Duas observações: tem provas de concursos que têm questões de
"bom-senso" mesmo. E ninguém disse que bom-senso não é para ser usado!
Aliás, na minha batalha pessoal contra a (má) utilisação da matemática
para selecionar, talvez seja errado usar um problema de matemática
para testar o bom-senso, mas o que eu acho errado mesmo é usar apenas
matemática para testar o bom senso das pessoas! Intuição não é apenas
com números.
Segunda coisa, não sei em que linguagem você fez, mas lembre que esse
tipo de contas com números grandes sempre dá problema de
arredondamento... e não é claro como se liberar. Usando um software de
cálculo formal, ele "resolve" essa questão com uma hipergeométrica, e
isso deveria diminuir os erros de contas (você soma uma série só).
Abaixo, a probabilidade de acertar ao menos n questões, para n de 0 a
10:
0 -> 1
1 -> 0.9999857275
2 -> 0.9998073219
3 -> 0.9987145850
4 -> 0.9943436391
5 -> 0.9815039850
6 -> 0.9519727807
7 -> 0.8966017725
8 -> 0.8095901886
9 -> 0.6926683721
10 -> 0.5562595868,
11 -> 0.4164405815
calculada como 1 - soma(k de 0 até n-1, p^k (1-p)^(N-k) *
binomial(n,k)), para p = 1/5, N=50 . (O termo da soma é "probabilidade
de acertar exatamente k entre as N questões", e para acertar pelo
menos n, basta somar até n-1). Dessa tabelinha, eu acho que você
calculou a probabilidade de acertar mais do que 8 ("9 ou mais"), que
já é menor do que a probabilidade de acertar "8 ou mais" (óbvio, né?).
Note que o termo que serve para passar de 7 para 8 acertos é "quase"
10%, e vale, exatamente, 4^43/5^50 * binomial(50,7) ~= 0.08701158413.
O de passar de 6 para 7, vale 4^44/5^50*binomial(50,6), e só com esses
dois dá mais de 10%. Agora, como fazer essas contas de forma
suficientemente aproximada sem calculadora... eu peço ajuda aos
universitários!
Para os curiosos, a tabelinha vem de:
(1-p)^(N-n) * p^n * binomial(N, n) * hypergeométrica ( [1, n - N], [n
+ 1], p/(p-1) )
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
2010/10/19 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>:
> Boa Noite Adalberto! :)
>
> Foi o que eu pensei também, mas com a ajuda de um compilador somei todos os
> fatoriais (inclusive 4^50) e dividi por 5^50. Deu um valor próximo de 70% no
> item um (acho que 69,35%e mais ou menos). Estava vendo a prova agora e no
> item 1 era pra provar que era menos de 90%. O problema é, como fazer uma
> conta desse tipo, de cabeça? Meu primo colocou que sim, pelo bom senso, mas
> bom senso não faz uma prova! Além disso se alguém manja de programação esse
> resultado está mesmo certo?
>
> Vou achar a prova e mando pra vocês.
>
> Abraço,
> João
>
> ________________________________
> Date: Mon, 18 Oct 2010 14:49:48 -0200
> Subject: Re: [obm-l] Qual a probabilidade de se acertar PELO MENOS 8
> questoes numa prova com 50 de multipla escolha?
> From: aadornell...@gmail.com
> To: obm-l@mat.puc-rio.br
>
> Olá João,
> Como disseste, trata-se de um problema envolvendo a distribuição binomial
> (com n = 50 e p = 0.2). Calcular P(x >= 8 ). A distribuição binomial tem
> média mi = n*p = 50 * 0.2 = 10. Como 8<10 temos que P(x >= 8 ) > 0.5, logo a
> resposta é falsa...
>
> Correto?
> Abraço,
> Adalberto
> 2010/10/17 João Maldonado <joao_maldona...@hotmail.com>
>
> Boa Tarde a todos da lista. Numa prova que meu primo me mostrou para se
> tornar policial contra o narcotráfico no campo de engenharia agronoma (que
> aliás é uma prova muito interessante, 100 questões em que se tem que
> assinalar verdadeiro ou falso), me deparei com o seguinte problema e até
> agora estou pensando se não há uma forma mais fácil de resolvê-lo.
>
>
> 1) Em uma prova com 50 questões de múltipa escolha (5 alternativas), qual
> a probabilidade de o canditado passar (ou seja acertar 8) chutando TODAS AS
> questoes?
>
> 2) Em uma prova com 50 questões de verdadeiro ou falso (2 alternativas),
> qual a probabilidade de o canditado passar (ou seja acertar 8) chutando
> TODAS AS questoes?
>
> A minha resolução para o item 1 foi um tanto problemática. Considerei todas
> as possibilidades de o candidato errar todas, acertar 1, 2, ... e 8 e dividi
> por 5^50.
>
> Ou seja:
>
> - errar todas: 4^50
> - acertar 1: 1.(50!/49!1!).4^49
> - acertar 2: 1^2.(50!/48!2!).4^48
> .
> .
> .
> - acertar 8: 1^8.(50!/42!2!).4^42
>
> E dividi TUDO por 5^50 (uma conta meio IMPOSíVEL de se fazer, embora
> tivessemos que provar somente que a afirmação era falsa).
>
> Quanto à segunda o candidato ou acerta ou erra, logo:
>
> - errar todas: 1
> - acertar 1: (50 1) -> binomial
> - acertar 2: (50 2)
> .
> .
> .
> acertar 8: (50 8)
>
> E dividir por 2^50.
>
> Aqui nós tínhamos que provar que era falsa a resposta 8/50
>
> Pergunta: Há algum jeito mais fácil de fazer isso?
>
>
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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