Em 31 de maio de 2013 10:13, terence thirteen <peterdirich...@gmail.com>escreveu:
> > > > Em 29 de maio de 2013 00:24, Jeferson Almir > <jefersonram...@gmail.com>escreveu: > > Aproveitando o momento tenho pensado nestes 2 problemas há tempos: >> >> 1. Prove que para todo inteiro positivo a>1 existem infinitos inteiros >> positivos n tais n/aˆ(n)+1. >> >> 2. Prove que existe uma potência de 2 cujos k primeiros algarismos da >> direita para esquerda são iguais a 0 ou 1. >> >> > Você quer dizer da esquerda pra direita, não? > > Bem, eu lembro de que isto era basicamente uma desigualdade usada junto > com o Lema de Kronecker. Eu vou ver se acho a solução... > > Eis! Para escrever menos, seja M=111111...111 com K algarismos (não precisamos da fórmula fechada). Basicamente o que queremos demonstrar é que, dado N existe L=f(N) tal que M * 10^L < 2^N < (M+1) * 10^L Aplica log: log(M)+L*log 10 < N*log 2 < log(M+1)+L*log 10 log(M) < N*log 2 - L*log 10 < log(M+1) A ideia agora é um tanto simples: as partes inteiras de log(M+1) e log(M) são iguais - de fato, a diferença entre eles deve ser um número muito, mas muito pequeno. Assim, nossa ideia é achar N tal que N*log(2) se encaixe no intervalo [log(M), log(M+1)]. MAS o Lema de Kronecker afirma que f(n)={n*log(2)} é densa em [0,1]. Pondo de outra forma: Dado um real X em [0,1], e uma tolerância e, existem infinitos n tal que |X-f(n)|<e Em especial existe um N tal que a distância entre f(N) e {log(M)} seja ínfima, o quanto se queira: log(M) < [logM] + f(N) + e < log(M+1) log(M) < [logM] + N*log2-[N*log2] + e < log(M+1) log(M) < N*log2 + ([logM] -[N*log2] + e) < log(M+1) Basta agora escolher um L adequado para 'igualar' os parênteses :P Depois eu dou uma formalizada... > > >> Esse foi o meu primeiro contato com T.N apresentado pelo professor Luiz >> Amancio em sua passagem por Fortaleza e desde então nunca mais fui o mesmo. >> Desde ja agradeço qualquer ajuda. >> >> >> Em 27 de maio de 2013 20:23, Ralph Teixeira <ralp...@gmail.com> escreveu: >> >>> 1) Suponha, por contradicao, que 2^(x1)+2^(x2)+...+2^(xn)=2^A para >>> x1,x2,...,xn naturais distintos (suponha s.p.d.g. que x1<x2<...<xn=B e que >>> n>=2). >>> >>> Por um lado, A>B, porque o lado esquerdo eh claramente maior que 2^B; >>> entao A>=B+1. >>> Por outro lado, mesmo que voce use TODAS as potencias de 2 ateh 2^B, nao >>> chega a 2^A. De fato, o lado esquerdo eh menor ou igual a: >>> 1+2+2^2+...+2^B=2^(B+1)-1<2^(B+1)<=2^A (usei soma dos termos da P.G. >>> ali). >>> >>> Entao realmente nao tem como valer a igualdade. >>> >>> 2) Pois eh, como voce viu, m-48=2^a e m+48=2^(a+b) onde b>0 (pois >>> m+48>m-48). Para mostrar que seu par eh o unico que presta, faca a >>> subtracao, como voce disse, e fatore: >>> >>> 2^a (2^b-1) = 96 >>> >>> Agora, 2^a SOH TEM FATORES 2, enquanto 2^b-1 eh impar e portanto NAO TEM >>> FATORES 2. Entao, 2^a tem que ser TODA a "parte potencia de 2" na fatoracao >>> de 96=(2^5) * 3, enquanto 2^b-1 tem que ser TODA a parte impar (isto eh, >>> 3). Entao, a unica solucao eh a=5 e b=2, como voce havia dito. >>> >>> Abraco, >>> Ralph >>> >>> >>> 2013/5/27 marcone augusto araújo borges <marconeborge...@hotmail.com> >>> >>>> 1) Gostaria de saber se a soma de duas ou mais potencias de base 2 >>>> distintas pode ser uma potencia de base 2. >>>> >>>> Acredito que não e escrevendo esses números na base 2 talvez se possa >>>> mostrar isso. >>>> >>>> 2) Desconfio que 2304 + 2^n é um quadrado perfeito para um único >>>> valor de n. >>>> >>>> Eu fiz 2^n = (m + 48)(m - 48) >>>> m + 48 e m - 48 devem ser potencias de base 2 >>>> As únicas potencias de base 2 cuja diferença é 96 são 128 e 32 >>>> Dai o único valor de n seria 12 >>>> Um esclarecimento seria muito bem vindo >>>> >>>> Desde já agradeço >>>> >>>> >>>> >>> >>> >> > > > -- > /**************************************/ > 神が祝福 > > Torres > -- /**************************************/ 神が祝福 Torres