o comprimento do intervalo [p_{1}, p_{n} [ não é n-1 (que é a
quantidade de primos anteriores a p_{n}) e sim um número maior ou igual a
n-1 (sendo igual a n-1 apenas para p_{n} = 2 ou p_{n} = 3), já que n é um
índice para referenciar apenas os números primos e não todos os naturais.
Olá Henrique, eu errei na digitação. O correto é esta aqui:
#]p_{n}, p_{n+1}[=[p_{1}, p_{n}[, onde [p_{1}, p_{n}[ é um intervalo do
conjunto dos números naturais primos.
Até.
---
MAB
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Ralph e Hermann, (t to ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois Ralph: mas j andei provocando meus alunos a pensar no manjado polgono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vrtices, pois acho mais natural "pensar na massa distribuda na superfcie" do polgono e tentar faz-los ver o "baricentro" como o ponto do "equilbrio". Da comeo com o bvio: a) Num segmento, o ponto mdio (t bom, no polgono); b) Num tringulo a "sabida" interseo das medianas; c) Num quadriltero o ponto mdio do segmento que une os pontos mdios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer : D pra gente "ver" geometricamente isto continuar? Se o polgono tem n vrtices, h algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o "equilbrio" pensando de alguma forma nas diagonais? E nas mdias de suas coordenadas (como voc abordou)? No pentgono, hexagono e heptgono as coisas funcionam? Onde d zebra? E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paraleleppedo no R3; etc. Abraos a todos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG= SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polgono? Se no. Perdoem minha ignorncia. Se sim. Eis um exerccio que gostaria de uma ajuda: Dado um polgono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatrio dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G o baricentro do polgono. Muito obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] vetores e baricentro
Oi, Nehab. Pensando vetorialmente, dah para pensar no baricentro de varias formas distintas... Afinal, voce pode agrupar o somatorio SUM Ai de varias maneiras... Por exemplo: -- O baricentro do hexagono A1A2...A6 eh o baricentro do triangulo cujos vertices sao os medios das diagonais A1A4, A2A5 e A3A6; -- ...alias, escolha quaisquer 3 diagonais que nao tenham vertice em comum, tome seus medios, e a propriedade acima estah valendo, o ponto eh o mesmo. -- ... se preferir, olhe os baricentros dos triangulos A1A3A5 e A2A4A6; o medio do segmento que os une tambem eh o baricentro do poligono. -- ... ou, tome o baricentro M de A1A2A3A4 e o medio N de A5A6; o baricentro divide o segmento MN na razao 4:2, isto eh, 2:1. (Imagina o noh que vai ser provar a coincidencia desses pontos sem vetores :( ) Note-se que o poligono nao precisa ser plano; a soma vetorial se comporta igualmente bem no espaco -- ou em R^4, ou :) Para heptagono, por falta de divisores de 7, teriamos que ser mais criativos... Tipo, tome o baricentro de A1A2A3 e o baricentro de A4A5A6. Tome o medio M do segmento que liga estes dois baricentros. O baricentro do heptagono A1...A7 divide o segmento MA7 na razao 1:6. (Os triangulos poderiam ser agrupados de varios jeitos) (Para quem usa softwares de Geometria Dinamica, isto dah ideia de milhoes de figurinhas legais para fazer) Abraco, Ralph. 2010/5/12 Carlos Nehab ne...@infolink.com.br Oi, Ralph e Hermann, (tô tão ausente da lista, mas com muitas saudades) Pois é Ralph: mas já andei provocando meus alunos a pensar no manjado polígono de cartolina recortado com tesoura... Coisa bem no concreto. (eu prefiro sair fora de particulas iguais nos vértices, pois acho mais natural pensar na massa distribuída na superfície do polígono e tentar fazê-los ver o baricentro como o ponto do equilíbrio. Daí começo com o óbvio: a) Num segmento, é o ponto médio (tá bom, não é polígono); b) Num triângulo é a sabida interseção das medianas; c) Num quadrilátero é o ponto médio do segmento que une os pontos médios das diagonais... Ou seja, a pergunta que costumo fazer é: Dá pra gente ver geometricamente isto continuar? Se o polígono tem n vértices, há algum tipo de n para o qual a gente continua a achar o equilíbrio pensando de alguma forma nas diagonais? E nas médias de suas coordenadas (como você abordou)? No pentágono, hexagono e heptágono as coisas funcionam? Onde dá zebra? E se agora a gente for pro R^3. Num tetraedro do R^3; ou paralelepípedo no R3; etc. Abraços a todos, Nehab Ralph Teixeira escreveu: Bom, a minha definicao de baricentro eh vetorial: o baricentro do poligono A1A2...An eh o ponto correspondente ao vetor (A1+A2+A3+...+An)/n. Seria o centro de massa de um conjunto de n particulas de mesma massa colocadas nos vertices. Infelizmente (ou felizmente?), esta definicao eh virtualmente equivalente ao seu problema, pois as seguintes linhas sao equivalentes: SUM (G-Ai)=0 SUM G = SUM Ai nG = SUM Ai G= (SUM Ai)/n (SUM eh somatorio, i=1 a n) Ajudou? Abraco, Ralph 2010/5/11 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br Boa noite. Existe baricentro de um polígono? Se *não*. Perdoem minha ignorância. Se *sim*. Eis um exercício que gostaria de uma ajuda: Dado um polígono formado pelos pontos A1, A2, An. Provar que o Somatório dos vetores GAi = vetor nulo. Onde G é o baricentro do polígono. Muito obrigado Hermann = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html=
