Re: [obm-l] perguntinhas simples
Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3 e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0 Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi (y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0 y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0 y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0 escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok) y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0 y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0 Pode ser z = y^2 e fica z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as raízes que dispense isso tudo) Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada. Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais notáveis. Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de x^3+(1/x)^3? não tem quadrado no primeiro x Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que x^3 + 1 = 3x^2 1 + 1/x^3 = 3/x Somando as duas igualdades, vem x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três) raízes do polinômio você vai escolher. Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que - ou tem um quadrado no primeiro x - ou não tem um quadrado no segundo x - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico - ou a fórmula com os cubos era mais complicada. -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntinhas simples
Errata: Corrigindo, y^6 - 3y^2 - 1 (troquei o sinal do termo de grau 1) e percebi que melhor x = y^2 + 1 é usar x = y - 1, fica (x-1)^3 - 3(x-1) - 1 = 0 se for remanejar a cúbica para a outra forma, apesar do outro método ser exato. Mas resolver a cúbica diretamente não ajuda, não é? = Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3 e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0 Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi (y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0 y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0 y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0 escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok) y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0 y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0 Pode ser z = y^2 e fica z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as raízes que dispense isso tudo) Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada. Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais notáveis. Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de x^3+(1/x)^3? não tem quadrado no primeiro x Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que x^3 + 1 = 3x^2 1 + 1/x^3 = 3/x Somando as duas igualdades, vem x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três) raízes do polinômio você vai escolher. Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que - ou tem um quadrado no primeiro x - ou não tem um quadrado no segundo x - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico - ou a fórmula com os cubos era mais complicada. -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntinhas simples
É isso mesmo a resposta é zero, pelo visto é complicada paca, né!? abraços Hermann - Original Message - From: Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2014 4:17 AM Subject: Re: [obm-l] perguntinhas simples Errata: Corrigindo, y^6 - 3y^2 - 1 (troquei o sinal do termo de grau 1) e percebi que melhor x = y^2 + 1 é usar x = y - 1, fica (x-1)^3 - 3(x-1) - 1 = 0 se for remanejar a cúbica para a outra forma, apesar do outro método ser exato. Mas resolver a cúbica diretamente não ajuda, não é? = Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3 e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0 Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi (y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0 y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0 y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0 escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok) y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0 y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0 Pode ser z = y^2 e fica z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as raízes que dispense isso tudo) Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada. Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais notáveis. Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de x^3+(1/x)^3? não tem quadrado no primeiro x Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que x^3 + 1 = 3x^2 1 + 1/x^3 = 3/x Somando as duas igualdades, vem x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três) raízes do polinômio você vai escolher. Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que - ou tem um quadrado no primeiro x - ou não tem um quadrado no segundo x - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico - ou a fórmula com os cubos era mais complicada. -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] perguntinhas simples
Bom, eu estou com o Bernardo: ele mostrou que a expressao vale 9x-2. Isto nao dah um valor fixo -- depende de qual das 3 raizes voce escolhe (e todas sao reais, e feias). Entao nao eh possivel que o problema tenha uma resposta numerica unica A (se tivesse, teriamos x=(A+2)/9, e isso eh impossivel pois ha 3 valores distintos de x). Tambem voto em algum erro tipografico do livro ou prova donde veio o problema. Por exemplo, se fosse dado que x^2+1/x^2=1, calcule x^3+1/x^3, a resposta seria 0, pois (x^6+1)/x^3=((x^2+1)/x).((x^4-x^2+1)/x^2) e a segunda expressao eh 0. Ou aqui outra opcao: Dado que x+1/x^2=3, calcule A=x^3+1/x^3+9/x^2. Esse problema seria legal! Como A=(x^3-3x^2+1)(x^3+3x^2+9x+1)/x^3 + 25, a resposta seria 25. Abraco, Ralph 2014-06-04 10:28 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: É isso mesmo a resposta é zero, pelo visto é complicada paca, né!? abraços Hermann - Original Message - From: Listeiro 037 listeiro_...@yahoo.com.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Wednesday, June 04, 2014 4:17 AM Subject: Re: [obm-l] perguntinhas simples Errata: Corrigindo, y^6 - 3y^2 - 1 (troquei o sinal do termo de grau 1) e percebi que melhor x = y^2 + 1 é usar x = y - 1, fica (x-1)^3 - 3(x-1) - 1 = 0 se for remanejar a cúbica para a outra forma, apesar do outro método ser exato. Mas resolver a cúbica diretamente não ajuda, não é? = Bem, partindo de x + 1/x^2 = 3 e chegando a x^3 - 3x^2 + 1 = 0 Por curiosidade, esta se assemelha à cúbica babilônica, que eles resolviam com tabelas (tá lá no Boyer). e usando a substituição x = y^2 + b, se não me confundi (y^2 + b)^3 - 3(y^2 + b)^2 + 1 = 0 y^6 + 3by^4 + 3b^2y^2 + b^3 - 3y^4 - 6by^2 - 3b^2 + 1 = 0 y^6 + y^4(3b - 3) + 3y^2(b^2 - 2b) + b^3 - 3b^2 + 1 = 0 escolhendo b = 1 o coeficiente de y^4 some e vira uma cúbica de Cardano em y^2. (caso esteja tudo ok) y^6 + y^4(3 - 3) + 3y^2(1 - 2) + 1 - 3 + 1 = 0 y^6 + 3y^2(1 - 2) - 1 = 0 Pode ser z = y^2 e fica z^3 + 3z - 1 = 0 (os sinais mudaram, deve ter algo simples com as raízes que dispense isso tudo) Prá mim melhorou em nada. A cúbica de Cardano é um pouco mais manjada. Mas por chegar atá aqui eu acho que deve haver uma transformação que recaia numa outra equação em que as raízes tenham propriedades mais notáveis. Em Tue, 3 Jun 2014 09:02:11 -0300 Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 22:20 GMT-03:00 Hermann ilhadepaqu...@bol.com.br: Na 3 vc fez outra questão a minha é Se x+(1/x)^2=3 qual o valor de x^3+(1/x)^3? não tem quadrado no primeiro x Bom, na força bruta: x + 1/x^2 = 3 implica que x^3 + 1 = 3x^2 1 + 1/x^3 = 3/x Somando as duas igualdades, vem x^3 + 1/x^3 + 2 = 3x^2 + 3/x = 3x(x + 1/x^2) = 3x * 3 Assim, x^3 + 1/x^3 = 9x - 2, e o valor depende de qual das (três) raízes do polinômio você vai escolher. Portanto, eu acho (nessa ordem de plausibilidade) que - ou tem um quadrado no primeiro x - ou não tem um quadrado no segundo x - ou não era uma questão cuja resposta tem um valor numérico - ou a fórmula com os cubos era mais complicada. -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivrus e acredita-se estar livre de perigo. = Instrues para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar um polinômio de grau 45 com essas raízes, Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf Eu fiz assim, pensei que (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes reais com n igual a 90 ficaria 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será C(90,2)=4005. Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me corrigir em alguma parte que não vi agradeço. Um abraço!! Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' pessoal, tem um probleminha que se esqueceram de fazer: Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da unidade e polinômios de Chebyshev. 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco duplo, mas ficou complicado. Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número inteiro. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Integrabilidade de Riemann
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número finito
de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo salto,
isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando x tende a
c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não admite
primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
RE: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Tendo em vista a ideia intuitiva de integral como area, nao ha de forma alguma
contradicao. Ter ou nao primitiva (como composicao de funcoes elementares tipo
polinomios, exponenciais, funcoes trigonometricas) eh um fator menor (e num
geral voce nao consegue... A funcao distribuicao normal de Gauss eh um exemplo
disso, pois ela soh se expressa com o simbolo da integral). Divida o intervalo
em 2 e seja feliz. Integre em cada intervalo e some os resultados. PS: Desculpe
a formatacao ruim do texto e a falta de acentos, meu celular nao permite algo
muito melhor. Att. Eduardo
From: joao_maldona...@hotmail.com
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Date: Wed, 4 Jun 2014 21:54:14 -0300
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número finito
de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo salto,
isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando x tende a
c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não admite
primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
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Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f for
limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto dos
pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula. Conjuntos
enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F não é
diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são diferentes.
Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não existe nenhuma
função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo, então
f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu caso, uma
função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam descontinuidades
do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
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acredita-se estar livre de perigo.
Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Soma trigonométrica
Eu andei quebrando a cabeça também e nada conclusivo, mas tem alguns detalhes que observei: tg(x) = sen(x)/cos(x) = cos(90-x)/sen(90-x) = cotg(90-x) Ou seja, tg 1º = 1/tg 89º, não é? Simetria. Não dá prá fazer tg (1+89) (tg 90º = +oo, talvez algum limite com L'Hôpital) , ou algo com tg(45-1) = tg(47-3) = tg(49-5)... ? tg(45-1) ^ 2 = (tg 45 - tg 1)^2/(1 - tg45 tg 1)^2 O numerador se aproxima do problema. Em Wed, 4 Jun 2014 21:42:32 -0300 Douglas Oliveira de Lima profdouglaso.del...@gmail.com escreveu: Então eu peguei uma dica do Kin Yin Li , quando ele disse pra montar um polinômio de grau 45 com essas raízes, Vamos ver, a dica dele se encontra bem aqui http://www.math.ust.hk/~makyli/2731/2012-2013Sp/2731_LectNt-rev2013.pdf Eu fiz assim, pensei que (cosx+isenx)ˆn=cos(nx)+isen(nx)=(cosx)^n+C(n,1)(cosx)^(n-1)(isenx)+C(n,2)(cosx)^(n-2)(isenx)^2+...+(isenx)^n, dividindo todos os membros por (cosx)^n teríamos i^n(tgx)^n+i^(n-1)(tgx)^(n-1)+...+1=(cos(nx)+isen(nx))/(cosx)^n, agora para que tenha raízes ímpares n deve ser 90 , pois cos(90x) tem raízes ímpares(1,3,5,7,...,179) graus e na igualdade entre as partes reais com n igual a 90 ficaria 1-C(90,2)(tgx)^2+C(90,4)(tgx)^4-...-(tgx)^90=(cos(nx))/(cosx)^n=0 as raízes são tg1, tg3, tg5,..., e substitui (tgx)^2 por y ai a equação ficou, 1-C(90,2)(y)+C(90,4)(y)^2-...-(y)^45=0 cujas raízes são (tg1)^2,(tg3)^2,(tg5)^2,(tg7)^2,,... cuja soma por girard será C(90,2)=4005. Desculpe qualquer erro de digitação ou de matemática, acho que é isso daí , nas notas do Kyn Yin Li não tem solução, então tive que tentar fazer não sei se fiou a melhor forma, mas saiu, se puderem me corrigir em alguma parte que não vi agradeço. Um abraço!! Em 3 de junho de 2014 09:16, Bernardo Freitas Paulo da Costa bernardo...@gmail.com escreveu: 2014-06-02 17:48 GMT-03:00 Rogerio Ponce abrlw...@gmail.com: Ola' pessoal, tem um probleminha que se esqueceram de fazer: Esse problema me parece difícil. Eu só consegui fazer usando raízes da unidade e polinômios de Chebyshev. 2014-05-07 8:42 GMT-03:00 Vanderlei Nemitz vanderma...@gmail.com: Alguém tem alguma ideia? Tentei utilizar a fórmula da tangente do arco duplo, mas ficou complicado. Mostre que tg²(1°) + tg²(3°) + tg²(5°) + ...+ tg²(89°) é um número inteiro. -- Bernardo Freitas Paulo da Costa -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html = -- Encryption works. Properly implemented strong crypto systems are one of the few things that you can rely on. Unfortunately, endpoint security is so terrifically weak that NSA can frequently find ways around it. — Edward Snowden -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo. = Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html =
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Opa, acabei de ver a resposta do Artur, que já fala disso. Desculpem o repeteco.
2014-06-05 0:33 GMT-03:00 Pedro Angelo pedro.fon...@gmail.com:
Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.
Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.
2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
descontinuidades do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
=
Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
=
Re: [obm-l] Integrabilidade de Riemann
Acho importante (embora seja meio obvio, mas a gente se esquece) que
mesmo que f não tenha uma primitiva no sentido estrito (não existe F
tal que para todo x, F'(x)=f(x)), a função definida por:
F(x) = integral com t variando de 0 até x de f(t)dt
é, para todos os efeitos, uma primitiva de f, pois F'=f em todos os
pontos exceto um (no qual F não é derivável), e além disso F é
contínua.
Isso alivia o paradoxo aparente, na minha opinião.
2014-06-04 23:04 GMT-03:00 Artur Costa Steiner steinerar...@gmail.com:
Na realidade, o teorema que vc citou é um caso particular de outro mais
geral:
f: [a, b] -- R é Riemann integrável no compacto [a, b] se, e somente se, f
for limitada em [a, b] e contínua em quase to o [a, b]. Isto é, o conjunto
dos pontos de [a, b] em que f é descontínua tem medida de Lebesgue nula.
Conjuntos enumeráveis e conjuntos finitos têm medida de Lebesgue nula.
A sua função é integrável em [0, 2]. Para to x em [0,2], um cálculo simples
mostra que F(x) = Int [0, x] f(t) dt existe em R e é dada por
F(x) = x se x 1
F(x) = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 se 1 = x = 2
F é contínua em [0, 2] e, para todo x diferente de 1, F'(x) = f(x). Mas F
não é diferenciável em 1. Existem F'(1-) = 1 e F'(1+) = 2, que são
diferentes. Portanto, F'(1) não existe. Logo, f não tem primitiva. Não
existe nenhuma função cuja derivada seja f em todo o [0, 2].
Não há erro no seu raciocínio. O que acontece é que ser Riemann integrável e
ter uma primitiva não são condições equivalentes. São conceitos distintos.
Se uma função f apresentar descontinuidade do tipo salto em um intervalo,
então f não tem primitiva neste intervalo. Mesmo que não seja, como no seu
caso, uma função do tipo escada, Isto porque derivadas nunca apresentam
descontinuidades do tipo salto.
Artur Costa Steiner
Em 04/06/2014, às 21:54, João Maldonado joao_maldona...@hotmail.com
escreveu:
Fala galera, vou ter prova de cálculo sexta e fiquei com uma dúvida de
integrabilidade. Tem como vocês me darem uma ajuda?
Dada a função f:[0, 2]-R tal que f(x) = {1 se x1, 2 se x=1}
Determine se a função é integrável, e em caso positivo, ache sua primitiva.
Tem um teorema que diz que, se f:[a,b] - R é contínua exceto num número
finito de pontos, então f é integrável em [a, b]
Logo a função f é integrável, pois só é descontínua em x=1.
Tem outro teorema que diz que, se f[a, b] - R tem descontinuidade tipo
salto, isto é, existe c pertencente a (a, b) tal que o limite de f(x) quando
x tende a c+ é diferente do limite de f(x) quando x tente a c-, então f não
admite primitiva no intervalo [a, b].
E como no ponto x=1 tem descontinuidade tipo salto, então f(x) não admite
primitiva em [0, 2]
f(x) seria integrável e não admitiria primitiva, absurdo!
Onde está o erro nessa demonstração?
[]'s
João
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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acredita-se estar livre de perigo.
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http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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