[obm-l] QUETAO GEOMETRIA PLANA TRIANGULOS
Olá, Queria uma outra solução mais simples que pela trigonometria. Se alguem conseguir??? === Seja P um ponto do interior de um triângulo isósceles ABC tal que AB igual a BC, o angulo ABC VALE 80o , o angulo PAC = 40o e o angulo ACP = 30o . A medida do ângulo BPC é igual a: Obrigado; Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] alguém pode me provar que R^2 não é subespaço de R^3?
Claudinei, você não entendeu. O Tiago foi muito polido, mas o que ele quis dizer foi que, apesar de ser um abuso de linguagem o R^2 é um subespaço do R^3. O que você não consegue provar é que o R^3 é um subespaço do R^2. [] Jones 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Muito obrigado Tiago pelo que entendi a confusão se faz porque um ponto (x,y,0) não posso afirmar que faz parte do R^2 porque o 0 (zero) nesse caso é a origem do plano cartesiano e não um número que não existe...é muito sutil esse diferença... Obrigado novamente!!! 2011/4/2 Tiago hit0...@gmail.com Olá. Estritamente falando, R^2 não é nem subconjunto de R^3. Então nunca vai poder ser subespaço. Porém (e é por isso que eu acho esse exercício idiota), você sempre pode ver R^2 como um subespaço de R^3. A questão é que existem diversas maneiras de fazer isso: considere um plano passando pela origem de R^3, por exemplo, o plano z=0. Então é possível construir um isomorfismo (transformação linear que é bijetora) entre R^2 e o plano z=0: T(x,y)=(x,y,0) Em outras palavras, você *identificou* R^2 com um subespaço de R^3. Formalmente falando, R^2 não é subespaço de R^3, mas na prática, você pode dizer que R^2 é subespaço de R^3. Porém deve lembrar que isto é um abuso de linguagem e existem diversas maneiras pelas quais R^2 pode ser visto como um subespaço de R^3. 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Prezados Alguém pode, por favor, me provar matematicamente que R^2 não é subespaço de R^3? estou estudando geometria analítica apareceu isso e não consigo digerir isso ainda desde já agradeço! -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- *Claudinei Margarida de Morais* Engenheiro de Minas Pós-Graduação em sistemas Mínero-Metalúrgicos E-mail: claudin...@gmail.com Cel: (31) 9339-4977
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] alguém pode me provar que R^2 não é subespaço de R^3?
Acho que as coisas estão confusas. Vou resumir - No sentido estrito, R^2 NÃO é subespaço de R^3, pois R^2 não é subconjunto de R^3 (basta ver como são definidos). Isso acaba o exercício. - Porém você sempre pode pensar R^2 como um subespaço de R^3. Há inúmeras maneiras de fazer isso, a saber, qualquer plano passando pela origem é uma cópia de R^2 em R^3. O termo técnico pra isso é que R^2 é isomorfo a um plano passando pela origem em R^3. 2011/4/4 jones colombo jones.colo...@gmail.com Claudinei, você não entendeu. O Tiago foi muito polido, mas o que ele quis dizer foi que, apesar de ser um abuso de linguagem o R^2 é um subespaço do R^3. O que você não consegue provar é que o R^3 é um subespaço do R^2. [] Jones 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Muito obrigado Tiago pelo que entendi a confusão se faz porque um ponto (x,y,0) não posso afirmar que faz parte do R^2 porque o 0 (zero) nesse caso é a origem do plano cartesiano e não um número que não existe...é muito sutil esse diferença... Obrigado novamente!!! 2011/4/2 Tiago hit0...@gmail.com Olá. Estritamente falando, R^2 não é nem subconjunto de R^3. Então nunca vai poder ser subespaço. Porém (e é por isso que eu acho esse exercício idiota), você sempre pode ver R^2 como um subespaço de R^3. A questão é que existem diversas maneiras de fazer isso: considere um plano passando pela origem de R^3, por exemplo, o plano z=0. Então é possível construir um isomorfismo (transformação linear que é bijetora) entre R^2 e o plano z=0: T(x,y)=(x,y,0) Em outras palavras, você *identificou* R^2 com um subespaço de R^3. Formalmente falando, R^2 não é subespaço de R^3, mas na prática, você pode dizer que R^2 é subespaço de R^3. Porém deve lembrar que isto é um abuso de linguagem e existem diversas maneiras pelas quais R^2 pode ser visto como um subespaço de R^3. 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Prezados Alguém pode, por favor, me provar matematicamente que R^2 não é subespaço de R^3? estou estudando geometria analítica apareceu isso e não consigo digerir isso ainda desde já agradeço! -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- *Claudinei Margarida de Morais* Engenheiro de Minas Pós-Graduação em sistemas Mínero-Metalúrgicos E-mail: claudin...@gmail.com Cel: (31) 9339-4977 -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] QUETAO GEOMETRIA PLANA TRIANGULOS
Seja BH a altura relativa a AC, então, como o triângulo é isósceles BH deve ser mediatriz de AC, e os ángulos ABH e HBC medem 40 cada. Seja Q o ponto de interseção de BH e CP. Dado que BH é mediatriz de BC, então AQ=QC e o ângulo QAC mede igual que o ACQ, ou seja 30. Então o ángulo PAC mede 40-30 = 10, e o ángulo PQC mede 60 e o ángulo PQB também 60. Ou seja, no triângulo ABQ, AP e QP são bisectrices, então P é o incentro do triângulo ABQ, então BP deve ser bisectriz, por tanto ABP=PBQ=20 e finalmente BPC=100. Parece complicado, mas é pelo fato de explicar sem mostrar a figura. Se precissa de uma figura me avise para enviar como adjunto Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Sun, 3 Apr 2011 23:22:22 -0700 (PDT) Asunto : [obm-l] QUETAO GEOMETRIA PLANA TRIANGULOS Olá, Queria uma outra solução mais simples que pela trigonometria. Se alguem conseguir??? === Seja P um ponto do interior de um triângulo isósceles ABC tal que AB igual a BC, o angulo ABC VALE 80o , o angulo PAC = 40o e o angulo ACP = 30o . A medida do ângulo BPC é igual a: Obrigado; Felipe Araujo Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] alguém pode me provar que R^2 não é subespaço de R^3?
2011/4/4 jones colombo jones.colo...@gmail.com: Claudinei, você não entendeu. O Tiago foi muito polido, mas o que ele quis dizer foi que, apesar de ser um abuso de linguagem o R^2 é um subespaço do R^3. não. ele quis dizer que R^3 tem subespaços isomorfos ao R^2. mas, de fato, R^2 não é subspaço. Ingenuamente, porque o R^2 tem 2 coordenadas e o R^3 tem 3. [] Jones 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Muito obrigado Tiago pelo que entendi a confusão se faz porque um ponto (x,y,0) não posso afirmar que faz parte do R^2 porque o 0 (zero) nesse caso é a origem do plano cartesiano e não um número que não existe...é muito sutil esse diferença... Obrigado novamente!!! 2011/4/2 Tiago hit0...@gmail.com Olá. Estritamente falando, R^2 não é nem subconjunto de R^3. Então nunca vai poder ser subespaço. Porém (e é por isso que eu acho esse exercício idiota), você sempre pode ver R^2 como um subespaço de R^3. A questão é que existem diversas maneiras de fazer isso: considere um plano passando pela origem de R^3, por exemplo, o plano z=0. Então é possível construir um isomorfismo (transformação linear que é bijetora) entre R^2 e o plano z=0: T(x,y)=(x,y,0) Em outras palavras, você identificou R^2 com um subespaço de R^3. Formalmente falando, R^2 não é subespaço de R^3, mas na prática, você pode dizer que R^2 é subespaço de R^3. Porém deve lembrar que isto é um abuso de linguagem e existem diversas maneiras pelas quais R^2 pode ser visto como um subespaço de R^3. 2011/4/2 claudinei claudin...@gmail.com Prezados Alguém pode, por favor, me provar matematicamente que R^2 não é subespaço de R^3? estou estudando geometria analítica apareceu isso e não consigo digerir isso ainda desde já agradeço! -- Tiago J. Fonseca http://legauss.blogspot.com -- Claudinei Margarida de Morais Engenheiro de Minas Pós-Graduação em sistemas Mínero-Metalúrgicos E-mail: claudin...@gmail.com Cel: (31) 9339-4977 = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito de distância. Só para conferir Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a distância entre eles seria: 5, isso é correto? Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é 1. Agradeço sua explicação Abraços Julio Saldaña -- Mensaje original --- De : obm-l@mat.puc-rio.br Para : obm-l@mat.puc-rio.br Fecha : Mon, 4 Apr 2011 14:28:00 +0200 Asunto : [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil 2011/4/2 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe: Oi Samuel, Na verdade não entendo muito de este tema, e queria te perguntar se os círculos no plano são subconjuntos compactos do plano? Sim, círculos são subconjuntos compactos do plano. Se for assim, se me ocurre um exemplo onde não é verdade: h(A,C) = h(A,B) + h(B,C) suponha que tem tres círculos com os centros colineales (na mesma reta). Nesse caso a distancia entre os mais afastados é maior que a soma das distancias entre eles e o terceiro: h(A,C) h(A,B) + h(B,C) Isso está certo ou o exemplo não tem nada a ver com o que se quer demostrar? Eu não entendi o seu exemplo... Você pode dar os centros dos círculos (três pontos numa reta) e os respectivos raios? E ajudaria a mim e o Samuel se você calculasse explicitamente quanto valem cada um dos h(A,B), h(B,C) e h(A,C). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = __ Si desea recibir, semanalmente, el Boletín Electrónico de la PUCP, ingrese a: http://www.pucp.edu.pe/puntoedu/suscribete/ = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] conjuntos, difícil
2011/4/4 Julio César Saldaña saldana...@pucp.edu.pe:
Oi Samuel e Bernardo, desculpem , acho que eu tinha entendido mal o conceito
de
distância.
Oi Julio,
Só para conferir
Se tenho dos círculos de radio 1, e os centros etão ém (0,0) e (0,3), então a
distância entre eles seria: 5, isso é correto?
Acho que eu tinha interpretado errado e achava que distância nesse exemplo é
1.
Vamos lá, com calma. A definição, pra começar:
h(A,B) = inf { r , para cada x em A, existe y em B tq d(x,y) r e
para cada y em B, existe x em A tq d(x,y) r}
Ou seja, para todo ponto a de A, você tem um ponto b_a (ou seja, que
pode mudar em função de a) em B a distância menor ou igual a h(A,B) (o
problema do inf é que muda os quantificadores), e o mesmo com b em B,
e um ponto a_b em A. (Aqui, você usa que os conjuntos são compactos
para garantir a desigualdade no limite). O melhor é separar a
definição em distância de A até B e distância de B até A, cada uma
sendo uma das metades, e ver que como a gente exige que o r valha
para os dois, então temos que h(A,B) é o máximo dessas duas distâncias
(que não são simétricas, por isso que a gente não as usa)
Se você tem o seu círculo em (0,0) de raio 1 (ele é o meu A), o ponto
mais longe do outro círculo (o B) é (-1,0), mas para todo r 3
existe um ponto (o (2,0) para ser mais exato) que está a uma distância
menor do que r de (-1,0). Os outros pontos (a,b) têm pontos (a+3,b)
correspondentes no outro círculo também, de forma que a distância de
A até B é 3. Como a figura é simétrica, a distância (tal como
definida pelo Samuel) é 3.
Para dar um exemplo um pouco mais interessante, veja que se A =
segmento [0,1] e B = segmento [2,20], a distância de A até B como eu
defini é 2 porque todo ponto em A está a uma distância = a 2 do
[2,20]. Por outro lado, a distância de B até A é 19, porque o ponto
20 está a uma distância de 19 do 1, que é o ponto mais próximo do A.
Agora, de volta ao problema:
Uma forma interessante de ver essa definição da h(A,B) é a seguinte:
defina a distância entre x e A (um conjunto) como a menor distância
entre x e um ponto de A, ou seja, d(x, A) = inf{ d(x,a) / a pertence a
A}. Note que essa distância é sempre realizada quando A é um conjunto
fechado, porque você pode pegar uma seqüência decrescente de
distâncias, e os pontos que as realizam formam uma seqüência em A,
logo qualquer limite está em A, e porque elas estão a uma distância
constante, isso dá um compacto, donde você pode extrair uma
subseqüência.
Agora, defina d(A - B) = sup{ d(a,B) / a pertence a A} = distância
de A até B, e h(A,B) = max{d(A - B), d(B - A)}. Isso quer dizer que
B inter {vizinhança de espessura r h(A,B) em volta de A} é não vazio
para todo r, e reciprocamente em A e B. Repare que não é o mesmo que
pedir que B esteja contido na bola em volta de A de raio r. (bola
em volta de A = vizinhança de espessura r = conjunto dos pontos cuja
distância a A é menor do que r).
Agora, para concluir o problema, vai uma dica: use a desigualdade
triangular original, mais o fato que h(A,B) r te dá um ponto em B
para cada ponto de A, e o mesmo para h(B,C) s para fazer pontos em
C. E depois dê uma jogada de epsilon/2 e pode partir pro abraço.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
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