[obm-l] RE: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria(Construção(2))
Sauda,c~oes, oi Ralph, Gostei da sua construção do triângulo. Eu começaria traçando o Â. Depois a bissetriz etc. Mas a sua construção é melhor. No quadrilátero APIQ o PÎQ = 180 - Â. Então o tamanho do arco PQ não seria 180 - Â ?? Para que a construção funcione, precisamos que Q esteja entre A e C, isto é, que br.sin(Â/2)AQ = r.cot(Â/2). Logo, br.cot(Â/2) []'s Luís Date: Tue, 11 Sep 2012 13:47:40 -0300 Subject: [obm-l] Re: [obm-l] Geometria(Construção(2)) From: ralp...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br 1) Considere o círculo de diâmetro P1P2. Ele contém o vértice A do quadrado... Mas, melhor ainda, pense na diagonal AC! Como ela é a bissetriz do ângulo P1AP2, então ela passa pelo ponto D1, médio do arco P1P2 daquele círculo (veja figura anexa, viva Geogebra!), que é DETERMINADO A PARTIR DE P1 e P2! Analogamente, você pode encontrar D3, médio do arco P3P4 do círculo de diâmetro P3P4. Como D1D3 será a diagonal do quadrado, você pode intersectar esta diagonal com os círculos para achar A e C. Agora repita para B e D, e acabou! (Se alguém quiser o Geogebra da construção, mando por E-mail -- acho que a lista não aceitaria o anexo) 2) Este é bem mais simples: i) Desenhe o círculo inscrito, marque nele um arco PQ de tamanho 180-2A.ii) Trace as tangentes ao círculo por P e Q, intersecte-as, este é o ponto A (note que PÂQ=Â, de fato).iii) Agora é só marcar b (a partir de A) em cima da reta AQ para achar o ponto C... iv)... e traçar a tangente ao círculo por C para achar o ponto B (sobre AP). Para que a construção funcione, precisamos que Q esteja entre A e C, isto é, que br.sin(Â/2) Abraço, Ralph P.S.: Note que há um outro arco P1P2! O que aconteceria se a gente escolhesse D1 como médio desse OUTRO arco, assim como D3, D2 e D4? :) :) :) 2012/9/10 marcone augusto araújo borges marconeborge...@hotmail.com 1)Os pontos P1,P2,P3,P4 pertencem aos lados consecutivos de um quadrado ABCD.Construa com régua e compasso o quadrado.Justifique sua construção. .P1 .P2 .P3 .P4 2) Construa o triangulo ABC conhecendo o angulo A,o lado b e o raio r do círculo inscrito.Justifique.
[obm-l] Ajuda em Polinomios
Não consigo fazer a seguinte questão: Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide P(x).
Re: [obm-l] Ajuda em Polinomios
Vou fazer usando uns canhoes: Lema: se R(x) eh um polinomio (nao nulo) com grau menor que Q(x), entao R(x)/Q(x) nao pode ser inteiro para infinitos valores de x. Prova:como lim(|x|-+Inf) R(x)/Q(x)=0, existe um certo N0 a partir do qual |R(x)/Q(x)| 1 (isto eh, se |x|N0 teriamos |R(x)/Q(x)|1). Mas naquela lista de infinitos valores de x haveria infinitos com modulo maior que N0, entao R(x)=0 para todos eles, o que eh absurdo (o numero de raizes de R(x) eh finito). ---///--- Agora, ao problema original: dividindo P(x) por Q(x), fica P(x)=Q(x)H(x)+R(x), isto eh, P(x)/Q(x)=H(x)+R(x)/Q(x) onde o grau de R(x) eh menor do que o de Q(x) e os coeficientes de H(x) sao racionais. Pegue o mmc de todos os denominadores dos coeficientes de H, digamos, M, e multiplique a coisa toda por M. MP(x)/Q(x)=MH(x)+MR(x)/Q(x) Note que, se x eh inteiro, entao MH tambem eh (pois os coeficientes de MH agora sao inteiros). Assim, se houvesse infinitos valores inteiros de x que fizessem P/Q ser inteiro, teriamos MR/Q inteiro tambem. Como o grau de MR eh menor que o grau de Q, usando o lema, temos que R eh identicamente nulo. Abraco, Ralph 2012/9/12 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Não consigo fazer a seguinte questão: Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide P(x).
Re: [obm-l] Ajuda em Polinomios
Humm... eu justificaria da seguinte forma: Se o polinomio resto da divisao de P(x)/Q(x) assume o valor zero para infinitos valores de x, ou ele possui uma quantidade infinita de raizes ou ele e' identicamente igual a zero. Como ele nao pode ter uma quantidade infinita de raizes, entao ele e' nulo. Portanto Q(x) divide P(x). Isso seria suficiente? []'s Rogerio Ponce Em 12 de setembro de 2012 13:31, Ralph Teixeira ralp...@gmail.comescreveu: Vou fazer usando uns canhoes: Lema: se R(x) eh um polinomio (nao nulo) com grau menor que Q(x), entao R(x)/Q(x) nao pode ser inteiro para infinitos valores de x. Prova:como lim(|x|-+Inf) R(x)/Q(x)=0, existe um certo N0 a partir do qual |R(x)/Q(x)| 1 (isto eh, se |x|N0 teriamos |R(x)/Q(x)|1). Mas naquela lista de infinitos valores de x haveria infinitos com modulo maior que N0, entao R(x)=0 para todos eles, o que eh absurdo (o numero de raizes de R(x) eh finito). ---///--- Agora, ao problema original: dividindo P(x) por Q(x), fica P(x)=Q(x)H(x)+R(x), isto eh, P(x)/Q(x)=H(x)+R(x)/Q(x) onde o grau de R(x) eh menor do que o de Q(x) e os coeficientes de H(x) sao racionais. Pegue o mmc de todos os denominadores dos coeficientes de H, digamos, M, e multiplique a coisa toda por M. MP(x)/Q(x)=MH(x)+MR(x)/Q(x) Note que, se x eh inteiro, entao MH tambem eh (pois os coeficientes de MH agora sao inteiros). Assim, se houvesse infinitos valores inteiros de x que fizessem P/Q ser inteiro, teriamos MR/Q inteiro tambem. Como o grau de MR eh menor que o grau de Q, usando o lema, temos que R eh identicamente nulo. Abraco, Ralph 2012/9/12 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Não consigo fazer a seguinte questão: Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide P(x).
Re: [obm-l] Ajuda em Polinomios
2012/9/12 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Humm... eu justificaria da seguinte forma: Se o polinomio resto da divisao de P(x)/Q(x) assume o valor zero para infinitos valores de x, ou ele possui uma quantidade infinita de raizes ou ele e' identicamente igual a zero. Como ele nao pode ter uma quantidade infinita de raizes, entao ele e' nulo. Portanto Q(x) divide P(x). Isso seria suficiente? []'s Rogerio Ponce Acho que não, porque P(x)/Q(x) ser inteiro não implica que o resto é zero. Veja que (x^2 + 1)/(x + 1) tem resto 2 (e quociente = x - 1), mas em x=1 temos que P(x)=2=Q(x). Acho que tem que ter algum argumento de limpeza como fez o Ralph. 2012/9/12 Heitor Bueno Ponchio Xavier heitor.iyp...@gmail.com Não consigo fazer a seguinte questão: Mostre que se P(x) e Q(x) são polinômios de coeficientes inteiros tais que P(x)/Q(x) é inteiro para infinitos valores inteiros de x então Q(x) divide P(x). -- Bernardo Freitas Paulo da Costa = Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
RE: [obm-l] JEITO CEARENSE!
Tem razão, Jeferson! Pois eu até duvido que o raciocinio do Tarsis seja equivalente ao seue jogando mais lenha na fogueira... Uma competição de cara-ou-coroa; é lançada uma moeda normal, que é a moeda-sorteio, ganha o jogador cujo lance de moeda der o mesmo resultado. O jogador A joga outra moeda normal, que é sua aposta; o jogador B, no entanto, tem que fazer sua aposta a partir de uma moeda viciada, que tem maiores chances de cair em cara do que em coroa. Qual dos dois jogadores tem maiores chances de ganhar ao longo de uma série de rodadas? Por alguma razão tenho a sensação de que o apostador com a moeda viciada tem mais chances, mas não sei? Tenho a impressão de que se eu deixar uma moeda parada em cara na mesa, e ficar jogando uma outra N vezes, elas tem mais chances de estarem ambas em cara ao longo de várias jogadas, do que teriam duas moedas jogadas de cairem do mesmo lado. Dá impressão que o primeiro caso tem 50% de chance normal do cara-ou-coroa, enquanto que na segunda situação as improbabilidades se somam ou se multiplicam de alguma forma ou sei lá.? Date: Tue, 11 Sep 2012 22:59:53 -0300 Subject: Re: [obm-l] JEITO CEARENSE! From: jefersonram...@gmail.com To: obm-l@mat.puc-rio.br Jorge Luis Vc se refere a este Problema pois não tive ainda um consenso sobre a mesma?? Dada uma Moeda viciada e uma pessoa deseja fazer uma escolha utilizando tal moeda,(por exemplo se caso ela nao fosse viciada ele atribuiria cara para sim e coroa para nao). Como ele deve proceder para realizar tal escolha com a moeda de maneira a realizar sua escolha de maneira que o vicio da moeda nao interfira??? Em 9 de setembro de 2012 15:24, Willy George Amaral Petrenko wgapetre...@gmail.com escreveu: Na verdade p^2+(1-p)^2 =1/2 das possibilidades são descartadas. 2012/9/9 Jorge Luis Rodrigues e Silva Luis jorgelrs1...@hotmail.com Olá Pessoal! Ainda com relação ao vício da moeda do Jeferson observem que metade das possibilidades são descartadas...Como bolar uma variante ao esquema tal que minimizasse essa perda? Será que o Neumann acharia uma saída? Numa faculdade há dois cursos e um rapaz e uma moça estão trocando idéias. O rapaz diz: Aqui eles discriminam contra os homens, a proporção de homens admitidos (dentre os candidatos) é menor do que a de mulheres. A moça responde: Não, eles discriminam contra as mulheres. Nos dois cursos a proporçào de mulheres admitidas (dentre as candidatas) é menor do que a de homens. É possivel que ambos tenham razào quanto aos fatos? (Proposto pelo Nicolau!) A propósito! De quantas formas podemos colocar N rainhas em um tabuleiro N * N tal que nenhuma rainha possa enxergar outra? Abraços!
[obm-l] Geometria
Seja ABC um triangulo isosceles com base BC e BAC mede 20 graus.Seja D um ponto do lado AC distinto de A tal que DBC mede 60 graus. Sejam E e F pontos de AB tais que DE é paralelo a BC e DF perpendicular a EC.Determine a madida do angulo BCF
