[obm-l] Fibonacci
Caros colegas da lista, alguem conhece um texto sobre o problema dos coelhos de Fibonacci, mas que troque a hipótese dos coelhos nunca morrerem, por uma hipótese dos coelhos morrerem após um determinado período de tempo? Atenciosamente, Gabriel Guedes
[obm-l] Re: [obm-l] indução
[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.
Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
para (n+1), ou seja, mostrar que:
[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.
Mas, por hipótese
[image:
\displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.
Mostremos então que
[image:
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.
Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente
a provar a desigualdade para seus quadrados pois
[image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
x^2\leq
y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.
Temos
[image:
(3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn
[image:
\geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.
Logo,
[image:
\displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D
o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
Indução segue que vale para todo número natural.
Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Alguem poderia me ajudar nessa questão?
Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n = 1/raiz(3n+1),para todo
n natural.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] indução
Isso mostra a questão colocada pelo Maldonado...
Em 7 de abril de 2012 11:32, Alex pereira Bezerra
alexmatematica1...@gmail.com escreveu:
[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D.
Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1.
Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale
para (n+1), ou seja, mostrar que:
[image:
\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.
Mas, por hipótese
[image:
\displaystyle\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}\cdots\frac{2n-1}{2n}\right)
\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cleft%28%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B3%7D%7B4%7D%5Ccdots%5Cfrac%7B2n-1%7D%7B2n%7D%5Cright%29%20%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D.
Mostremos então que
[image:
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3n+1}}\cdot\frac{2n+1}{2n+2}\leq\frac{1}{\sqrt{3n+4}}.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B1%7D%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B2n%2B1%7D%7B2n%2B2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B3n%2B4%7D%7D.
Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é
equivalente a provar a desigualdade para seus quadrados pois
[image: 0 x,\,y\,\,\, ent\~ao\,\,\, x\leq y \,\,\Leftrightarrow\,\,
x^2\leq
y^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=0%3C%20x%2C%5C%2Cy%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20ent%5C%7Eao%5C%2C%5C%2C%5C%2C%20x%5Cleq%20y%20%5C%2C%5C%2C%5CLeftrightarrow%5C%2C%5C%2C%20x%5E2%5Cleq%20y%5E2.
Temos
[image:
(3n+1)(2n+2)^2=12n^3+28n^2+20n+4=(3n+4)(2n+1)^2+n]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%283n%2B1%29%282n%2B2%29%5E2%3D12n%5E3%2B28n%5E2%2B20n%2B4%3D%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2%2Bn
[image:
\geq(3n+4)(2n+1)^2.]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cgeq%283n%2B4%29%282n%2B1%29%5E2.
Logo,
[image:
\displaystyle\frac{1}{(3n+1)}\cdot\frac{(2n+1)^2}{(2n+2)^2}\leq\frac{1}{(3n+4)}]http://moodle.profmat-sbm.org.br/filter/tex/displaytex.php?texexp=%5Cdisplaystyle%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B1%29%7D%5Ccdot%5Cfrac%7B%282n%2B1%29%5E2%7D%7B%282n%2B2%29%5E2%7D%5Cleq%5Cfrac%7B1%7D%7B%283n%2B4%29%7D
o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de
Indução segue que vale para todo número natural.
Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges
marconeborge...@hotmail.com escreveu:
Alguem poderia me ajudar nessa questão?
Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n = 1/raiz(3n+1),para
todo n natural.
--
Pedro Jerônimo S. de O. Júnior
Professor de Matemática
Geo João Pessoa – PB
[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] indução
Muito obrigado,Alex. Date: Sat, 7 Apr 2012 11:32:45 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] indução From: alexmatematica1...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Prova-se usando indução. É claro que a desigualdade é válida para n=1. Supondo válida para n maior ou igual a 1, devemos mostrar que também vale para (n+1), ou seja, mostrar que: Mas, por hipótese Mostremos então que Como se tratam de números positivos, provar esta desigualdade é equivalente a provar a desigualdade para seus quadrados pois Temos Logo, o que mostra que a desigualdade também vale para (n+1). Pelo Princípio de Indução segue que vale para todo número natural. Em 6 de abril de 2012 09:33, marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com escreveu: Alguem poderia me ajudar nessa questão? Provar por indução que 1/2*3/4*5/6...*(2n-1)/2n = 1/raiz(3n+1),para todo n natural.
Re: [obm-l] Fibonacci
Ola' Gabriel, se cada casal viver por k+0.5 meses (0.5 e' para nao haver confusao sobre a geracao de descendentes no momento em que o casal morre), entao basta voce subtrair a quantidade de coelhos com idade igual ou mais velhos que k+1 meses. Assim, a resposta para o seu problema seria F(n) - F(n-k-1) []'s Rogerio Ponce PS: para quem nao sabe, o problema dos coelhos e' o seguinte: Coloca-se um casal de coelhos recem-nascidos em um jardim. Sabendo-se que a cada mes, a partir dos dois meses de idade, cada casal de coelhos da' origem a um novo casal, quantos casais de coelhos havera' no jardim ao fim de n meses? Resposta: Ao final do mes n, havera' F(n) casais, onde F(0)=1 F(1)=1 F(n)=F(n-1)+F(n-2) Em 07/04/12, Gabriel Guedesg.a.gue...@gmail.com escreveu: Caros colegas da lista, alguem conhece um texto sobre o problema dos coelhos de Fibonacci, mas que troque a hipótese dos coelhos nunca morrerem, por uma hipótese dos coelhos morrerem após um determinado período de tempo? Atenciosamente, Gabriel Guedes = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Ajuda
Caros colegas, se puderem me ajudar nessas questões, agradeço. 1- Considere verdadeira as 3 seguintes afirmações: I- Todos os amigos de João são amigos de Mario.II- Mario não é amigo de qualquer amigo de Paulo.III-Mario é amigo de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então:a) Antônio é amigo de Mário.b) João é amigo de Roberto.c) Mario é amigo de Roberto.d) Antônio é amigo de Jõao. 2- No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? 3- Considere a função f(x)= sen^3(x) cos(x)- (cos^3(x))sen^2(x) - 1/4. O número de raízes dessa função, no intervalo ]0, pi [ é? Vanessa Nunes
RE: [obm-l] Ajuda
3) considere os pontos A(x,y),B(4,0) e C(0,0) escreva as equações das retas AC e AB(use tg140 = -tg40 = (-2tg20)/(1 - tg^2(20))) e encontre as coordenadas do ponto A(intersecção dessas retas).y é a altura do triângulo ABC.Calcule a área a de ABC use a = 1/2*AC*BC*sen60 Acho q sai assim Vou fazer as contas e digo o q achei depois. From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda Date: Sat, 7 Apr 2012 23:35:58 + Caros colegas, se puderem me ajudar nessas questões, agradeço. 1- Considere verdadeira as 3 seguintes afirmações: I- Todos os amigos de João são amigos de Mario. II- Mario não é amigo de qualquer amigo de Paulo. III-Mario é amigo de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então: a) Antônio é amigo de Mário. b) João é amigo de Roberto. c) Mario é amigo de Roberto. d) Antônio é amigo de Jõao. 2- No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? 3- Considere a função f(x)= sen^3(x) cos(x)- (cos^3(x))sen^2(x) - 1/4. O número de raízes dessa função, no intervalo ]0, pi [ é? Vanessa Nunes
RE: [obm-l] Ajuda
Assim as contas ficam enormes,mas pode usar a lei dos senos: 4/sen80 = AC/sen40 AC = 4sen40/sen80=4sen40/2sen40cos40 = 2/cos40 cos40 = 1 - sen^2(20) = 1 - k^2 AC = 2/(1 - k^2) From: marconeborge...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] Ajuda Date: Sun, 8 Apr 2012 00:52:17 + 3) considere os pontos A(x,y),B(4,0) e C(0,0) escreva as equações das retas AC e AB(use tg140 = -tg40 = (-2tg20)/(1 - tg^2(20))) e encontre as coordenadas do ponto A(intersecção dessas retas).y é a altura do triângulo ABC.Calcule a área a de ABC use a = 1/2*AC*BC*sen60 Acho q sai assim Vou fazer as contas e digo o q achei depois. From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda Date: Sat, 7 Apr 2012 23:35:58 + Caros colegas, se puderem me ajudar nessas questões, agradeço. 1- Considere verdadeira as 3 seguintes afirmações: I- Todos os amigos de João são amigos de Mario. II- Mario não é amigo de qualquer amigo de Paulo. III-Mario é amigo de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então: a) Antônio é amigo de Mário. b) João é amigo de Roberto. c) Mario é amigo de Roberto. d) Antônio é amigo de Jõao. 2- No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? 3- Considere a função f(x)= sen^3(x) cos(x)- (cos^3(x))sen^2(x) - 1/4. O número de raízes dessa função, no intervalo ]0, pi [ é? Vanessa Nunes
RE: [obm-l] Ajuda
3) f(x) = sen^2(x)senxcosx - cos^2(x)cosxsenx - 1/4 f(x) = [sen^2(x) - cos^2(x)](senxcox) - 1/4 = -cos2x[sen2x/2] - 1/4 = -sen4x/4 - 1/4 f(x) = 0 = ( -sen4x)/4 - 1/4 = 0 = sen4x = -1 = 4x = 3pi/2 + 2kpi,k inteiro x = 3pi/8 + kpi/2 Para k = 0,x = 3pi/8 Para k = 1,x = 7pi/8 From: vanessani...@hotmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: [obm-l] Ajuda Date: Sat, 7 Apr 2012 23:35:58 + Caros colegas, se puderem me ajudar nessas questões, agradeço. 1- Considere verdadeira as 3 seguintes afirmações: I- Todos os amigos de João são amigos de Mario. II- Mario não é amigo de qualquer amigo de Paulo. III-Mario é amigo de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então: a) Antônio é amigo de Mário. b) João é amigo de Roberto. c) Mario é amigo de Roberto. d) Antônio é amigo de Jõao. 2- No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? 3- Considere a função f(x)= sen^3(x) cos(x)- (cos^3(x))sen^2(x) - 1/4. O número de raízes dessa função, no intervalo ]0, pi [ é? Vanessa Nunes
Re: [obm-l] Ajuda
Olá Vanessa. Tenho uma soluçao razoavel para questao 2. 2. No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? SOLUÇAO: TEMOS UM TRIANGULO ABC EM QUE A=80 B=40 E C=60 E BC=4 AC=x. TRAÇA-SE UMA CEVIANA CS DE FORMA QUE O ANGULO ACS=20 E BCS=40. FICAMOS COM DOIS TRIANGULOS ACS E BCS AMBOS ISOSCELES. NO ACS AC=CS=x LOGO BAC=CSA=80. NO BCS BS=CS=x LOGO CBS=BCS=40. A PARTIR DE S TRAÇA-SE UMA PERPENDICULAR A BC QUE DIVIDE O LADO BC AO MEIO JA QUE BC É BASE DE UM TRIANGULO ISOSCELES (NO ISOSCELES ALTURA = MEDIANA RELATIVA A BASE). CHAMANDO M O PONTO QUE A PERPENDICULAR ATINGE EM BC. TEMOS UM TRIANGULO RETANGULO CSM EM QUE CM=2 CS=x E SCM=40. CALCULA-SE O COS40=2(COS^2)20 - 1 PELO TRIANGULO O COS40 = 2/x IGUALANDO ACHA-SE X=2(1-2K^2). ESPERO TER AJUDADO. ABRAÇO. Felipe Araujo Costa De: Vanessa Nunes de Souza vanessani...@hotmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Sábado, 7 de Abril de 2012 20:35 Assunto: [obm-l] Ajuda Caros colegas, se puderem me ajudar nessas questões, agradeço. 1- Considere verdadeira as 3 seguintes afirmações: I- Todos os amigos de João são amigos de Mario. II- Mario não é amigo de qualquer amigo de Paulo. III-Mario é amigo de Roberto. Se Roberto é amigo de Paulo, então: a) Antônio é amigo de Mário. b) João é amigo de Roberto. c) Mario é amigo de Roberto. d) Antônio é amigo de Jõao. 2- No triângulo ABC tem-se que BÂC mede 80 graus, ABC mede 40 graus e BC=4 cm. Se sen 20=K, então a medida de AC é? 3- Considere a função f(x)= sen^3(x) cos(x)- (cos^3(x))sen^2(x) - 1/4. O número de raízes dessa função, no intervalo ]0, pi [ é? Vanessa Nunes
