[obm-l] Re: [obm-l] Esta função complexa tem que ser um mapeamento afim?
2011/5/13 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Prezados amigos Oi Artur ! Suponhamos que f seja uma função inteira uniformemente contínua em todo o plano complexo. Isto implica que f seja um mapeamento afim? Se f for inteira e Lischitz, então a resposta é sim (f' é limitada, logo constante por Liouville). Mas se só assumirmos continuidade uniforme (além de inteira), não sei. Eu acho que a idéia é essa mesma, mais o fato que f é quase-Lipschitz o suficiente para você aplicar Liouville (na verdade, a demonstração). Seja A = f(0), e B tal que |f(x) - f(x+y)| 1 para |y| B (continuidade uniforme, eps=1, delta dado = B). Seja agora g = f - A, e note que |g(R*B)| = R. Daí, use as desigualdades de Cauchy para provar que |g'(z)| = 1/B dentro do círculo de raio R, e daí você conclui por Liouville (ou então você usa as desigualdades para as derivadas seguintes, também funciona). O ponto chave dessa idéia é que você pode (graças à harmonicidade de f) traduzir uma informação longe de um ponto em um controle dentro do círculo onde esse mesmo controle vale, um tipo de princípio do máximo / mínimo. Se g fosse apenas C-infinito, não dava para concluir |g'(z)| = 1/B apenas do fato que |g| = 1 no círculo de raio B, mas aqui sim. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Teorema sobre mediana
Isso é legal, né?
-- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios
-- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios.
Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para
resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para
pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é
só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou
exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as
notas finais dos meus alunos.
Mas vamos à solução pedida:
Reordenando a sequência se necessário, podemos supor x1=x2=...=xn.
Considere então f(x)=|x-x1|+|x-x2|+...+|x-xn|. Queremos minimizar
f(x).
Se xx1, note que |x-xi||x1-xi| para todo i, e este x jamais seria
minimizante. Então o x minimizante deve satisfazer x=x1.
Analogamente, x=xn.
Agora, sabendo que x está em [x1,xn], tem-se
|x-x1|+|x-xn|=x-x1+xn-x=xn-x1, que não depende de x. Ou seja, agora
que já sabemos que estamos no intervalo [x1,xn], estas duas parcelas
têm soma constante, e portanto podem ser descartadas na tarefa de
achar o x que minimiza f(x).
Então queremos minimizar g(x)=|x-x2|+|x-x3|++|x-x{n-1}|. Aplicando
o mesmo raciocínio de antes, o x minimizante tem de estar em
[x2,x{n-1}], e então a soma |x-x2|+|x-x{n-1}| é constante e pode ser
descartada...
Continuemos descascando esta cebola... chegamos a uma das duas
seguintes situações:
a) Se n for ímpar (n=2k+1), ao final ficamos com o problema de
minimizar |x-xk|, cuja solução é claramente x=xk (a mediana da
sequência original);
b) Se n for par (n=2k), ao final ficamos com o problema de minimizar
|x-xk|+|x-x{k+1}|, e então qualquer x em [xk,x{k+1}] dá o mesmo valor
mínimo (a função original f(x) tem um platô neste intervalo). Bom, a
mediana está ali, então dá o valor mínimo para f(x).
Abraço,
Ralph
P.S.: O gráfico de f(x) não é difícil de entender não:
-- para xx1, é uma (semir)reta do tipo f(x)=-nx+c1, coeficiente angular -n.
-- para x1xx2, é um segmento do tipo f(x)=-(n-2)x+c2, coeficiente
angular -(n-2).
-- para x2xx3, é f(x)=-(n-4)x+c3.
...
-- para xix{i+1}, é f(x)=-(n-2i)+ci.
...
(c1, c2, ..., ci,... são constantes)
Ou seja, o gráfico de f(x) é uma poligonal, cada vértice em x=xi,
cujos coeficientes angulares vão aumentando de 2 em 2. Se n=2k+1, o
mínimo ocorre onde o coeficiente troca de -1 para +1, exatamente em
xk; se n=2k, tem um pedaço todo em [xk,x{k+1}] com coeficiente angular
0, que é o platô de mínimos.
2011/5/12 Guilherme Neves guigo_ne...@hotmail.com:
Considere a sequência (x1,x2,x3,..., xn). Demonstrar que o somatório dos
módulos dos desvios em relação à mediana é um valor mínimo.
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva
Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory, cujo
autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela Addison-Wesley
Publishing Company na década de 70.
Problema:
A~B iff A is one-to-one correspondence with B.
1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
{b}).
2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~ (B
- D).
De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
É, tome A=B=D=Z e C=N.
Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
{0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)
Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!
Abraço,
Ralph
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
Re: [obm-l] Teorema sobre mediana (OFFTOPIC)
Em 13/05/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Isso é legal, né? -- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios -- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios. Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as notas finais dos meus alunos. A ideia é que a média é um balanço entre perdas e ganhos. Por exemplo, a média entre 5 e 7 é 6, e 6 perde 1 de 7 mas ganha 1 de 5. O problema é que a média é muito sensível a variações dos dados. Antes de eu fugir da facul, já tive professores que usavam média harmônica para as provas! Zerou uma prova, já era! Ou tão pior quanto, ao se tirar vários 10, um 5 te jogava pra baixo. Mas enfim, acho que a média é mais usada porque embute a ideia que eu exibi acima. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Geometria Cone Sul
Em 12/05/11, Luís Lopesqed_te...@hotmail.com escreveu: Sauda,c~oes, Fonte: Treinamento Cone Sul Volume 2. Problema 26 p. 135 H_b , H_c pés das alturas de B e C. H ortocentro M_a médio de BC Gamma Circuncírculo de ABC phi Circuncírculo de AH_bH_c S segunda interseção de phi com Gamma Mostre que S, H, M_a são colineares Opa! É Geometria Projetiva na cabeça! Pegue em mãos sua Eureka! 8, dê uma estudada no artigo do Luciano, e mãos à obra! Para melhor acompanhar a demonstração, pegue um papel e faça um desenho caprichado! Vamos antes tomar um leminha: Triângulo ABC; Alturas AH_a, BH_b, CH_c; ortocentro H Médios M_a,M_b,M_c; X_a é o ponto comum a BC e H_bH_c Demonstrar que M_aH e AX_a são perpendiculares! Vamlá: Tome o circulo de centro M_a e raio BM_a, chame-o Epsilon. Como BH_bC e CH_cB são angulos retos, esta circunferencia passa pelos pontos H_b e H_c. Vamos dualizar em Epsilon agora. A reta polar de A é HX_a A reta polar de X_a é AH. Portanto, o ponto polar (polo) de AX_a é H. Logo, M_aH é perpendicular a AX_a. Seja Y o ponto comum a AX_a e M_aH. Pelo lema, AYH=90 graus. Agora, potência de ponto! AH_bHH_c é cíclico (angulos retos); CH_bH_cB é cíclico (angulos retos); ABC é cíclico (triangulo). X_a é centro radical dos tres circulos acima descritos (é meio óbvio, mas basta calcular as potencias de ponto em relação a cada par de circulos). Seja Z o ponto em que AX_a corta o circulo AH_bHH_c. Por potencia de ponto, A,Z,B,C são concíclicos, bem como A, Z, H_c, H. Logo angulo AZH = angulo AH_cH=90 graus = angulo AYH. Portanto, Y=Z, e tá demonstrado! Como fazer? Com geometria sintética de preferência. Pra variar um pouco, não vou fazer com trigonometria. Mas a ideia é simples: Demonstrar que M_aH e AX_a são perpendiculares! []'s Luís -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva
2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory, cujo
autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela Addison-Wesley
Publishing Company na década de 70.
Problema:
A~B iff A is one-to-one correspondence with B.
1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
{b}).
2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~ (B
- D).
De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com escreveu:
É, tome A=B=D=Z e C=N.
Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
{0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)
Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!
Abraço,
Ralph
--
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Teorema sobre mediana (OFFTOPIC)
Concordo que, se a soma dos seus dados tem algum sentido, a media tem esta propriedade adicional de zerar a soma dos desvios (com sinal) e, portanto, manter a mesma soma. Como voce disse, **quando somar faz sentido**, a soma perdas com ganhos se anula... Mas note como a ideia de soma eh essencial neste contexto. Em outras palavras: o aluno que tirou 0, 3, 9, 9 e 9 nas 5 provas tem soma de pontos 30. Quanto eu faco a media dele (6), eu estou meio que dizendo que ele equivale a um que tirou 6, 6, 6, 6 e 6, o que mantem a mesma soma das pontuacoes. Ou seja, eh como se voce pensasse que as 5 provas juntas fazem uma enorme super-prova de 10h de duracao, e o cara tirou 60% nesta super-prova. Faz sentido. Agora, aas vezes os dados vem de voce fazer a mesma experiencia varias vezes, ou de ter varias pessoas julgando a mesma prova. Por exemplo, um aluno faz UMA prova, e 5 juizes dao notas 0, 3, 9, 9 e 9. Agora somar as notas jah nao eh tao obviamente natural... entao manter o balanco (soma dos desvios 0) jah nao eh tao essencial para mim... Nestes casos eu costumo preferir a mediana, que, como voce disse, eh bem menos sensivel aa variacao dos dados -- ou outras coisas estranhas (por exemplo: jogue fora os dois extremos, faca a media do que sobrar -- eh uma ideia intermediaria, usada em algumas praticas olimpicas e apuracoes de escolas de samba...). Em suma, se tem um numero que eh um alvo, e as variacoes vem de erros ou perturbacoes aleatorias, e nao da variavel a ser estudada em si, eu *tendo* a preferir a mediana para ser o alvo. Nao eh que eu ache que a media eh pessima e tinha que ser abolida ou algo assim; mas gostaria que as pessoas percebessem que usar media o tempo todo eh um tanto arbitrario. Agora, concordo, media harmonica para nota final eh muita maldade... :) :) :) Abraco, Ralph 2011/5/13 Johann Dirichlet peterdirich...@gmail.com: Em 13/05/11, Ralph Teixeiraralp...@gmail.com escreveu: Isso é legal, né? -- A média minimiza a soma dos quadrados dos desvios -- A mediana minimiza a soma dos módulos dos desvios. Olhando deste jeito, a mediana parece mais natural do que média para resumir os dados de uma sequência alíás, vocês já pararam para pensar PORQUE a gente usa a média o tempo todo? No fundo no fundo, é só por costume, não há uma razão matemática muito forte não... vou exagerar um pouco: se eu pudesse, usava a mediana para calcular as notas finais dos meus alunos. A ideia é que a média é um balanço entre perdas e ganhos. Por exemplo, a média entre 5 e 7 é 6, e 6 perde 1 de 7 mas ganha 1 de 5. O problema é que a média é muito sensível a variações dos dados. Antes de eu fugir da facul, já tive professores que usavam média harmônica para as provas! Zerou uma prova, já era! Ou tão pior quanto, ao se tirar vários 10, um 5 te jogava pra baixo. Mas enfim, acho que a média é mais usada porque embute a ideia que eu exibi acima. -- /**/ 神が祝福 Torres = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Função Bijetiva
Em 13 de maio de 2011 13:42, Bernardo Freitas Paulo da Costa
bernardo...@gmail.com escreveu:
2011/5/13 Pedro Júnior pedromatematic...@gmail.com:
Olá a todos, seguinte o livro que foi retirado o problema é Set Theory,
cujo
autor Charles C. Pinter, Bucknell Unniversity, publicado pela
Addison-Wesley
Publishing Company na década de 70.
Problema:
A~B iff A is one-to-one correspondence with B.
1. Suppose that A ~ B, a \in A, and b \in B. Prove that (A - {a}) ~ (B -
{b}).
2. Suppose that A ~ B, C ~ D, C \cup A and D \cup B. Prove that (A - C) ~
(B
- D).
De fato, havia esquecido da bijeção entre C e D.
Como eu disse e o Ralph provou, ainda falta alguma coisa. Tipo uma
hipótese de que C e D são finitos, para você poder usar recorrência da
propriedade 1. ; sem isso, continua falso.
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
Não Bernardo, veja que entre C e D existe uma bijeção, ou seja, esta é a
hipótese que faltava, agora falta provar!
Em 9 de maio de 2011 23:23, Ralph Teixeira ralp...@gmail.com
escreveu:
É, tome A=B=D=Z e C=N.
Então existe uma bijeção I:A-B (a identidade);
e existe uma bijeção f:C-D (levando {0,1,2,...} em
{0,-1,1,-2,2,-3,...}, respectivamente)
Mas não há bijeção de A-C=Z_{-} em B-D=vazio!
Abraço,
Ralph
--
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
RE: [obm-l] Re: [obm-l] Esta função complexa tem que ser um mapeamento afim?
É isso aí, grande Bernardo. Obrigado . Artur Enviado de meu telefone Nokia -Mensagem original- De: Bernardo Freitas Paulo da Costa Enviado: 13/05/2011, 02:28 To: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Esta função complexa tem que ser um mapeamento afim? 2011/5/13 Artur Steiner artur_stei...@hotmail.com: Prezados amigos Oi Artur ! Suponhamos que f seja uma função inteira uniformemente contínua em todo o plano complexo. Isto implica que f seja um mapeamento afim? Se f for inteira e Lischitz, então a resposta é sim (f' é limitada, logo constante por Liouville). Mas se só assumirmos continuidade uniforme (além de inteira), não sei. Eu acho que a idéia é essa mesma, mais o fato que f é quase-Lipschitz o suficiente para você aplicar Liouville (na verdade, a demonstração). Seja A = f(0), e B tal que |f(x) - f(x+y)| 1 para |y| B (continuidade uniforme, eps=1, delta dado = B). Seja agora g = f - A, e note que |g(R*B)| = R. Daí, use as desigualdades de Cauchy para provar que |g'(z)| = 1/B dentro do círculo de raio R, e daí você conclui por Liouville (ou então você usa as desigualdades para as derivadas seguintes, também funciona). O ponto chave dessa idéia é que você pode (graças à harmonicidade de f) traduzir uma informação longe de um ponto em um controle dentro do círculo onde esse mesmo controle vale, um tipo de princípio do máximo / mínimo. Se g fosse apenas C-infinito, não dava para concluir |g'(z)| = 1/B apenas do fato que |g| = 1 no círculo de raio B, mas aqui sim. Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html .mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
