Enc: [obm-l] Prove - desigualdade
Olá obrigado pela ajuda mas já consegui solucionar, dica tente substituição trigonométrica ou veja que 1/(1+x)=y/(1+y) + z/(1+z) Enviado por Samsung Mobile Mensagem original Assunto:Re: [obm-l] Prove - desigualdade De:terence thirteen Para:obm-l Cc: Uma dica: tente demonstrar que 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) < 3/(1+(xyz)^(1/3)) (se for macho, abra os denominadores e troque cada variável pelo seu cubo) Em 31 de maio de 2013 22:36, Luís Eduardo Háteras < luiseduardo...@hotmail.com> escreveu: > Sejam x,y,z números reais positivos tais que 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) > = 2. Prove que 8xyz <= 1. > -- /**/ 神が祝福 Torres
Re: [obm-l] Prove - desigualdade
Uma dica: tente demonstrar que 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) < 3/(1+(xyz)^(1/3)) (se for macho, abra os denominadores e troque cada variável pelo seu cubo) Em 31 de maio de 2013 22:36, Luís Eduardo Háteras < luiseduardo...@hotmail.com> escreveu: > Sejam x,y,z números reais positivos tais que 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) > = 2. Prove que 8xyz <= 1. > -- /**/ 神が祝福 Torres
[obm-l] Prove - desigualdade
Sejam x,y,z números reais positivos tais que 1/(1+x) + 1/(1+y) + 1/(1+z) = 2. Prove que 8xyz <= 1.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas perguntas(teoria dos números)
Em 31 de maio de 2013 10:13, terence thirteen
escreveu:
>
>
>
> Em 29 de maio de 2013 00:24, Jeferson Almir
> escreveu:
>
> Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos:
>>
>> 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros
>> positivos n tais n/aˆ(n)+1.
>>
>> 2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da
>> direita para esquerda são iguais a 0 ou 1.
>>
>>
> Você quer dizer da esquerda pra direita, não?
>
> Bem, eu lembro de que isto era basicamente uma desigualdade usada junto
> com o Lema de Kronecker. Eu vou ver se acho a solução...
>
>
Eis!
Para escrever menos, seja M=11...111 com K algarismos (não precisamos
da fórmula fechada).
Basicamente o que queremos demonstrar é que, dado N existe L=f(N) tal que
M * 10^L < 2^N < (M+1) * 10^L
Aplica log:
log(M)+L*log 10 < N*log 2 < log(M+1)+L*log 10
log(M) < N*log 2 - L*log 10 < log(M+1)
A ideia agora é um tanto simples: as partes inteiras de log(M+1) e log(M)
são iguais - de fato, a diferença entre eles deve ser um número muito, mas
muito pequeno. Assim, nossa ideia é achar N tal que N*log(2) se encaixe no
intervalo [log(M), log(M+1)].
MAS o Lema de Kronecker afirma que f(n)={n*log(2)} é densa em [0,1]. Pondo
de outra forma:
Dado um real X em [0,1], e uma tolerância e, existem infinitos n tal que
|X-f(n)|
>
>> Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz
>> Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo.
>> Desde ja agradeço qualquer ajuda.
>>
>>
>> Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira escreveu:
>>
>>> 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para
>>> x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1>> n>=2).
>>>
>>> Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B;
>>> entao A>=B+1.
>>> Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao
>>> chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a:
>>> 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G.
>>> ali).
>>>
>>> Entao realmente nao tem como valer a igualdade.
>>>
>>> 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois
>>> m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a
>>> subtracao, como voce disse, e fatore:
>>>
>>> 2^a (2^b-1) = 96
>>>
>>> Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM
>>> FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao
>>> de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh,
>>> 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito.
>>>
>>> Abraco,
>>> Ralph
>>>
>>>
>>> 2013/5/27 marcone augusto araújo borges
>>>
1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2
distintas pode ser uma potencia de base 2.
Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa
mostrar isso.
2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único
valor de n.
Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48)
m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2
As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32
Dai o único valor de n seria 12
Um esclarecimento seria muito bem vindo
Desde já agradeço
>>>
>>>
>>
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> --
> /**/
> 神が祝福
>
> Torres
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神が祝福
Torres
[obm-l] Re: [obm-l] Função crescente e derivável tal que f tem limite real mas f' não vai para 0
2013/5/31 Artur Costa Steiner :
> Olá amigos!
>
> Isto não parece muito difícil, mas até agora não consegui.
>
> Exemplo de uma função de R em R (ou definida em (a, oo) para algum a) que
> seja crescente e derivável, seja tal que lim x --> oo f(x) = L em R e tal que
> a condição lim x --> oo f'(x) = 0 não se verifique.
>
> Como f' tendo limite positivo no infinito implicaria que f fosse para
> infinito, então f' não pode ter limite no infinito, tem que ficar oscilando.
>
> Se vc não exigir que f seja monotônica, não é difícil achar um exemplo. f(x)
> = (sen(x^2))/x , x > 0, atende. f vai para 0 no infinito e f'(x) = 2 cos(x^2)
> - (sen(x^2))/x fica oscilando e não converge para nada. Mas f' assume uma
> infinidade de valores positivos e uma infinidade de negativos, de modo que f
> não é monotônica.
>
> No nosso caso, temos que garantir que f' fique oscilando mas sem assumir
> valores negativos. Acho que f tem que ser um tanto patológica.
Não sei o que você chama de patológica, mas você já tem a solução,
falta só descrever a solução sem ser com uma fórmula analítica
bonitinha.
Sejam então a_n = 2^n, b_n = a_n + 4^(-n), c_n = 5^(-n).
Considere a função que vale 0 em a_0, é linear com derivada 1 até b_0,
e depois linear com derivada c_0 até a_1. Em geral, ela é linear com
derivada 1 entre a_n e b_n, e linear com derivada c_n entre b_n e
a_{n+1}.
Pronto, temos uma função crescente, derivável (quase), a derivada não
tende a zero (como você mesmo disse) mas com limite: de a_n até a_n+1
a função cresce menos de 4^(-n) + (2/5)^n, que é dá uma série
convergente. Agora, basta "aparar" os cantos da função para obter uma
função C-infinito.
Talvez isso dê uma idéia de como pode-se construir uma fórmula
"bonitinha" para f, mas isso eu deixo pra você.
Abraços,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
=
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
[obm-l] Função crescente e derivável tal que f tem limite real mas f' não vai para 0
Olá amigos! Isto não parece muito difícil, mas até agora não consegui. Exemplo de uma função de R em R (ou definida em (a, oo) para algum a) que seja crescente e derivável, seja tal que lim x --> oo f(x) = L em R e tal que a condição lim x --> oo f'(x) = 0 não se verifique. Como f' tendo limite positivo no infinito implicaria que f fosse para infinito, então f' não pode ter limite no infinito, tem que ficar oscilando. Se vc não exigir que f seja monotônica, não é difícil achar um exemplo. f(x) = (sen(x^2))/x , x > 0, atende. f vai para 0 no infinito e f'(x) = 2 cos(x^2) - (sen(x^2))/x fica oscilando e não converge para nada. Mas f' assume uma infinidade de valores positivos e uma infinidade de negativos, de modo que f não é monotônica. No nosso caso, temos que garantir que f' fique oscilando mas sem assumir valores negativos. Acho que f tem que ser um tanto patológica. Abraços Artur Costa Steiner = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Duas perguntas(teoria dos números)
Em 29 de maio de 2013 00:24, Jeferson Almir escreveu: > Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos: > > 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros > positivos n tais n/aˆ(n)+1. > > 2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da > direita para esquerda são iguais a 0 ou 1. > > Você quer dizer da esquerda pra direita, não? Bem, eu lembro de que isto era basicamente uma desigualdade usada junto com o Lema de Kronecker. Eu vou ver se acho a solução... > Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz > Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo. > Desde ja agradeço qualquer ajuda. > > > Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira escreveu: > >> 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para >> x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1> n>=2). >> >> Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B; >> entao A>=B+1. >> Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao >> chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a: >> 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G. ali). >> >> Entao realmente nao tem como valer a igualdade. >> >> 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois >> m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a >> subtracao, como voce disse, e fatore: >> >> 2^a (2^b-1) = 96 >> >> Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM >> FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao >> de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh, >> 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito. >> >> Abraco, >> Ralph >> >> >> 2013/5/27 marcone augusto araújo borges >> >>> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2 >>> distintas pode ser uma potencia de base 2. >>> >>> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa >>> mostrar isso. >>> >>> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único valor >>> de n. >>> >>> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48) >>> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2 >>> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32 >>> Dai o único valor de n seria 12 >>> Um esclarecimento seria muito bem vindo >>> >>> Desde já agradeço >>> >>> >>> >> >> > -- /**/ 神が祝福 Torres
