Re: [obm-l] Geometria

2014-10-31 Por tôpico Pedro José 
Bom dia!

Esse problema é lindo. O que me surpeende é que tem uma infinidade de
classes de triângulos semelhantes e em todas os lados estão em PA.

A chave da solução está na dica do Carlos, do uso da lei dos senos no
triângulo OAH.

Mas a solução da segunda parte, pelo valor dos lados é um pouco pesada.

Se rebater D em relação a AB e obter P1 e rebater D em relação a AC e obter
P2.

P1, P2, E e F serão colineares  e o comprimento P1P2 será o perímetro do
triângulo órtico.
P1P2 = 2 . AD . senA = 2p' (pelo triângulo isósceles P1P2A de ângulo P1AP2
medindo 2A.

O triângulo BDF é semelhante ao ABC, então DF = b. cosB = AD . cosB / senA.

2p'/DF = 2 senA . senC/cosB (i)

cosB = 2cosACos C e cosB = -cos(180-B) == 2cosA.cosB = - cosA.cosB +
senAsenB == senAsenB = 3/2 . cosB.

Utilizando em (i) fica que 2p'/DF = 3 == os lados estão em PA.

Mas sem a dica teria ficado no caminho.

Sds,
PJMS.



Em 26 de outubro de 2014 16:04, Douglas Oliveira de Lima 
profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Valeu mestre Carlos!!! A boa saída trigonométrica
 Gostei muito da solução.
 Forte abraço!!


 Em 25 de outubro de 2014 15:42, Carlos Victor victorcar...@globo.com
 escreveu:

 Oi  Douglas,

 Pense assim :

 1) Mostre inicialmente que aplicando a lei dos senos para o triângulo
 OHA, encontramos

 cosB =2cosA.cosC., sabendo que AH = 2. OS, onde  S é o ponto médio de CB.

 2) Sabendo que os lados do triângulo órtico são dados por :

 Rsen2A, Rsen2B e Rsen2C e fazendo a semi-soma do primeiro com o último, e
 utilizando (1),

 conclua que esse triângulos tem as medidas dos lados em PA, ok ?

 Nota : R é o raio do círculo circunscrito ao triângulo. ( confira as
 contas)


 Abraços

 Carlos Victor




 Em 24 de outubro de 2014 07:07, Douglas Oliveira de Lima 
 profdouglaso.del...@gmail.com escreveu:

 Bom dia a todos, não vi solução para essa questão,

 Sejam H, O o ortocentro e o circuncentro do triÂngulo ABC. AD, BE e CF são
 as alturas relativas aos vértices A, B e C. Suponha que OH seja
 paralelo a AC. Mostre que os lados do triângulo DEF estão em progressão
 aritmética.


 Agradeço a ajuda!!

 Douglas Oliveira.




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[obm-l] Re: [obm-l] Convergência/divergência de uma sequência e de uma série

2014-10-31 Por tôpico saulo nilson 
b1)
soma 1/(1/1+1/2^2+...+1/(n+1)^2)(n+1)^2*1 /sn/n^2=
=soma n!^2/(n-1)!^2 *n^(n-1)/n^n=soma n^(n+1)/n^n=divergente
b2) divergente


2014-10-29 22:51 GMT-02:00 Amanda Merryl sc...@hotmail.com:

 Boa noite. Estou com alguma dificuldade nisto. Agradeço se puderem ajudar
 em um deles.

 a) Seja f:[1, oo) decrescente e limitada e seja (a_n) dada por

 a_n = Soma(k = 1, n) f(k) - Int [1, n] f(x) dx, n = 1, 2,3 .

 Mostre que (a_n) converge (mesmo que a série e a integral divirjam. Em
 caso de convergência de ambas, o resultado é imediato. Aliás, pelo teste da
 integral, ou ambas convergem ou ambas divergem)

 b) Seja (a_n) uma sequência de reais positivos e (s_n) a sequência de suas
 somas parciais. Estude a convergência/divergência de Soma (a_n)/(s_n) para
 os seguintes casos:

 b.1) a_n = 1/n^2, n = 1, 2, 3

 b.2) a_n = 1/(p_n), sendo p_n o ngésimo primo.

 Muito obrigada

 Amanda.



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 Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
 http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
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