[obm-l] ajuda
Será que alguém poderia me ajudar na seguinte questão: f(x).f(y)-f(x.y)=x/y+y/x, então f(1)=?
[obm-l] ajuda (faltou dizer que:)
Será que alguém poderia me ajudar na seguinte questão: Seja f: R*+ - R*+ uma função tal que f(x).f(y)-f(x.y)=x/y+y/x, então f(1)=?
[obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Este problema não é um caso específico do problema que ficou 150 anos para ser resolvido (esqueci o nome dele, mas acho que enviaram para cá) ? Mas se não me engano, o enunciado geral era Mostrar que a única solução inteira para equação x^p - y^q = 1 é (x=3, p=2, y=2, q=3). Abs Felipe De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 29 de Agosto de 2012 10:33 Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1 onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
[obm-l] RES: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Apareceu sim, só falta o desafiante enviar o numerário para você. Judah _ De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de Ralph Teixeira Enviada em: quarta-feira, 29 de agosto de 2012 10:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1 onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
[obm-l] RES: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única
Olá! Sim, veja a minha mensagem « A Conjectura de Catalan ». Albert Bouskela mailto:bousk...@gmail.com bousk...@gmail.com De: owner-ob...@mat.puc-rio.br [mailto:owner-ob...@mat.puc-rio.br] Em nome de luiz silva Enviada em: quinta-feira, 30 de agosto de 2012 09:34 Para: obm-l@mat.puc-rio.br Assunto: [obm-l] Re: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Este problema não é um caso específico do problema que ficou 150 anos para ser resolvido (esqueci o nome dele, mas acho que enviaram para cá) ? Mas se não me engano, o enunciado geral era Mostrar que a única solução inteira para equação x^p - y^q = 1 é (x=3, p=2, y=2, q=3). Abs Felipe De: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Para: obm-l@mat.puc-rio.br Enviadas: Quarta-feira, 29 de Agosto de 2012 10:33 Assunto: [obm-l] Fwd: [obm-l] Solução única Nao sei porque esta mensagem nao apareceu na lista Estou tentando de novo, para ver se ganho os R$50. -- Forwarded message -- From: Ralph Teixeira ralp...@gmail.com Date: 2012/8/28 Subject: Re: [obm-l] Solução única To: obm-l@mat.puc-rio.br Hmmm Veja se voce conhece este fato: FATO: f(x)=(1+r/x)^x eh uma funcao crescente (para x=1) que tende para e^r quando x-+Inf. Ou seja, (1+r/x)^x e^r sempre que x=1. Agora sim! i) Nao ha solucao com ba=3. De fato, escrevendo b=a+r, vem: a^b-b^a = a^a.(a^r-(1+r/a)^a) a^a.(a^r-e^r) a^a.(a-e) 3^3.(0.2) 1 onde usei que r=1 para sumir com r (note que (a^r-e^r)=(a-e)(a^(r-1)+a^(r-2)+...+e^(r-1)) e este termo imenso eh =1), e que a=3 e que e=2.781828... no finzinho. ii) Nao ha solucao com 3=ba. De fato, escrevendo a=b+r, vem: a^b-b^a = b^b.((1+r/b)^b-b^r) b^b.(e^r-b^r) 0 pois be e r=1. Como obviamente tambem nao ha solucao com a=b, as unicas possiveis solucoes tem pelo menos um dos numeros menores do que 3. Agora eh soh analisar os casos a=1, a=2, b=1 e b=2: -- Se a=1 entao 1-b=1, nao presta. -- Se a=2, entao 2^b-b^2=1, isto eh, 2^b=b^2+1. Entao b eh impar, digamos, b=2k+1, entao 2^b=4k^2+4k+2 nao eh divisivel por 4, entao b=1. De fato (a,b)=(2,1) serve. -- Se b=1, entao a-1=1, isto eh, a=2, o que jah vimos acima. -- Se b=2, entao a^2-2^a=1, isto eh, 2^a=a^2-1=(a+1)(a-1). Entao ambos a-1 e a+1 tem que ser potencias de 2 (cuja diferenca eh 2!), ou seja, a-1=2 e a+1=4. Assim, a=3. Cade meus 50 reais? ;) Abraco, Ralph 2012/8/28 João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com Meu amigo me passou um desafio anteontem, falou que se eu resolvesse até ontem a meia-noite, ele me dava 50 reais. Acontece que por mais insistente que eu tenha sido não saiu muita coisa :) A aposta já acabou e ele também não sabe a resolução, e eu quero muito saber como se resolve isso! Se alguém puder me dar uma ajuda eu agradeço Prove que a^b - b^a = 1 admite única e exclusivamente a solução (3, 2), para a e b naturais maiores de 0. []'s João
RE: [obm-l] ajuda (faltou dizer que:)
Fazendo x=y=1, f(1)^2 - f(1) -2 =0. Equacao do 2o grau. Delta = 1 -4(-2) = 9 f(1) = (1 + 3)/2 ou f(1) = (1-3)/2. Essa ultima esta descartada. Entao, f(1)=2. Regards, From: mat.mo...@gmail.com Date: Thu, 30 Aug 2012 07:56:05 -0300 Subject: [obm-l] ajuda (faltou dizer que:) To: obm-l@mat.puc-rio.br Será que alguém poderia me ajudar na seguinte questão: Seja f: R*+ - R*+ uma função tal que f(x).f(y)-f(x.y)=x/y+y/x, então f(1)=?
[obm-l] Integral
Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não tem integral finita. Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui. Alguém tem alguma ideia?
Re: [obm-l] ajuda (faltou dizer que:)
E para completar a solucao, vamos encontrar alguma funcao f que satisfaca aquela relacao (caso f nao existisse, a resposta seria f nao existe, entao f(1) tambem nao). Tomando y=1, vem: f(x).f(1)-f(x)=x+1/x Como f(1), se existir, eh 2, temos: f(x)=x+1/x Agora eh soh verificar se esta funcao de fato serve: f(x).f(y)-f(xy)=(x+1/x)(y+1/y)-(xy+1/xy)=x/y+y/x. Beleza! Abraco, Ralph 2012/8/30 LEANDRO L RECOVA leandrorec...@msn.com Fazendo x=y=1, f(1)^2 - f(1) -2 =0. Equacao do 2o grau. Delta = 1 -4(-2) = 9 f(1) = (1 + 3)/2 ou f(1) = (1-3)/2. Essa ultima esta descartada. Entao, f(1)=2. Regards, -- From: mat.mo...@gmail.com Date: Thu, 30 Aug 2012 07:56:05 -0300 Subject: [obm-l] ajuda (faltou dizer que:) To: obm-l@mat.puc-rio.br Será que alguém poderia me ajudar na seguinte questão: Seja f: R*+ - R*+ uma função tal que f(x).f(y)-f(x.y)=x/y+y/x, então f(1)=?
Re: [obm-l] Integral
2012/8/30 Samuel Wainer sswai...@hotmail.com: Me pediram um exemplo de uma função que tem integral finita, mas que f^2 não tem integral finita. Fiquei quebrando a cabeça um tempão, mas não consegui. Alguém tem alguma ideia? Tem vários exemplos clássicos, mas o importante é *como* fazer. Existem dois jeitos de uma integral ser infinita: porque o domínio é grande, ou porque o valor é grande. Refrescando a memória, você deve lembrar que 1/x tem *ambos* problemas. Quando você integra de 1 até infinito, dá infinito (log(M) - log(1) com M - infinito) e quando você integra de 0 até 1 também (log(1) - log(eps) com eps - 0). Bom, temos um candidato (se der!) para f^2. Agora, vejamos. Tirando a raiz quadrada de 1/x, quando x - infinito, isso quer dizer que a função fica MAIOR AINDA! Portanto, a integral com certeza ainda é infinita. Aliás, qualquer função cuja integral dá +infinito sem divergir em algum ponto (isso incluiu os +- infinito), ou é maior do que 1 num intervalo de tamanho infinito (e isso explica porque que dá +infinito a integral) e nesse caso não adianta tirar raiz, vai continuar 1 ; ou então é menor do que 1, e quando você tira a raiz, fica maior ainda. Assim, nunca vai dar certo no infinito. Sobrou o caso de ser na parte (0,1). Aqui, como x 1, temos que 1/x raiz(1/x) 1, ou seja, a função DIMINUIU. Isso é muito bom, porque (se você lembra) a 1/x é o limite de 1/x^alfa ter integral finita ou não. Agora, basta verificar que realmente 1/raiz(x) é integrável em (0,1). Isso eu deixo pra você conferir (mas a gente acabou de provar que ela NÃO é integrável em (1, infinito), ou seja, ainda falta um pouquinho). A última parte é uma roubadinha (ou roubadona, para o pessoal analítico como Cauchy, Euler e amigos): pegue a função raiz(1/|x|) para x entre -1 e 1, e depois cole uma função afim qualquer que ligue até o zero, por exemplo subindo de -2 até -1 numa reta, depois seguindo a 1/raiz(x), sobe, vai ao infinito no zero, volta até 1 em x=1, e depois desce numa reta simétrica até o zero em x=2. Pronto, essa função é com certeza integrável, porque é a soma de duas que são, mas o quadrado dela tem uma parte que vai dar infinito. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
