Re: [obm-l] Qual a probabilidade de se acertar PELO MENOS 8 questoes numa prova com 50 de multipla escolha?
Duas observações: tem provas de concursos que têm questões de bom-senso mesmo. E ninguém disse que bom-senso não é para ser usado! Aliás, na minha batalha pessoal contra a (má) utilisação da matemática para selecionar, talvez seja errado usar um problema de matemática para testar o bom-senso, mas o que eu acho errado mesmo é usar apenas matemática para testar o bom senso das pessoas! Intuição não é apenas com números. Segunda coisa, não sei em que linguagem você fez, mas lembre que esse tipo de contas com números grandes sempre dá problema de arredondamento... e não é claro como se liberar. Usando um software de cálculo formal, ele resolve essa questão com uma hipergeométrica, e isso deveria diminuir os erros de contas (você soma uma série só). Abaixo, a probabilidade de acertar ao menos n questões, para n de 0 a 10: 0 - 1 1 - 0.857275 2 - 0.9998073219 3 - 0.9987145850 4 - 0.9943436391 5 - 0.9815039850 6 - 0.9519727807 7 - 0.8966017725 8 - 0.8095901886 9 - 0.6926683721 10 - 0.5562595868, 11 - 0.4164405815 calculada como 1 - soma(k de 0 até n-1, p^k (1-p)^(N-k) * binomial(n,k)), para p = 1/5, N=50 . (O termo da soma é probabilidade de acertar exatamente k entre as N questões, e para acertar pelo menos n, basta somar até n-1). Dessa tabelinha, eu acho que você calculou a probabilidade de acertar mais do que 8 (9 ou mais), que já é menor do que a probabilidade de acertar 8 ou mais (óbvio, né?). Note que o termo que serve para passar de 7 para 8 acertos é quase 10%, e vale, exatamente, 4^43/5^50 * binomial(50,7) ~= 0.08701158413. O de passar de 6 para 7, vale 4^44/5^50*binomial(50,6), e só com esses dois dá mais de 10%. Agora, como fazer essas contas de forma suficientemente aproximada sem calculadora... eu peço ajuda aos universitários! Para os curiosos, a tabelinha vem de: (1-p)^(N-n) * p^n * binomial(N, n) * hypergeométrica ( [1, n - N], [n + 1], p/(p-1) ) Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa 2010/10/19 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com: Boa Noite Adalberto! :) Foi o que eu pensei também, mas com a ajuda de um compilador somei todos os fatoriais (inclusive 4^50) e dividi por 5^50. Deu um valor próximo de 70% no item um (acho que 69,35%e mais ou menos). Estava vendo a prova agora e no item 1 era pra provar que era menos de 90%. O problema é, como fazer uma conta desse tipo, de cabeça? Meu primo colocou que sim, pelo bom senso, mas bom senso não faz uma prova! Além disso se alguém manja de programação esse resultado está mesmo certo? Vou achar a prova e mando pra vocês. Abraço, João Date: Mon, 18 Oct 2010 14:49:48 -0200 Subject: Re: [obm-l] Qual a probabilidade de se acertar PELO MENOS 8 questoes numa prova com 50 de multipla escolha? From: aadornell...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Olá João, Como disseste, trata-se de um problema envolvendo a distribuição binomial (com n = 50 e p = 0.2). Calcular P(x = 8 ). A distribuição binomial tem média mi = n*p = 50 * 0.2 = 10. Como 810 temos que P(x = 8 ) 0.5, logo a resposta é falsa... Correto? Abraço, Adalberto 2010/10/17 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Boa Tarde a todos da lista. Numa prova que meu primo me mostrou para se tornar policial contra o narcotráfico no campo de engenharia agronoma (que aliás é uma prova muito interessante, 100 questões em que se tem que assinalar verdadeiro ou falso), me deparei com o seguinte problema e até agora estou pensando se não há uma forma mais fácil de resolvê-lo. 1) Em uma prova com 50 questões de múltipa escolha (5 alternativas), qual a probabilidade de o canditado passar (ou seja acertar 8) chutando TODAS AS questoes? 2) Em uma prova com 50 questões de verdadeiro ou falso (2 alternativas), qual a probabilidade de o canditado passar (ou seja acertar 8) chutando TODAS AS questoes? A minha resolução para o item 1 foi um tanto problemática. Considerei todas as possibilidades de o candidato errar todas, acertar 1, 2, ... e 8 e dividi por 5^50. Ou seja: - errar todas: 4^50 - acertar 1: 1.(50!/49!1!).4^49 - acertar 2: 1^2.(50!/48!2!).4^48 . . . - acertar 8: 1^8.(50!/42!2!).4^42 E dividi TUDO por 5^50 (uma conta meio IMPOSíVEL de se fazer, embora tivessemos que provar somente que a afirmação era falsa). Quanto à segunda o candidato ou acerta ou erra, logo: - errar todas: 1 - acertar 1: (50 1) - binomial - acertar 2: (50 2) . . . acertar 8: (50 8) E dividir por 2^50. Aqui nós tínhamos que provar que era falsa a resposta 8/50 Pergunta: Há algum jeito mais fácil de fazer isso? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica
Olá! Sim! Esta é justamente a condição necessária e suficiente! Albert Bouskela mailto:bousk...@msn.com bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 19:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Caro Bouskela, A condição é necessária e suficiente? Isto é, a fração dada NÃO gera dízima periódica se, e somente se, a nova base for um múltiplo de 6? Um abraço do Pedro Chaves! _ From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Date: Mon, 18 Oct 2010 15:12:18 -0200 Olá! A fração 17/6 gera uma dízima periódica na base 10 porque 6 (melhor, 3) não é divisor de 10 (i.e., a própria base). Desta forma, esta fração NÃO gera dízima periódica em qualquer base que seja múltipla de 6 (6, 12, 18...). Repare que se a base mais usual fosse 12 (com 4 divisores: 2, 3, 4 e 6), nossas contas teriam mais precisão em relação à base 10, que tem apenas 2 divisores (2 e 5). Sds., AB De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 13:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dízima periódica A fração, na base dez, 17/6 não gera uma dízima periódica se mudarmos para que base de numeração menor do que dez?
Re: [obm-l] Qual a probabilidade de se acertar PELO MENOS 8 questoes numa prova com 50 de multipla escolha?
Olá João, 2010/10/18 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Boa Noite Adalberto! :) Foi o que eu pensei também, mas com a ajuda de um compilador somei todos os fatoriais (inclusive 4^50) e dividi por 5^50. Deu um valor próximo de 70% no item um (acho que 69,35%e mais ou menos). Estava vendo a prova agora e no item 1 era pra provar que era menos de 90%. O problema é, como fazer uma conta desse tipo, de cabeça? Meu primo colocou que sim, pelo bom senso, mas bom senso não faz uma prova! Além disso se alguém manja de programação esse resultado está mesmo certo? Com os dados do problema, P = P(x = 8), com n = 50 e p = 0.2 No MATLAB: P = 1 - binocdf(7, 50, 0.2) P = 0.8096 Pelo bom senso é fácil verificar que P 0.5, agora provar que P 0.9 não é tão fácil... A não ser que pense assim: A distribuição binomial pode ser aproximada pela distr. normal com mu = n*p = 50 * 0.2 = 10 e sigma = sqrt(n*p*q) = sqrt(50 * 0.2 * 0.8) = sqrt(8) ~= 2.8 assim P(x = 8) ~= P( (x - mu)/sigma (8 - 10)/2.8)) = P(z -0.71) = P(-0.71 z 0) + P(0 z +inf) = P(-0.71 z 0) + 0.5 Agora, se você lembrar que P(-1 z 1) ~= 0.68 e que P(-1 z 0) ~= 0.34 então P(-0.71 z 0) P(-1 z 0) ~= 0.34 e P(x = 8) 0.34 + 0,5 P(x = 8) 0,84 logo P 0,9 Acho que é isso... Adalberto
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] D ízima periódica
Por esse raciocínio, 17/4 não geraria dízima na base 10, uma vez que 4 não divide 10? Acho que está faltando algum detalhe ;-) []´s Vinícius Fernandes dos Santos 2010/10/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! Sim! Esta é justamente a condição necessária e suficiente! Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 19:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Caro Bouskela, A condição é necessária e suficiente? Isto é, a fração dada NÃO gera dízima periódica se, e somente se, a nova base for um múltiplo de 6? Um abraço do Pedro Chaves! From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Date: Mon, 18 Oct 2010 15:12:18 -0200 Olá! A fração 17/6 gera uma dízima periódica na base 10 porque 6 (melhor, 3) não é divisor de 10 (i.e., a própria base). Desta forma, esta fração NÃO gera dízima periódica em qualquer base que seja múltipla de 6 (6, 12, 18...). Repare que se a base mais usual fosse 12 (com 4 divisores: 2, 3, 4 e 6), nossas contas teriam mais precisão em relação à base 10, que tem apenas 2 divisores (2 e 5). Sds., AB De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 13:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dízima periódica A fração, na base dez, 17/6 não gera uma dízima periódica se mudarmos para que base de numeração menor do que dez? = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES : [obm-l] Dízima periódica
Na verdade, a condição é que, se a fração for irredutível, o denominador não pode ter fatores primos que não estejam presentes na base. Então qualquer denominador que só tenha 2 e 5 como fatores primos não gerará dízima na base 10, assim como o denominador 6 não gerará dízima nas bases que tiverem 2 e 3 como divisores (ou seja, os múltiplos de 6). Fernando
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [o bm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica
Olá! 4 é composto (2x2). 2 é divisor de 10. Veja: a fração (divisão) n/((2^a)(5^b)) , sendo n, a e b inteiros, não gera dízima na base 10 (10=2x5). A propósito, pense, antes de contestar! AB bousk...@msn.com -Mensagem original- De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Vinícius Santos Enviada em: 19 de outubro de 2010 10:39 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Por esse raciocínio, 17/4 não geraria dízima na base 10, uma vez que 4 não divide 10? Acho que está faltando algum detalhe ;-) []´s Vinícius Fernandes dos Santos 2010/10/19 Albert Bouskela bousk...@msn.com: Olá! Sim! Esta é justamente a condição necessária e suficiente! Albert Bouskela bousk...@msn.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 19:01 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] RE: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Caro Bouskela, A condição é necessária e suficiente? Isto é, a fração dada NÃO gera dízima periódica se, e somente se, a nova base for um múltiplo de 6? Um abraço do Pedro Chaves! From: bousk...@msn.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica Date: Mon, 18 Oct 2010 15:12:18 -0200 Olá! A fração 17/6 gera uma dízima periódica na base 10 porque 6 (melhor, 3) não é divisor de 10 (i.e., a própria base). Desta forma, esta fração NÃO gera dízima periódica em qualquer base que seja múltipla de 6 (6, 12, 18...). Repare que se a base mais usual fosse 12 (com 4 divisores: 2, 3, 4 e 6), nossas contas teriam mais precisão em relação à base 10, que tem apenas 2 divisores (2 e 5). Sds., AB De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Pedro Chaves Enviada em: 18 de outubro de 2010 13:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Dízima periódica A fração, na base dez, 17/6 não gera uma dízima periódica se mudarmos para que base de numeração menor do que dez? === == Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html === == = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] RES: [obm-l] RE : [obm-l] RES: [obm-l] Dízima periódica
4 é composto (2x2). 2 é divisor de 10. Veja: a fração (divisão) n/((2^a)(5^b)) , sendo n, a e b inteiros, não gera dízima na base 10 (10=2x5). Sim, eu sei. A propósito, pense, antes de contestar! Eu pensei, vi que a afirmação estava imprecisa e forneci contra-exemplo, para ajudar a encontrar a resposta correta. Mas o Fernando já explicou bem e agora você também explicou corretamente. []´s Vinícius Fernandes dos Santos = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] 0,99999... = 0 ????
olá a todos vasculhando a internet, encontrei por acaso essa afirmação: 0,999... = 0 gostaria que comentassem. valeu! o artigo encontra-se aqui: http://www.dmat.ufrr.br/~gentil/images/stories/Artigos/palestra.pdf
Re: [obm-l] 0,99999... = 0 ????
Se voce parar para ler o artigo voce verá que faz sentido... Ele utiliza outra métrica para provar que 0.999... = 0, nao a métrica usual. Eu nao li o artigo com atencao o suficiente para encontrar erros, quando tiver tempo vou fazer isso.. Mas é bem interessante o resultado se estiver correto... Felipe Diniz 2010/10/19 Alexandre Farias alexandrebfar...@gmail.com Olá, A afirmação correta é 0.... = 1. Trata-se de uma identidade bem aceita e bem estabelecida na comunidade matemática. Isso costuma trazer muita confusão porque é difícil aceitar que um número pode ter mais de uma representação decimal. Abraço, Alexandre de Farias On Oct 19, 2010, at 8:53 PM, antonio ricardo wrote: olá a todos vasculhando a internet, encontrei por acaso essa afirmação: 0,999... = 0 gostaria que comentassem. valeu! o artigo encontra-se aqui: http://www.dmat.ufrr.br/~gentil/images/stories/Artigos/palestra.pdfhttp://www.dmat.ufrr.br/%7Egentil/images/stories/Artigos/palestra.pdf **
