Re: [obm-l] Algo errado com o enunciado?
Cláudio,
O que eu quis dizer é que nunca vi alguém considerar zero positivo sem não
considerá-lo também negativo. Assim sendo, se na França consideram zero
positivo, então, provavelmente, pra eles "positivo" é o mesmo que "não
negativo". E, como eu dissera, não é uma terminologia em desuso.
Pensando no significado geral das palavras positivo e negativo, pode ser um
pouco contraintuitivo, mas isso acontece bastante em matemática. Por
exemplo, nas definições de conjunto aberto e fechado, ou mesmo naquelas das
permutações pares e ímpares.
Abraços
On Sat, Mar 16, 2019, 17:12 Claudio Buffara
wrote:
> Você estudou na Europa?
> Pois, se não me engano, na França, positivo é maior do que ou igual a 0.
> Maior do que 0 é ESTRITAMENTE POSITIVO.
> Pessoalmente, acho isso errado, mas quem sou eu pra discutir com os
> matemáticos franceses...
>
>
> On Sat, Mar 16, 2019 at 4:04 PM Pedro José wrote:
>
>> Boa tarde!
>> Grato Antônio Carlos.
>> Se definir positivo como x>0, fica bem claro que zero não seja positivo.
>> Mas o que me referi é que por cerca de 7 anos estudei com zero sendo
>> considerado tanto positivo como negativo.
>> Quando queríamos excluir o zero tínhamos que mencionar estritamente
>> positivo ou estritamente negativo. Por que tal prática caiu em desuso?
>> Quanto a observação quanto a zero como natural ou não, me expressei mal,
>> deveria ter escrito:"... até hoje não encontro posição pacífica..".
>> O Miguel Jorge agia daquele modo para marcar posição que era da corrente
>> que considerava zero natural. Então quanto a isso não vejo mudança.
>> Persiste não pacífico.
>> Mas em substância, por que zero foi considerado positivo e deixou de o
>> ser?
>>
>> Saudações.
>> PJMS
>>
>> Em sáb, 16 de mar de 2019 às 15:06, Antonio Carlos
>> escreveu:
>>
>>> Pedro,
>>>
>>> Nunca existiu consenso sobre os naturais incluírem o zero ou não muito
>>> mais porque não há necessidade de um tal consenso no âmbito geral da
>>> tradição matemática.
>>>
>>> Na teoria de conjuntos, quando se vai construir os números inteiros a
>>> partir dos axiomas sobre conjuntos, costuma-se definir o zero como sendo o
>>> conjunto vazio (pois este é o único conjunto que é considerado existente
>>> pelos axiomas sem tomar por premissa a existência de algum outro conjunto).
>>> Então esta teoria considera o zero natural por questão de facilidade na
>>> construção (mas poderíamos chamar de 1 o conjunto vazio sem grandes
>>> problemas).
>>>
>>> Já em teorias específicas (na análise ou no cálculo talvez) é comum
>>> considerar o zero como não sendo natural pelo simples motivo disto
>>> facilitar notações e fórmulas (ou talvez alguns autores o façam por mera
>>> preferência). E esta convenção não interfere na validade formal da teoria
>>> estudada pois ela pode estar fundada numa teoria de números naturais que
>>> definiu o 1 como o menor natural, que é igualmente válida e com as mesmas
>>> características da teoria que tem o zero como menor elemento.
>>>
>>> Ademais, o zero normalmente não é considerado positivo (nem negativo),
>>> justamente porque a definição comum desse termo é dada por "x é positivo
>>> sse x>0" (ou "x é negativo sse x<0").
>>>
>>> Espero ter ajudado,
>>> Abraços
>>>
>>>
>>> On Sat, Mar 16, 2019, 14:38 Pedro José wrote:
>>>
>>>> Boa tarde!
>>>>
>>>> Já questionei uma vez aqui no sítio sobre um fato, para mim curioso.
>>>> Estudara no ginásio e também no científico que os inteiros positivos,
>>>> representado por um Z estilizado e um sinal de adição eram elementos do
>>>> conjunto {0, 1, 2, 3,...} e os inteiros estritamente positivos teriam a
>>>> representação por um Z estilizado um sinal de adição e um asterisco e
>>>> seriam elementos de {1, 2, 3, 4, 5,...} Então havia interseção entre os
>>>> conjuntos dos inteiros positivos e negativos que seria obviamente o {0}. O
>>>> mesmo acontecia com os reais positivos.
>>>> Ainda relembro Miguel Jorge e Dona Frida chamando a atenção entre
>>>> positivo e estritamente positivo.
>>>> Futuramente deparei-me com esse novo conceito.
>>>> Outra coisa Miguel Jorge costumava começar seus livros com o capítulo 0
>>>> para frisar que ele considerava zero natural, hoje não encontro uma posição
>>>> pacífica, já vi livros onde o zero não é considerado natural. Todavia,
Re: [obm-l] Algo errado com o enunciado?
Pedro,
Eu nunca vi um autor ou professor que tive considerar o zero positivo,
justamente porque positivo para a maioria dos autores e professores
significa "maior que zero" O que eu já vi é usarem "positivo" como sinônimo
de "não negativo" e "negativo" como sinônimo de "não positivo". Neste caso
zero seria considerado tanto positivo como negativo, não havendo qualquer
motivo para considerar o zero positivo mas não considerá-lo negativo. O
"estritamente positivo/negativo", então, seria apenas para eliminar a
possibilidade do zero ser um elemento que possa ser considerado no que se
vai enunciar. Esta prática não caiu em desuso.
Contudo, não há nenhuma teoria que favoreça ou motive o fato de zero ser
considerado positivo e negativo (nessa definição alternativa de positivo e
negativo), nem de não ser considerado nenhum dos dois.
Assim sendo, não existe exatamente uma "corrente que considere zero
natural". O que motivava a atitude de seu professor provavelmente era o
fato de que a maioria dos textos sobre teoria (ZFC) de conjuntos constroi
os naturais pelas definições 0 := ∅, 1 := {0}, 2 := {0, 1} etc.
Abraços
On Sat, Mar 16, 2019, 16:04 Pedro José wrote:
> Boa tarde!
> Grato Antônio Carlos.
> Se definir positivo como x>0, fica bem claro que zero não seja positivo.
> Mas o que me referi é que por cerca de 7 anos estudei com zero sendo
> considerado tanto positivo como negativo.
> Quando queríamos excluir o zero tínhamos que mencionar estritamente
> positivo ou estritamente negativo. Por que tal prática caiu em desuso?
> Quanto a observação quanto a zero como natural ou não, me expressei mal,
> deveria ter escrito:"... até hoje não encontro posição pacífica..".
> O Miguel Jorge agia daquele modo para marcar posição que era da corrente
> que considerava zero natural. Então quanto a isso não vejo mudança.
> Persiste não pacífico.
> Mas em substância, por que zero foi considerado positivo e deixou de o ser?
>
> Saudações.
> PJMS
>
> Em sáb, 16 de mar de 2019 às 15:06, Antonio Carlos
> escreveu:
>
>> Pedro,
>>
>> Nunca existiu consenso sobre os naturais incluírem o zero ou não muito
>> mais porque não há necessidade de um tal consenso no âmbito geral da
>> tradição matemática.
>>
>> Na teoria de conjuntos, quando se vai construir os números inteiros a
>> partir dos axiomas sobre conjuntos, costuma-se definir o zero como sendo o
>> conjunto vazio (pois este é o único conjunto que é considerado existente
>> pelos axiomas sem tomar por premissa a existência de algum outro conjunto).
>> Então esta teoria considera o zero natural por questão de facilidade na
>> construção (mas poderíamos chamar de 1 o conjunto vazio sem grandes
>> problemas).
>>
>> Já em teorias específicas (na análise ou no cálculo talvez) é comum
>> considerar o zero como não sendo natural pelo simples motivo disto
>> facilitar notações e fórmulas (ou talvez alguns autores o façam por mera
>> preferência). E esta convenção não interfere na validade formal da teoria
>> estudada pois ela pode estar fundada numa teoria de números naturais que
>> definiu o 1 como o menor natural, que é igualmente válida e com as mesmas
>> características da teoria que tem o zero como menor elemento.
>>
>> Ademais, o zero normalmente não é considerado positivo (nem negativo),
>> justamente porque a definição comum desse termo é dada por "x é positivo
>> sse x>0" (ou "x é negativo sse x<0").
>>
>> Espero ter ajudado,
>> Abraços
>>
>>
>> On Sat, Mar 16, 2019, 14:38 Pedro José wrote:
>>
>>> Boa tarde!
>>>
>>> Já questionei uma vez aqui no sítio sobre um fato, para mim curioso.
>>> Estudara no ginásio e também no científico que os inteiros positivos,
>>> representado por um Z estilizado e um sinal de adição eram elementos do
>>> conjunto {0, 1, 2, 3,...} e os inteiros estritamente positivos teriam a
>>> representação por um Z estilizado um sinal de adição e um asterisco e
>>> seriam elementos de {1, 2, 3, 4, 5,...} Então havia interseção entre os
>>> conjuntos dos inteiros positivos e negativos que seria obviamente o {0}. O
>>> mesmo acontecia com os reais positivos.
>>> Ainda relembro Miguel Jorge e Dona Frida chamando a atenção entre
>>> positivo e estritamente positivo.
>>> Futuramente deparei-me com esse novo conceito.
>>> Outra coisa Miguel Jorge costumava começar seus livros com o capítulo 0
>>> para frisar que ele considerava zero natural, hoje não encontro uma posição
>>> pacífica, já vi livros onde o zero não é considerado natural. Todavia,
>>> nunca ma
Re: [obm-l] Algo errado com o enunciado?
Pedro,
Nunca existiu consenso sobre os naturais incluírem o zero ou não muito mais
porque não há necessidade de um tal consenso no âmbito geral da tradição
matemática.
Na teoria de conjuntos, quando se vai construir os números inteiros a
partir dos axiomas sobre conjuntos, costuma-se definir o zero como sendo o
conjunto vazio (pois este é o único conjunto que é considerado existente
pelos axiomas sem tomar por premissa a existência de algum outro conjunto).
Então esta teoria considera o zero natural por questão de facilidade na
construção (mas poderíamos chamar de 1 o conjunto vazio sem grandes
problemas).
Já em teorias específicas (na análise ou no cálculo talvez) é comum
considerar o zero como não sendo natural pelo simples motivo disto
facilitar notações e fórmulas (ou talvez alguns autores o façam por mera
preferência). E esta convenção não interfere na validade formal da teoria
estudada pois ela pode estar fundada numa teoria de números naturais que
definiu o 1 como o menor natural, que é igualmente válida e com as mesmas
características da teoria que tem o zero como menor elemento.
Ademais, o zero normalmente não é considerado positivo (nem negativo),
justamente porque a definição comum desse termo é dada por "x é positivo
sse x>0" (ou "x é negativo sse x<0").
Espero ter ajudado,
Abraços
On Sat, Mar 16, 2019, 14:38 Pedro José wrote:
> Boa tarde!
>
> Já questionei uma vez aqui no sítio sobre um fato, para mim curioso.
> Estudara no ginásio e também no científico que os inteiros positivos,
> representado por um Z estilizado e um sinal de adição eram elementos do
> conjunto {0, 1, 2, 3,...} e os inteiros estritamente positivos teriam a
> representação por um Z estilizado um sinal de adição e um asterisco e
> seriam elementos de {1, 2, 3, 4, 5,...} Então havia interseção entre os
> conjuntos dos inteiros positivos e negativos que seria obviamente o {0}. O
> mesmo acontecia com os reais positivos.
> Ainda relembro Miguel Jorge e Dona Frida chamando a atenção entre positivo
> e estritamente positivo.
> Futuramente deparei-me com esse novo conceito.
> Outra coisa Miguel Jorge costumava começar seus livros com o capítulo 0
> para frisar que ele considerava zero natural, hoje não encontro uma posição
> pacífica, já vi livros onde o zero não é considerado natural. Todavia,
> nunca mais vi quem considere zero um interior positivo.
> Gostaria de saber a razão da mudança. Se a corrente que estudei era uma
> dissidência que não pegou ou se de fato ocorreu alguma mudança para nos
> adequarmos a um entendimento mais global??
>
> Saudações,
> PJMS
>
>
>
>
>
>
>
> Em qui, 7 de mar de 2019 às 06:10, Anderson Torres <
> torres.anderson...@gmail.com> escreveu:
>
>> Em qua, 6 de mar de 2019 às 16:41, marcone augusto araújo borges
>> escreveu:
>> >
>> > Seja f uma função definida para todo inteiro positivo tal que
>> >
>> > i) f(0) = 1
>> > ii) f(2n + 1) = 2f(n) + 1
>> > iii) f(2n) = 3f(n)
>> > .
>> > .
>> > .
>> >
>> > se vale para todo inteiro POSITIVO, porque começa com f(0)?
>>
>> Qual é a origem do problema?
>> Talvez tenha sido um mero ato-falho do examinador. Afinal, não me
>> parece que o problema prossegue insolúvel se supusermos "naturais" em
>> vez de "inteiros positivos".
>>
>> >
>> > --
>> > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> > acredita-se estar livre de perigo.
>>
>> --
>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
>> acredita-se estar livre de perigo.
>>
>>
>> =
>> Instru�ões para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
>> http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
>> =
>>
>
> --
> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e
> acredita-se estar livre de perigo.
--
Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e
acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] símbolo matemático
É usado em vários contextos mas geralmente indica alguma relação de ordem. Pra saber exatamente qual, é preciso especificar melhor. On Tue, Dec 18, 2018, 15:54 Mauricio Barbosa Boa tarde. > Alguém saberia me dizer o que significa o símbolo na figura abaixo? > [image: Capturar.PNG] > Obrigado!! > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Usando a fórmula de Euler para z = r(cosx + i senx), temos z = re^(ix) e pela propriedade de multiplicação de exponenciais complexas z^n = r^ne^(inx). Para r = 1, temos z^n = (cosx + i senx)^n = e^(inx) = cos(nx) + i sen(nx), que é a fórmula de Moivre. Uma ressalva: a terceira igualdade que exibi se prova indutivamente utilizando a propriedade mencionada de exponenciais complexas. Eu não conheço outra prova disto sem usar indução e certamente uma prova alternativa deve usar implicitamente resultados provados indutivamente. Mas o argumento indutivo está implícito em praticamente toda teoria matemática (a única exceção "clássica" é a teoria axiomática de conjuntos, da qual derivamos o teorema da indução). A igualdade que usei apenas permite deixar o argumento indutivo implícito na demonstração da formula de Moivre. Abraços! On Wed, Aug 29, 2018, 18:09 Marcelo de Moura Costa wrote: > Gostaria de ver sua solução. > > Em qua, 29 de ago de 2018 16:54, Israel Meireles Chrisostomo < > israelmchrisost...@gmail.com> escreveu: > >> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >> >> -- >> Israel Meireles Chrisostomo >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Para esse fato específico não é necessário recorrer explicitamente a limites. O que quero dizer com explicitamente é que, por exemplo, não se poderia, então, falar nem sequer em números reais, pois são construídos a partir de limites. E números complexos são construídos a partir de reais. E por aí vai. Abraços. On Wed, Aug 29, 2018, 17:40 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Olá, primeiramente agradeço pelo seu interesse em responder.Só que tem um > detalhe, quando se fala em exponenciais complexas não há como não falar em > limites. > Abraços > > Em qua, 29 de ago de 2018 às 17:24, Antonio Carlos > escreveu: > >> Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta >> com potências inteiras: >> >> (e^(ix))^n = e^(inx) >> >> Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. >> >> On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < >> israelmchrisost...@gmail.com> wrote: >> >>> Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar >>> derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a >>> forma que eu fiz realmente é a mais elegante. >>> >>> -- >>> Israel Meireles Chrisostomo >>> >>> -- >>> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >>> acredita-se estar livre de perigo. >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Fórmula de Moivre
Sai pela fórmula de Euler e^(ix) := cosx + i senx e a propriedade desta com potências inteiras: (e^(ix))^n = e^(inx) Basta escrever a definição da fórmula na igualdade acima. On Wed, Aug 29, 2018, 16:54 Israel Meireles Chrisostomo < israelmchrisost...@gmail.com> wrote: > Alguém ai conhece uma forma de se provar a fórmula de moivre sem usar > derivadas, limites, integrais ou indução?Eu tenho uma, mas não sei se a > forma que eu fiz realmente é a mais elegante. > > -- > Israel Meireles Chrisostomo > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] Dúvida em uma solução (conjunto denso)
Entendi. Muito obrigado, Pedro! On Jul 10, 2017 06:26, "Pedro Soares" <pedrosoares...@gmail.com> wrote: > u/v < log_2 3 => u/v < log_3 6 , logo ou log_2 3 é menor ou igual a log_3 > 6 ou o intervalo [log_3 6, log_2 3] não possui nenhum número racional. > > u/v < log_3 6 => u/v < log_2 3 , logo ou log_3 6 é menor ou igual a log_2 > 3 ou o intervalo [log_2 3, log_3 6] não possui nenhum número racional. > > Como os racionais são densos na reta temos que log_2 3 >= log_3 6 e log_3 > 6 >= log_2 3 ==> log_2 3 = log_3 6, o que é falso. Ou isso ou os intervalos > seriam degenerados o que também implicaria em log_2 3 = log_3 6. > Assim, vc chega em um absurdo. > > Sacou? > > > > 2017-07-09 17:03 GMT-03:00 Antonio Carlos <ac6945...@gmail.com>: > >> Oi pessoal, >> >> Estava lendo uma resolução de uma questão, e em uma passagem se chega à >> seguinte implicação (u e v são naturais, log_a x é o logaritmo de x na base >> a): >> >> u/v < log_2 3 se e somente se u/v < log_3 6, e como os racionais são >> densos, temos que a equivalência acima implica que log_2 3 = log_3 6. >> >> Tudo bem com a equivalência, o autor parte de uma hipótese contrária ao >> resultado pra chegar num absurdo, o que não entendi foi a implicação usando >> que Q é denso. Eu já fiz um curso de análise e tenho alguma noção do que é >> um conjunto ser denso. Se alguém puder me ajudar a entender a passagem eu >> agradeço. >> >> Att, >> Antonio >> >> >> >> -- >> Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e >> acredita-se estar livre de perigo. > > > > -- > Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antivírus e > acredita-se estar livre de perigo. -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
[obm-l] Dúvida em uma solução (conjunto denso)
Oi pessoal, Estava lendo uma resolução de uma questão, e em uma passagem se chega à seguinte implicação (u e v são naturais, log_a x é o logaritmo de x na base a): u/v < log_2 3 se e somente se u/v < log_3 6, e como os racionais são densos, temos que a equivalência acima implica que log_2 3 = log_3 6. Tudo bem com a equivalência, o autor parte de uma hipótese contrária ao resultado pra chegar num absurdo, o que não entendi foi a implicação usando que Q é denso. Eu já fiz um curso de análise e tenho alguma noção do que é um conjunto ser denso. Se alguém puder me ajudar a entender a passagem eu agradeço. Att, Antonio -- Esta mensagem foi verificada pelo sistema de antiv�rus e acredita-se estar livre de perigo.
